专题 期中压轴题汇总（二次函数+概率：99题18个常考题+15大压轴题型）数学新教材浙教版九年级上册

专题 期中压轴题汇总 选填常考题 题型18用频率估计概率 题型1 根据二次函数的定义求参数 解答压轴题 题型2 二次函数的图象与性质 题型19 实际问题与二次函数图形问题 题型3 二次函数的平移 题型20实际问题与二次函数拱桥问题 题型4 二次函数图象与各系数的符号 题型21实际问题与二次函数增长率问题 题型5 判断二次函数范围内的最值问题 题型22实际问题与二次函数喷泉问题 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 题型23实际问题与二次函数投球问题 题型7 求二次函数的解析式 题型24实际问题与二次函数销售问题 题型8抛物线的对称点与对称轴的关系 题型25实际问题与二次函数图形运动问题 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 题型26 二次函数综合线段周长问题 题型10 求抛物线与X轴的交点坐标 题型27二次函数综合面积问题 题型11 求抛物线与Y轴的交点坐标 题型28二次函数综合角度问题 题型12 图象法确定一元二次方程的近似根 题型29二次函数综合特殊三角形问题 题型13 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型30二次函数综合特殊四边形问题 题型14 根据交点求不等式的解集 题型31 用列表法或树状图求概率 题型15 二次函数的实际问题 题型32 用频率估计概率综合 题型16 求简单事件的概率 题型33概率的综合应用 题型17 游戏的公平性 39 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 根据二次函数的定义求参数 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）若函数的图象是抛物线，则a的值是（     ） A．或3 B． C．3 D． 3．（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 题型2 二次函数的图象与性质 4．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 6．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 题型3 二次函数的平移 7．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若抛物线平移得到，则需要（     ） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 9．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 题型4 二次函数图象与各系数的符号 10．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 12．（21-22九年级上·新疆哈密·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 题型5 判断二次函数范围内的最值问题 13．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（     ） A．7 B．11 C．22 D．26 14．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 15．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 16．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线（为常数）与轴负半轴交于，两点，与轴负半轴交于点，那么关于的一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 17．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A．B．C．D． 题型7 求二次函数的解析式 19．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 20．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 21．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（     ） A． B． C． D． 题型8抛物线的对称点与对称轴的关系 22．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 23．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）点和都在抛物线上，且，则的值是（     ）． A． B． C． D． 24．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若，在抛物线上，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 25．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 26．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（     ） A． B． C． D． 27．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 题型10 求抛物线与X轴的交点坐标 28．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 29．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 30．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 题型11 求抛物线与Y轴的交点坐标 31．（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 32．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数，下列说法正确的是（） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与x轴没有交点 D．抛物线与y轴的交点坐标为 33．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型12 图象法确定一元二次方程的近似根 34．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（     ） x A． B． C． D． 35．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（     ） A．3.67 B．3.56 C．3.39 D．3.26 36．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数图象的对称轴为，若它与x轴的一个交点横坐标约为，则方程的另一个根的大致范围是（     ） A． B． C． D． 题型13 利用不等式求自变量或函数值的范围 37．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）在二次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 题型14 根据交点求不等式的解集 40．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 41．（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 42．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型15 二次函数的实际问题 43．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为（     ） A． B． C．或 D．或 44．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）若火车刹车后行驶的距离关于刹车时间的函数解析式是，则刹车后到停下来用时（     ） A． B． C． D． 45．（21-22九年级下·山西·阶段检测）水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 题型16 求简单事件的概率 46．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 47．（2026九年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学参加校乒乓球单打比赛，通过抽签来确定对手，甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是（     ） A． B． C． D． 48．（2026九年级上·全国·专题练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 题型17 游戏的公平性 49．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 50．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 51．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 题型18用频率估计概率 52．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 53．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 54．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）投壶是我国古代的一种投掷游戏．某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 题型19 实际问题与二次函数图形问题 55．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一段长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 56．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道（米），两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为55米，设实验田的长度为x米． (1)的长为________米（用含x的式子表示） (2)当x取多少时，实验田（矩形）的面积最大时，最大面积是多少？ 57．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，兴华中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜．苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，这个苗圃园的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)求出的取值范围； (3)当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 题型20实际问题与二次函数拱桥问题 58．（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如下图所示的坐标系． (1)点坐标为____________________． (2)求抛物线的解析式． (3)一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？ 59．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 60．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 题型21实际问题与二次函数增长率问题 61．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 62．（26-27九年级上·全国·课后作业）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 63．