专题 期中压轴题汇总（三角形+全等三角形+一元一次不等式：123题25个常考题+16大压轴题型）数学新教材浙教版八年级上册

专题 期中压轴题汇总 选填常考题 题型22 求不等式组的解集 题型1 与平行线有关的三角形内角和问题 题型23 求一元一次不等式组的整数解 题型2 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型24 由一元一次不等式组的解集求参数 题型3 三角形折叠中的角度问题 题型25不等式组和方程组结合问题 题型4 构成三角形的条件 解答压轴题 题型5 根据三角形中线求长度或面积 题型26 全等的性质和SSS综合 题型6 定理与命题 题型27全等的性质和SAS综合 题型7 全等三角形的概念及性质 题型28全等的性质和ASA(AAS)综合 题型8 线段垂直平分线的性质 题型29 全等三角形的判定综合 题型9 角平分线的性质 题型30 倍长中线模型 题型10 全等三角形相关的尺规作图 题型31 证一条线段等于两条线段和差 题型11 利用全等图形求正方形网格中角度 题型32 线段垂直平分线的性质综合 题型12 添加条件使三角形全等 题型33 角平分线的性质定理的综合 题型13 等腰三角形的定义 题型34 勾股定理与折叠问题 题型14 等腰三角形的性质定理 题型35 勾股定理的实际应用 题型15 等腰三角形的判定定理 题型36 直角三角形全等的判定综合 题型16 直角三角形的性质及定理 题型37 三角形中的动点问题 题型17 勾股定理的应用 题型38不等式组解决经济问题 题型18 不等式的基本性质 题型39不等式组解决分配问题 题型19 一元一次不等式及其解法 题型40不等式组解决方案问题 题型20 一元一次不等式的实际应用 题型41不等式组解决阶段收费问题 题型21用一元一次不等式解决几何问题 4 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型2 与角平分线有关的三角形内角和问题 4．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，平分．若＝，＝，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型3 三角形折叠中的角度问题 7．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 8．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D．解得． 9．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型4 构成三角形的条件 10．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 11．（21-22八年级上·河南信阳·阶段检测）若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 12．（26-27八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型5 根据三角形中线求长度或面积 13．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 14．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，于点，，，则的面积为（     ） A．7.5 B．8 C．15 D．30 15．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型6 定理与命题 16．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列句子中，是命题的为（     ） A．整数一定大于零吗？ B．作一个角的角平分线 C．三角形的中线平分对边 D．将开立方 17．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 C．过一点有无数条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 18．（25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 题型7 全等三角形的概念及性质 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 20．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 21．（26-27八年级上·吉林·阶段检测）已知，的周长为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型8 线段垂直平分线的性质 22．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（     ） A．20 B．21