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 题型22实际问题与二次函数喷泉问题 64．（26-27九年级上·全国·期末）第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的网球出口C离地竖直高度米．如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程． 65．（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 66．（2026·河南周口·模拟预测）在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． (1)求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 题型23实际问题与二次函数投球问题 67．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，排球运动员小丽站在点O处练习发球，将球从点O的正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米． (1)当时，求y与x的函数关系式． (2)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 68．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 69．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）小球M（看作点）从斜坡上的点O处抛出，据此建立如图所示的平面直角坐标系，球的运动路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分，若小球经过点，解答下列问题： (1)求抛物线解析式； (2)小球在斜坡上的落点为A，求点A的坐标； (3)在斜坡上的点B处有一棵树，点B的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 题型24实际问题与二次函数销售问题 70．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）某商场购进一批商品，进价为每件40元，售价为每件60元，每天可卖出100件；如果每件商品的价格每上涨1元，则每天少卖2件．物价局规定，该类商品的利润率不得超过． (1)每件商品的售价定为多少元时，商场销售该商品每天可获利2250元？ (2)当售价定为多少元时，每天可获得最大利润，并求出最大利润． 71．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售西梅，成本价为50元/箱．直播后，按每箱70元销售，第一天卖出了80箱． (1)每箱的销售利润为___________元；第一天的销售利润共___________元； (2)若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； (3)若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10箱．求当售价降低多少时，日销售利润最大，最大利润是多少？ 72．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. (1)请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； (2)当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 题型25实际问题与二次函数图形运动问题 73．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 74．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 75．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______. (2)当点与点A重合时，求t的值. (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 题型26 二次函数综合线段周长问题 76．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若点为抛物线上线段上方一点，过点作，垂足为点，求线段的最大值． (3)将抛物线沿轴折叠得到抛物线，抛物线的部分与抛物线的部分构成新的图象．当时，图象上的最高点与最低点的高差为3．请直接写出值． 77．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)点P是抛物线对称轴上一动点，连接，，求最小时点P的坐标； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请你画图观察，直接写出点M的横坐标的取值范围． 78．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点． (1)A点的坐标_____，C点的坐标_______ (2)已知该抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小，此时的周长的最小值是多少？ (3)设D为抛物线上的一动点且位于第四象限，为对称轴上一点，若以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点E的坐标________ 题型27二次函数综合面积问题 79．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的表达式； (3)如图②，点是第二象限内抛物线上一点，且的面积为时，求点的坐标． 80．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为，，求的值． 81．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，使周长有最小值，求周长的最小值及点的坐标； (3)抛物线在第四象限上是否存在一点，使得的面积取得最大值？若有，请求出最大值，并求出此时点的坐标；若无，请说明理由． 题型28二次函数综合角度问题 82．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标． (2)若D是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值． (3)已知H是抛物线上的一点，连接，若，直接写出点H的坐标． 83．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图1，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连接，点P是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交于点E，求的最大值以及点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出点M的坐标． 84．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 题型29二次函数综合特殊三角形问题 85．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 86．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 87．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． (1)求a，k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型30二次函数综合特殊四边形问题 88．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴、y轴分别交于点A、B、C． (1)求出点A、B、C的坐标？ (2)判断的形状并证明． (3)M为二次函数图象上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N构成的四边形是平行四边形时，求点N的坐标（直接写出答案）． 89．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 (1)直接写出、、三点的坐标 (2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 (3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 90．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 题型31 用列表法或树状图求概率 91．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． (1)若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ (2)从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． 92．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）箱子里有四个球，分别标有数字1，2，3，4，各球除所标的数字外其他均相同．从箱子里任意摸出一个球，记下数后从剩下的三个球中再任意摸出一个球，记下数字． 问：记录的两个数的和是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请通过列表或画树状图列举出所有可能的结果具体说明可能性． 93．（26-27九年级上·重庆·期中）某校初二年级举办“中华传统文化知识竞赛”，从甲、乙两个班各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成四个组，其中A：；B：；C：；D：） 甲班学生B组的成绩为：82，81，83，84，82，86，82，85． 乙班被抽取学生的成绩为：68，70，72，74，76，78，80，82，82，83，83，83，83，85，85，88，89，90，90，92． 甲乙两班抽取学生的统计表 班级 平均分 中位数 众数 甲班 80 a 82 乙班 80 83 b 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)学校要选派一名甲班学生和一名乙班学生作为本次竞赛的文化宣传大使．已知甲班A组学生中是2名男生和2名女生，乙班A组学生中恰好是1名男生2名女生．现从甲班A组和乙班A组中分别随机选一名学生，用树状图或列表法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 题型32 用频率估计概率综合 94．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． (2)试估计袋子中有白球 个． (3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 95．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 96．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）为普及航天知识，打造科技阅读氛围，某校七年级开展“逐梦航天”科技图书漂流活动，设置可自由转动的转盘，每位学生可获得一次转动转盘的机会；转盘停止时，指针落在哪一区域就能领取对应航天科普类书籍或杂志，下表是活动统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 1000 落在《中国国家天文》区域的次数 落在《中国国家天文》区域的频率 (1)上述表格中：________，________； (2)当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近________（精确到）； (3)如图，在转盘中，表示《大国航天》区域的扇形圆心角的度数是，转盘停止后，指针落在《问天少年》区域的概率为________； (4)根据上表，转动转盘次，请你估计指针落在《中国国家天文》区域大约有多少次？ 题型33概率的综合应用 97．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 98．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 99．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： 在一个不透明的盒子中装入个除颜色外完全一样的小球，其中个黄球，个白球； 从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： 若取出的是黄球，则获得奖品； 若取出的是白球，则获得奖品． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是______；“获得奖品”的概率是______； (2)若从原方案的盒子中取走个黄球和个白球，请利用剩下的个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． $专题 期中压轴题汇总 选填常考题 题型18用频率估计概率 题型1 根据二次函数的定义求参数 解答压轴题 题型2 二次函数的图象与性质 题型19 实际问题与二次函数图形问题 题型3 二次函数的平移 题型20实际问题与二次函数拱桥问题 题型4 二次函数图象与各系数的符号 题型21实际问题与二次函数增长率问题 题型5 判断二次函数范围内的最值问题 题型22实际问题与二次函数喷泉问题 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 题型23实际问题与二次函数投球问题 题型7 求二次函数的解析式 题型24实际问题与二次函数销售问题 题型8抛物线的对称点与对称轴的关系 题型25实际问题与二次函数图形运动问题 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 题型26 二次函数综合线段周长问题 题型10 求抛物线与X轴的交点坐标 题型27二次函数综合面积问题 题型11 求抛物线与Y轴的交点坐标 题型28二次函数综合角度问题 题型12 图象法确定一元二次方程的近似根 题型29二次函数综合特殊三角形问题 题型13 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型30二次函数综合特殊四边形问题 题型14 根据交点求不等式的解集 题型31 用列表法或树状图求概率 题型15 二次函数的实际问题 题型32 用频率估计概率综合 题型16 求简单事件的概率 题型33概率的综合应用 题型17 游戏的公平性 107 / 107 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 根据二次函数的定义求参数 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）若函数的图象是抛物线，则a的值是（     ） A．或3 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义可得，且，据此求解即可． 【详解】解：∵函数的图象是抛物线， ∴，且， 由得或，解得或， 由得， ∴． 3．（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义，二次项系数不为，列不等式求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得． 题型2 二次函数的图象与性质 4．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的顶点坐标为． 5．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【详解】解：将抛物线解析式配方得， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，B选项正确； 抛物线的顶点坐标为，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项错误． 6．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线的解析式求出与，再比大小即可． 【详解】解：将代入，得 ， 将代入，得 ， ∵， ∴． 题型3 二次函数的平移 7．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左加下减的平移法则，解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得，即； 再向下平移3个单位长度，得，即． 8．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若抛物线平移得到，则需要（     ） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像的平移规律，将抛物线平移转化为顶点的平移，对比顶点坐标确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点坐标为， 又∵点向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴抛物线需先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：A. 9．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线， ∵抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． 题型4 二次函数图象与各系数的符号 10．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，确定． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴， ∵该函数的顶点坐标为，且顶点在轴正半轴上， ∴． 11．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 12．（21-22九年级上·新疆哈密·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 题型5 判断二次函数范围内的最值问题 13．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（     ） A．7 B．11 C．22 D．26 【答案】D 【分析】先将二次函数配方确定对称轴，结合开口方向与的取值范围确定最值对应的值，再根据最小值为列方程求出，进而计算； 【详解】解：将二次函数配方得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点处取得最大值， ∵，对称轴在取值范围内， ∴当时，取最大值，即， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，取最小值，即， 解得， ∴． 14．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（     ） A．或 B．1 C． D．1或 【答案】A 【分析】根据题意对的正负进行讨论，得到的方程，从而求得的值． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线． 当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 当时，当时，；当时，． ，解得． 当时，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 当时，当时，；当时，． ，解得． 综上所述，的值为或． 15．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）二次函数在范围内的最大值和最小值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质可知当时函数有最小值；分别求出当和时的函数值，通过比较求出最大值． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向上， 整理可得：， 当时函数有最小值； 当时，可得：， 当时，可得：， 二次函数在范围内的最大值和最小值分别是和． 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 16．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线（为常数）与轴负半轴交于，两点，与轴负半轴交于点，那么关于的一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与轴交点位置确定的符号，根据对称轴位置确定的符号，进而判断一次函数图象经过的象限. 【详解】解：由抛物线与轴负半轴交于点， ， ∵由抛物线对称轴在轴左侧， ，即， 在一次函数中，，， 一次函数图象经过第一、二、四象限. 17．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数 的图象确定，的符号，再结合二次函数 的开口方向进行验证． 【详解】解： A、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向上可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； B、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向下可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； C、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向下可知，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故正确，该选项符合题意； D、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向上可知 ，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故错误，该选项不符合题意． 18．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】两条图象都经过点，且开口方向与直线的倾斜方向由同一个决定． 【详解】解：一次函数与二次函数中，相同， 两图象都经过轴上的点； 当时，直线从左到右上升，抛物线开口向上， 此时抛物线的对称轴为，在轴左侧，选项A符合题意； 当时，直线从左到右下降，抛物线开口向下，选项B，C，D均不符合题意． 题型7 求二次函数的解析式 19．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）若抛物线的顶点坐标为，形状与抛物线相同，但方向相反，则该抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由其符号决定，已知顶点坐标，选用顶点式求解． 【详解】解：∵抛物线与形状相同，方向相反， ∴二次项系数为3, ∵抛物线顶点坐标为， ∴该抛物线的函数表达式为． 20．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设交点式，然后求出表达式，再把代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象过，两点， ∴设其解析式为 将代入解析式，得， 解得 ∴ 当时，． 21．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据待定系数法求得解析式即可求解． 【详解】解：∵二次函数经过点，且函数最大值为4， ∴且． 解得． 题型8抛物线的对称点与对称轴的关系 22．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两个交点连线的垂直平分线，对称轴对应的横坐标为两个交点横坐标的平均值． 【详解】解：已知两个交点的横坐标分别为2和4，因此对称轴对应的横坐标为： 所以，对称轴为． 23．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）点和都在抛物线上，且，则的值是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可得抛物线的对称轴为直线，再由 与 纵坐标相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵ 与 纵坐标相等， ∴， ∴． 24．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若，在抛物线上，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，结合抛物线对称轴列方程求解m． 【详解】解：∵点，的纵坐标相同，且在抛物线上， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，化简得， 解得． 题型9 根据二次函数的对称性求函数值 25．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据“左加右减、上加下减”写出平移后的解析式，再逐一检验开口方向、顶点坐标、对称性与增减性． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式为， ∴其顶点坐标为，开口向上，对称轴为直线． A．∵，∴抛物线开口向上，说法正确； B．顶点坐标为，不是，说法错误； C．∵，即点与点关于对称轴直线对称，∴，说法正确； D．∵当时，随的增大而减小，∴当时，随的增大而减小，说法正确． 26．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴是轴，得到抛物线上横坐标互为相反数的点纵坐标相等，进而判断抛物线经过的点. 【详解】解：抛物线中不含一次项， 其对称轴为轴（即直线）， 又点在该抛物线上， 点关于轴的对称点也必在抛物线上，点关于轴对称的点为，即. 27．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）若，，在二次函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小，利用图象的对称性求出对称点进行判断即可． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴右侧，随的增大而减小， 点关于对称轴的对称点为，点关于对称轴的对称点为，， ． 题型10 求抛物线与X轴的交点坐标 28．（26-27九年级上·浙江湖州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】二次函数的图象与轴的交点的横坐标，是一元二次方程的解． 【详解】解：由图可得，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，即为一元二次方程的解． 故选：C． 29．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，利用两点到对称轴的距离相等求解点的坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称． ∴点、到对称轴的距离相等． ∵点到对称轴的距离为． ∴点的横坐标为． ∴点的坐标为． 30．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式求开口方向，与y轴的交点，可确定抛物线的大致位置． 【详解】解：二次函数二次项系数，所以抛物线开口向上，选项C、D错误； 令，则， 解得，， 所以抛物线过点和，故选项A正确，B错误． 题型11 求抛物线与Y轴的交点坐标 31．（26-27九年级上·河北邢台·阶段检测）抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 32．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数，下列说法正确的是（） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与x轴没有交点 D．抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，逐个分析求解即可． 【详解】解：由，得，，． 抛物线开口向下，故A错误． 抛物线顶点坐标为，故B错误， 抛物线开口向下，顶点纵坐标为，即抛物线最高点的纵坐标为，图象全部在轴下方 抛物线与轴没有交点，故C正确． 当时， 抛物线与轴交点坐标为，故D错误． 33．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 题型12 图象法确定一元二次方程的近似根 34．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（     ） x A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程即求代数式的值为15时的值． 当时，； 当时，． 该方程的一个正根满足． 35．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（     ） A．3.67 B．3.56 C．3.39 D．3.26 【答案】D 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：由题意可得：当时，，当时，， 当时，， 选项D符合． 36．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）二次函数图象的对称轴为，若它与x轴的一个交点横坐标约为，则方程的另一个根的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象与x轴两交点关于对称轴对称的性质，计算另一根的范围． 【详解】解：设方程的另一根为，已知其中一根约为． ∵二次函数的图象对称轴为，与轴的两交点关于对称轴对称． ∴两根横坐标的中点为对称轴与x轴的交点，即． 解得． ∵， ∴． 题型13 利用不等式求自变量或函数值的范围 37．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）在二次函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线开口方向与对称轴，判断给定区间内函数的增减性，再代入区间端点算出对应函数值，得到的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 38．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴是直线，则当时，随的增大而减小， 抛物线图象经过点，， 当时，；当时，， 则当时，则的取值范围是． 39．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等知识，设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 故选：C． 题型14 根据交点求不等式的解集 40．（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 41．（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 42．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 题型15 二次函数的实际问题 43．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】将代入给定的高度与时间的关系式，解一元二次方程，结合时间的实际意义判断解的有效性. 【详解】解：∵，， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得，，均符合飞行时间的实际意义. 44．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）若火车刹车后行驶的距离关于刹车时间的函数解析式是，则刹车后到停下来用时（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，火车刹车到停下时行驶距离达到最大值，对应二次函数取最大值时的自变量值即可． 【详解】解：由题意，火车刹车后到停下来时，行驶距离取得最大值． 对于二次函数， 当时，取得最大值， 即刹车后到停下来用时． 45．（21-22九年级下·山西·阶段检测）水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 题型16 求简单事件的概率 46．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：袋子中装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，总球数为． 随机摸出一个球是红球的概率为． 47．（2026九年级上·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学参加校乒乓球单打比赛，通过抽签来确定对手，甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可从甲的对手的所有等可能情况入手分析，避免重复计数分组结果，简化计算． 【详解】解：甲的对手有乙、丙、丁共3种等可能的结果，其中甲与乙同组的结果有1种，故甲、乙恰好同组对打的概率为． 48．（2026九年级上·全国·专题练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种， 则个小球上恰好有个元音字母的概率是． 题型17 游戏的公平性 49．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期中）甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【答案】C 【分析】分别计算甲、乙获得看电影机会的概率，比较概率大小即可求解． 【详解】解：∵袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中红球个，黄球个， ∴甲去看电影的概率为 ，乙去看电影的概率为 ， ∵ ， ∴这个游戏规则对双方公平． 50．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 51．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 题型18用频率估计概率 52．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 【答案】C 【详解】解：摸到红球的频率稳定在左右， 摸到红球的概率为， 布袋中白球的个数为． 53．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋子中有x个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中有x个黑球， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则袋子中有个黑球． 54．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）投壶是我国古代的一种投掷游戏．某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 【答案】C 【分析】观察折线统计图，分析随着试验次数（投壶次数）的增加，事件发生的频率（投中频率）的变化趋势．当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为概率的估计值． 【详解】观察折线统计图，横轴代表投壶次数，纵轴代表投中频率．随着投壶次数的不断增加，投中频率的折线波动幅度逐渐减小，呈现出逐渐稳定的趋势． 观察折线在试验次数较多时（如400次至500次）的位置，可以看出频率数值始终在0.40附近波动． 因此，估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为0.4． 题型19 实际问题与二次函数图形问题 55．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一段长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当的长为5米时，围成的花圃的面积最大，为45平方米. 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据矩形的边长为正数，且平行于墙的一边的边长不超过墙长，求出自变量的范围即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：由题意， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵； ∴当时，最大为； 答：当的长为5米时，围成的花圃的面积最大，为45平方米. 56．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道（米），两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为55米，设实验田的长度为x米． (1)的长为________米（用含x的式子表示） (2)当x取多少时，实验田（矩形）的面积最大时，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，试验田的面积最大，最大为 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先求出自变量的取值范围，然后根据题意列出，再由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用27米， 故，解得， ∴， 设实验田（矩形）的面积， 根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴当时，试验田的面积最大，最大为． 57．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，兴华中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜．苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，这个苗圃园的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)求出的取值范围； (3)当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】(1) (2) (3)垂直于墙的一边的长 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）根据矩形的边长为正数，且与墙平行的边长不超过，列出不等式组进行求解即可； （3）令，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，平行于墙的边长为， ∴； （2）解：由题意，， 解得； （3）解：当时， 解得或（不合题意，舍去）； 答：垂直于墙的一边的长. 题型20实际问题与二次函数拱桥问题 58．（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如下图所示的坐标系． (1)点坐标为____________________． (2)求抛物线的解析式． (3)一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？ 【答案】(1) (2) (3)货车能从隧道中顺利通过 【分析】（1）直接利用抛物线的对称性求解即可； （2）先说明点A、B的坐标，再结合点P的坐标运用待定系数法求解即可； （3）先说明当车在隧道正中行驶时，，算出y与4作比较即可得出结论． 【详解】（1）解：∵隧道最高点位于的中央且距地面，， ∴点P的横坐标为，纵坐标为6，即点坐标为． （2）解：由题意可知：点，点，点， 设抛物线的解析式为， 则，解得：， 所以抛物线的解析式为． （3）解：∵一辆货车高，宽， ∴当车在隧道正中行驶时，， 当时，，则货车能从隧道中顺利通过． 59．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 【答案】(1) (2)车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方 【分析】（1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标，即可得到答案； （2）将代入中，求出点的横坐标，点的横坐标加上车长不超过米，则这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 【详解】（1）解： 由题可得：抛物线的顶点的坐标为， 设与的函数解析式为， 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得（舍去），， ， 车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 60．（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图是抛物线形的拱桥，水面的宽为10米，拱顶离水面4米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面上升1米，则水面的宽度是多少米？ (3)在（2）的条件下，有一艘有物资的船准备从桥下通过，船身及物资如图所示，这艘船宽，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面．这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【答案】(1) (2)米 (3)这艘船能从这座拱桥下通过 【分析】（1）以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，可设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）求出当时，x的取值，即可求解； （3）求出当船在拱桥正中心行驶时，拱桥高出水面的高度，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为x轴，以的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 此时水面的宽度是米； （3）解：∵船宽， ∴当船在拱桥正中心行驶时，船边缘的横坐标为， 当时，， 此时拱桥高出水面的高度为米， ∵物资顶部距水面，且， ∴这艘船能从这座拱桥下通过． 题型21实际问题与二次函数增长率问题 61．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 62．（26-27九年级上·全国·课后作业）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 【答案】（1）；（2）万元；（3）万元． 【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)= 10(1＋x)² ；(2)把x的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可. 【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)² ； (2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)² =14.4万元； (3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+ 10(1＋x)²=36.4(万元). 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解． 63．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 题型22实际问题与二次函数喷泉问题 64．（26-27九年级上·全国·期末）第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的网球出口C离地竖直高度米．如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程． 【答案】(1)，网球射出的最大射程为6米 (2)最小力量时网球射出的最大射程为2米 【分析】（1）根据题意可得点的坐标，把对应的函数解析式设为顶点式，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出时的值即可得到答案； （2）根据对称性得到点的对称点为，那么最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得是最大力量时网球发射出去得到的抛物线的顶点，则设其函数解析式为． ∵抛物线经过点， ， ， ∴最大力量时网球发射出去得到的抛物线的函数解析式为． 当时，， 解得，（舍去）， ∴网球射出的最大射程为6米． （2）解：∵最大力量时网球发射出的抛物线的函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的， ∴将点A向左平移4米得到点B的坐标为，即最小力量时网球射出的最大射程为2米． 65．（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 66．（2026·河南周口·模拟预测）在水平洗手台上有一瓶洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2），路径是抛物线的一部分．以竖直吸液管底为原点，洗手台台面为x轴，竖直吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知完整抛物线的顶点坐标为，A点到台面的高度为，到竖直吸液管的水平距离为． (1)求抛物线的表达式；（不必写出自变量的取值范围） (2)某人手心长，接洗手液时，始终平行x轴上下移动，且点M到喷口A点的水平距离始终保持为．若他能接到洗手液（包括边界），求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)手心到台面的高度h的取值范围是 【分析】（1）抛物线的顶点坐标为，且过，再求解析式即可； （2）由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为．先求出当洗手液恰好落到手心左端M或手心右端N时的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线的表达式为，将代入表达式可得， 解得， 故抛物线的表达式为． （2）解：由题意得，点M的横坐标为，点N的横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∴手心到台面的高度h的取值范围是． 题型23实际问题与二次函数投球问题 67．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，排球运动员小丽站在点O处练习发球，将球从点O的正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米． (1)当时，求y与x的函数关系式． (2)当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 【答案】(1) (2)能越过球网且不会出界，理由如下： 由（1）可知：当时，y与x的函数关系式为， 由题意可把代入得：， ∴球能越过球网， 当时，则有， 解得：（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴球不会出界． 【分析】（1）由题意可知：，当时，则有，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）根据题意可把，分别代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 当时，则有， 把代入得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）略 68．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】(1)能 (2)能 【分析】（1）设出二次函数的顶点式，待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可得出结果； （2）求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为且过点， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， 故此球能准确投中； （2）解：由（1）知：， ∴当时，， ∵乙的最大摸高为，， ∴他能获得成功. 69．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）小球M（看作点）从斜坡上的点O处抛出，据此建立如图所示的平面直角坐标系，球的运动路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分，若小球经过点，解答下列问题： (1)求抛物线解析式； (2)小球在斜坡上的落点为A，求点A的坐标； (3)在斜坡上的点B处有一棵树，点B的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小球能飞过这棵树，理由如下： 当时，对于，则， 对于，则， ， 小球能飞过这棵树． 【详解】（1）解：由题意，把点代入得： ， ， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：联立得：， 或， 点的坐标为； （3）略 题型24实际问题与二次函数销售问题 70．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）某商场购进一批商品，进价为每件40元，售价为每件60元，每天可卖出100件；如果每件商品的价格每上涨1元，则每天少卖2件．物价局规定，该类商品的利润率不得超过． (1)每件商品的售价定为多少元时，商场销售该商品每天可获利2250元？ (2)当售价定为多少元时，每天可获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)每件商品的售价定为65元时，商场销售该商品每天可获利2250元 (2)当售价定为72元时，每天可获得最大利润，最大利润为2432元 【分析】（1）根据总利润单件利润销售量列一元二次方程求解，结合利润率限制舍去不符合条件的解； （2）建立利润关于售价的二次函数关系式，结合售价的取值范围，利用二次函数的增减性求最大利润． 【详解】（1）解：设每件商品的售价为x元， 进价为40元， 每件利润为元， 售价为60元时每天可卖100件，每上涨1元少卖2件， 每天的销售量为（件）， 每天获利2250元， 解得． 利润率不得超过， 最高售价为元， ，不符合题意，舍去， ； （2）解：设每天获得的总利润为w元， 由题意得， ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当时，w随x的增大而增大． 最高售价为72元， 当时，w取得最大值，（元）． 71．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售西梅，成本价为50元/箱．直播后，按每箱70元销售，第一天卖出了80箱． (1)每箱的销售利润为___________元；第一天的销售利润共___________元； (2)若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； (3)若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10箱．求当售价降低多少时，日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)20，1600 (2) (3)售价降低元时，日销售利润最大，最大利润是1960元 【分析】（1）根据“单箱利润=售价-成本，总利润=单箱利润销量”直接计算． （2）设平均增长率为，利用平均增长率公式列一元二次方程，舍去负根得到增长率； （3）设售价降低m元，构造日利润关于m的二次函数，配方求函数最大值． 【详解】（1）解：每箱销售利润：（元）， 第一天总销售利润：（元）； （2）解：设第二天、第三天日销售利润的平均增长率为． 第一天利润为1600元，列方程： 解得：，（舍去）， 答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为． （3）解：设售价降低元，日销售利润为元． 每箱利润：元，日销售量：箱． ， ，抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值是1960． 答：当售价降低元时，日销售利润最大，最大利润是1960元． 72．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. (1)请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； (2)当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，月销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据等量关系列出函数关系式； （2）先列出二次函数解析式，配成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ． （2）解：根据题意得： ， 对称轴， ∴在对称轴左侧，w随x的增大而增大 又 ∴当时，月销售利润最大，最大利润为元． 题型25实际问题与二次函数图形运动问题 73．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，．理由如下： ， 由（2）可知：， 故当时， . 【分析】（1）根据题意列出和的代数式即可． （2）根据题意得出，再利用勾股定理得出，最后解方程即可得出答案． （3）根据，得出关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动且， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：（不合题意，舍去）或， 故当时，的长度等于． （3）略； 74．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 75．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______. (2)当点与点A重合时，求t的值. (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)； (2)当点与点A重合时，t的值为4 (3)S关于t的函数关系式为． 【分析】（1）过点作轴于，根据的坐标求出，根据等腰三角形性质求出、、等于2，即可得点的坐标，再根据的坐标求出，根据正方形性质得，，，即可得点的坐标． （2）根据的坐标，求出，当点与点A重合时，，即可得此时t的值. （3）当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，即可得，再根据三角形面积公式即可求出S关于t的函数关系式；当时，正方形与重叠部分为五边形，根据是等腰直角三角形，结合等腰三角形性质可得，再根据四边形为正方形得，结合条件正方形的边长为2，，即可得，，进而得，，即可求出，，再根据计算即可得S关于t的函数关系式；当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，即可得，进而求出，再根据三角形面积公式即可求出S关于t的函数关系式. 【详解】（1）（1）解：如图， 过点作轴于， 点， ， ，， ， 点的坐标为， 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点的坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴当点与点A重合时，. ∴当点与点A重合时，t的值为4； （3）解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上所述，S关于t的函数关系式为． 题型26 二次函数综合线段周长问题 76．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若点为抛物线上线段上方一点，过点作，垂足为点，求线段的最大值． (3)将抛物线沿轴折叠得到抛物线，抛物线的部分与抛物线的部分构成新的图象．当时，图象上的最高点与最低点的高差为3．请直接写出值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先根据轴对称的性质、二次函数的性质求出新的图像L的表达式为，然后画出草图，再分；；三种情况求解即可. 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于， 当时，， ∴ 设直线的解析式为， 将点、代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：， ∴顶点坐标为， ∴点关于轴的对称点为点， ∴抛物线沿轴折叠得到抛物线的表达式为， ∴新的图像L的表达式为， 草图如下： 当，即时， 由图象知：， 解得； 当时， 由图象知：， 解得； 当时，由图象知：最高点的纵坐标为， ∴最低点的纵坐标为， ∴当时， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）， 当时， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）， 综上，符合题意的值为或. 77．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)点P是抛物线对称轴上一动点，连接，，求最小时点P的坐标； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请你画图观察，直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3) 或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据对称性得到，进而得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可； （3）画出图象，数形结合进行求解即可. 【详解】（1）解：把点分别代入抛物线与直线，得： ，， ∴； （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为1， 又∵抛物线与轴交于两点， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小，为的值，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 联立，解得或， ∴， ∴两点间的横坐标之间的距离为3， ∵将点M向左平移3个单位长度得到点N， ∴轴或在轴上， ∴当点与点重合时，此时线段与抛物线只有一个公共点，当点在线段之间时，线段与抛物线只有一个公共点，当点与点重合时，线段与抛物线有两个公共点，当恰好过抛物线的顶点，即时，此时线段与抛物线只有一个公共点， 综上：或. 78．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点． (1)A点的坐标_____，C点的坐标_______ (2)已知该抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小，此时的周长的最小值是多少？ (3)设D为抛物线上的一动点且位于第四象限，为对称轴上一点，若以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点E的坐标________ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）分别令和求解即可； （2）连接，则，那么，故当点三点共线时，取得最小值，则的周长取得最小值，再由勾股定理求解即可； （3）确定点为抛物线的顶点，再由菱形的对称性即可求解点E的坐标． 【详解】（1）解：对于 当时，， ∴， 当时， 解得或 ∴，； （2）解：由，可得， ， 故对称轴为直线， 连接， ∵抛物线关于直线对称， ∴ ∴， 故当点三点共线时，取得最小值，即为 ∵ ∴取得最小值时，的周长取得最小值为； （3）解：∵D为抛物线上的一动点且位于第四象限，为对称轴上一点 ∴为菱形的对角线， ∴与互相垂直平分， ∴点即为抛物线的顶点， 由可得顶点 ∴由菱形的对称性可得，． 题型27二次函数综合面积问题 79．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的表达式； (3)如图②，点是第二象限内抛物线上一点，且的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）因为抛物线与轴交于点，与轴交于点，所以把和代入抛物线，解出值和值即可求抛物线的解析式； （2）设直线的表达式为，把和代入，列出方程组，解出值和值即可求直线的表达式； （3）过点作轴的平行线交于点，设点坐标为，则点的坐标为，，由的面积为建立关于的方程，解方程即可求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点． ∴把和代入抛物线得 ，解得 ∴抛物线的解析式为： （2）解：设直线的表达式为， 把和代入，得， 解得， ∴直线的表达式为： （3）解：如图 ∵点是第二象限内抛物线上一点， ∴设点坐标为，且， 过点作轴的平行线交于点，则点的坐标为， ∴， 则有：． ∵的面积为， ∴， 整理得， 即， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． 80．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出、的值，即可得出答案； （2）设，根据得出是等腰直角三角形，利用勾股定理得出的周长为，设直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，可得，，进而得出的周长为，根据二次函数的性质得出当时，的周长最大，即可得出点的坐标； （3）连接，，设，直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，设直线的解析式为，同理得出，，可得，进而得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：设， ，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴ ∴的周长为， ∴当时，的周长最大， 此时，即． （3）解：如图所示，连接，， 设，直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， 根据根与系数的关系可得， ， ，， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， ∴，， ， ，， ， 解得：， ． 81．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，使周长有最小值，求周长的最小值及点的坐标； (3)抛物线在第四象限上是否存在一点，使得的面积取得最大值？若有，请求出最大值，并求出此时点的坐标；若无，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)周长的最小值为，点的坐标为； (3)的面积的最大值为，此时的坐标为． 【分析】利用待定系数法即可求解； 由知抛物线解析式为，求出，，则有，，由点与点关于抛物线的对称轴对称，则对称轴上的点满足，所以的周长为，要使周长最小，即最小，即当，，三点共线时，最小值为，所以周长的最小值为，再通过待定系数法求出直线的解析式为，然后时代入即可求解； 过作轴，交于点，设，则，所以，然后通过的面积为，再由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由知抛物线解析式为， 令，得， 解得，， ∵， ∴， 令，得， ∴， ∴，， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴上的点满足， ∴的周长为，如图，连接， 要使周长最小，即最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，最小，最小值为，如图， ∴周长的最小值为， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴点的坐标为， 综上可得：周长的最小值为，点的坐标为； （3）解：如图，过作轴，交于点， 由上可得，抛物线解析式为，直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为，此时的坐标为． 题型28二次函数综合角度问题 82．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标． (2)若D是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值． (3)已知H是抛物线上的一点，连接，若，直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为4 (3)点H的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式可得顶点坐标； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设，如图，过点作轴的垂线交于点，则，进而得，再由的面积为：，根据二次函数的性质求最值； （3）分两种情况讨论：当点H在上方时，连接，由得，则，代入抛物线的解析式求出对应的值即可；当点在下方时，交x轴于点，设，由得，在中由勾股定理求出值，即可得点的坐标，然后由待定系数法求出直线解析式，联立直线解析式和抛物线的解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴抛物线的顶点M的坐标为； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∵D是直线上方抛物线上的一动点， ∴ ， ∴的面积为：， ∵， ∴当，的面积有最大值，为4； （3）解：分以下两种情况： 当点H在上方时，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴； 当点在下方时，交x轴于， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 把点代入得：， 解得：， 所以直线解析式为， ∴点的坐标满足：， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述，若，点的坐标为或． 83．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图1，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连接，点P是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交于点E，求的最大值以及点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，点的坐标为； (3)或 【分析】（1）根据对称轴得出，再将点A代入求解即可确定函数解析式； （2）根据题意得出，，利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，得出，化为顶点式即可求解； （3）根据平移确定，再由题意得出，分两种情况分析：当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴，当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴，结合图形分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线, ， 解得， ∴抛物线解析式为， 又∵抛物线经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令,得 解得， ， ， 令,得 ， 设直线的解析式为， 将代入得：     解得， ∴直线的解析式为， 设则， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为； （3）， ∵将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，，对应图中的点M； 当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴当时，，对应图中的点； 综上可得：或． 84．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)，线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点和常数项，把，代入解析式，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出系数，即可得到抛物线的表达式； （2）先求出点C坐标，利用B、C两点求出直线解析式，由轴得到点和点横坐标相同，用抛物线上点M的纵坐标减去直线上点N的纵坐标，得到关于t的二次函数，对二次函数配方，结合自变量取值范围，求出线段的最大值； （3）构造点，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接，通过证明，利用等角转化结合分两种情况即可得到两个符合条件的P点． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得， 该抛物线的表达式为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 轴， ， ， ，， ，当且仅当时等号成立， 线段的最大值为； （3）解：如图，设，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接， ，，，， ，，， ， ， ，， 令，，，解得或， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 令， 整理得， 两边同时乘得， 解得或， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， ， ， 综上所述，点P的坐标为或． 题型29二次函数综合特殊三角形问题 85．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 86．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后确定C点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）设，如图：过点D作轴，交直线于点E，再求得得出方程，解出m值即可解答 （3）先求得抛物线的对称轴直线为，如图：设结合，分和两种情况，分别利用两点间距离公式列方程求得e的值即可解答． 【详解】（1）解：直线中，当，则；当，则， ∴， ∵点为的中点， ∴，将A和C代入抛物线中， ，解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：联立：，解得：或， ∴直线与抛物线交于点和， ∵点D是直线下方抛物线上的一点， 设， ∴， 如图：过点D作轴，交直线于点E， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点D的坐标为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴直线为， 设，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或； 如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或． 综上，点E的坐标为或或或． 87．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． (1)求a，k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3)或 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，求出直线解析式，将代入求解即可； （3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴，，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； （2）解：∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； （3）解：设， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ∴或． 题型30二次函数综合特殊四边形问题 88．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴、y轴分别交于点A、B、C． (1)求出点A、B、C的坐标？ (2)判断的形状并证明． (3)M为二次函数图象上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N构成的四边形是平行四边形时，求点N的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)，，，． 【分析】（1）分别将代入二次函数解析式中求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点A、B、C的坐标； （2）由（1）得到边的长，利用勾股定理得到边的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）设，点在抛物线上，分类讨论：①当为平行四边形对角线时，②当为平行四边形的边，且点N在点C的右侧时，③当为平行四边形的边，且点N在点C的左侧时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、C两点， ∴，即． 解得， ∴． 将代入，得， 得B点的坐标为； ∴A，B，C三点的坐标分别为； （2）解：如图1，连接， ∵A，B，C三点的坐标分别为； ∴， 在中，， 由勾股定理得， 在中，， 由勾股定理得， 在中， ∵， ∴是直角三角形； （3）解：设，点在抛物线上， ①当为平行四边形对角线时，如图 ， 中点坐标为，即， 平行四边形对角线互相平分， 、中点也是， 在轴上，纵坐标为， 点纵坐标为， 把代入抛物线解析式： ， 整理得， 解得（即为点，舍去），， ， 由中点公式：， 解得， ； ②当为平行四边形的边，且点N在点C的右侧时，如图 有，此时， ， ，横坐标平移规律：到向右平移个单位， 向右平移个单位得到， ； ③当为平行四边形的边，且点N在点C的左侧时，如图， 此时点的中点与的中点重合， ∴ 解得， 把代入抛物线解析式， ， 整理得， 解得， ∴当， 根据平行四边形对角线中点相同， 当， ， 解得， ， 当， ， 解得， ， 综上所述，点的坐标为，，，． 89．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 (1)直接写出、、三点的坐标 (2)如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 (3)若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案； （2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 解得或， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上所述，点E的坐标为或或． 90．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【分析】（1）根据对称性求出点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求出点C，顶点D的坐标，进而得到点P的坐标，将点P向左平移1个单位长度，得到点，连接，，得到四边形是平行四边形，因此．作点关于x轴的对称点，连接，，则，得到，即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．根据两点间距离公式求出，从而求出最小值．运用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求出点E的坐标； ②根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴． ∴将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴． ∵抛物线， ∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，， ∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则， 连接，， 则，且轴， ∵在x轴上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 作点关于x轴的对称点，连接，， 则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴． ∴最小值为． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中 由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴，符合题意， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 题型31 用列表法或树状图求概率 91．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）河南省地处中原，风景秀丽，有很多自然景观和人文景观．某校为普及河南本土文化，制作了除图片外一模一样的两组卡片：甲组卡片共三张，代表自然景观，分别是嵩山（A）、白云山（B）、云台山（C）；乙组卡片共两张，代表人文景观，分别是清明上河园（D）、红旗渠（E）． (1)若从两组卡片中随机抽取1张，抽到自然景观的概率是多少？ (2)从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率． 【答案】(1) 抽到自然景观的概率为； (2) 取出的两张卡片恰好为嵩山和红旗渠的概率为． 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先列出表格，得到所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种，进而即可求解． 【详解】（1）解：（张）， ； （2）解：列表格如下：            D            E       A       B       C 所有等可能的结果有6种，其中恰好为嵩山和红旗渠的结果有1种， ∴． 92．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）箱子里有四个球，分别标有数字1，2，3，4，各球除所标的数字外其他均相同．从箱子里任意摸出一个球，记下数后从剩下的三个球中再任意摸出一个球，记下数字． 问：记录的两个数的和是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请通过列表或画树状图列举出所有可能的结果具体说明可能性． 【答案】两数之和为奇数的可能性更大 ∵两数之和为奇数有8种情况，两数之和为偶数有4种情况， ∴两数之和为奇数的可能性更大 【分析】由树状图数出两数之和为奇数与偶数的情况种数，比较后下结论． 【详解】略 93．（26-27九年级上·重庆·期中）某校初二年级举办“中华传统文化知识竞赛”，从甲、乙两个班各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成四个组，其中A：；B：；C：；D：） 甲班学生B组的成绩为：82，81，83，84，82，86，82，85． 乙班被抽取学生的成绩为：68，70，72，74，76，78，80，82，82，83，83，83，83，85，85，88，89，90，90，92． 甲乙两班抽取学生的统计表 班级 平均分 中位数 众数 甲班 80 a 82 乙班 80 83 b 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)学校要选派一名甲班学生和一名乙班学生作为本次竞赛的文化宣传大使．已知甲班A组学生中是2名男生和2名女生，乙班A组学生中恰好是1名男生2名女生．现从甲班A组和乙班A组中分别随机选一名学生，用树状图或列表法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行分析即可； （2）画出树状图，用恰好抽取到一名男生和一名女生的结果数除以所有结果数即可． 【详解】（1）解：由题意可知：甲班学生组人数为：8人， 甲班学生C组人数为： （人）， 甲班学生D组人数为： （人）， 则甲班学生A组人数为：（人）， 中位数取整体排序第10个和第11个数据的平均值， 将B组数据按从小到大排列为81，82，82，82，83，84，85， 86， B组第2个数据是82，第3 个数据是82， ， ∴． ∵乙班被抽取学生的成绩中83出现4次，次数最多， ∴． ∵ ， ∴． 故答案为：，，． （2）解：树状图如下图： 总共有12种均等的可能，抽到一男一女的情况有6种． ． 题型32 用频率估计概率综合 94．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． (2)试估计袋子中有白球 个． (3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 【答案】(1) (2) (3)不公平，合理方案：将袋子中3个黑球换成白球（答案不唯一）. 【分析】（1）根据“频率的稳定性”原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，注意题目要求“精确到0.1”，不能直接采用单次试验的频率作为结果，需观察频率的稳定值后按精确度要求取值； （2）由第（1）问可知，摸到黑球的频率约为0.6，因此可以估算出黑球的个数，进而估算出白球的个数； （3）游戏公平的判断标准是双方获胜的概率相等，通过计算比较使两种球个数相同即可求解． 【详解】（1）观察表格中和时的频率分别为：0.603和0.602，非常接近； 可见当 增大时，频率稳定在0.6左右； 当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； （2）由（1）知摸到黑球的频率 ， ∵总球数， ∴黑球数， ∴白球数， 故答案为：12； （3）题中说摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，当前黑球数为18个，白球数为12个，所以这个游戏规则不公平． 要使游戏公平，则应该使黑球数白球数． 由于总数30不变，只需将3个黑球换成3个白球，即可实现公平． 95．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 96．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为普及航天知识，打造科技阅读氛围，某校七年级开展“逐梦航天”科技图书漂流活动，设置可自由转动的转盘，每位学生可获得一次转动转盘的机会；转盘停止时，指针落在哪一区域就能领取对应航天科普类书籍或杂志，下表是活动统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 1000 落在《中国国家天文》区域的次数 落在《中国国家天文》区域的频率 (1)上述表格中：________，________； (2)当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近________（精确到）； (3)如图，在转盘中，表示《大国航天》区域的扇形圆心角的度数是，转盘停止后，指针落在《问天少年》区域的概率为________； (4)根据上表，转动转盘次，请你估计指针落在《中国国家天文》区域大约有多少次？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由统计表数据求解即可； （2）由统计表中落在《中国国家天文》区域的频率变化情况即可得到答案； （3）由频率估计概率得到指针落在《中国国家天文》区域的概率，再由题意得到指针落在《大国航天》区域的概率，结合三类书籍或杂志概率为，列式计算即可； （4）当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近，由频率计算即可. 【详解】（1）解：由统计表可知，解得；； （2）解：由统计表中落在《中国国家天文》区域的频率变化情况可知，当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近； （3）解：由（2）知，指针落在《中国国家天文》区域的概率为， 指针落在《大国航天》区域的概率为， 指针落在《问天少年》区域的概率为； （4）解：当次数很大时，指针落在《中国国家天文》区域的频率将会接近， 转动转盘次，估计指针落在《中国国家天文》区域次数大约为. 题型33概率的综合应用 97．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】(1)500， (2)40； (3)解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理． 【分析】（1）利用“总数量部分数量对应百分比”，即可解答；利用“圆心角的度数”，即可得出答案； （2）根据题意先求出“B”等级的人数，据此即可补全条形统计图；进一步得出“B”等级所占百分比，即可得出m的值； （3）根据题意画出树状图，得出所有可能出现的结果，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为． （2）解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：，   ∴； 图略． （3）略 98．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 99．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： 在一个不透明的盒子中装入个除颜色外完全一样的小球，其中个黄球，个白球； 从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： 若取出的是黄球，则获得奖品； 若取出的是白球，则获得奖品． (1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是______；“获得奖品”的概率是______； (2)若从原方案的盒子中取走个黄球和个白球，请利用剩下的个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 【答案】(1)，； (2) “获得奖品A”的概率，“获得奖品”的概率． 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，概率公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）根据题意设计摸球方案与获奖规则即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有种，取出的是白球的结果有种， ∴该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为， 故答案为：，； （2）解：新的摸球方案：从袋中剩余的个黄球，个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球； 获奖规则：若取出的两个球颜色相同，则获得奖品；若取出的两个球颜色不同，获得奖品， 此时列表如下： 黄 白 白 黄 黄，黄 黄，白 黄，白 白 白，黄 白，白 白，白 白 白，黄 白，白 白，白 共有种等可能的结果，其中取出的两个球颜色相同的结果有种，取出的两个球颜色不同的结果有种， ∴“获得奖品A”的概率，“获得奖品”的概率． $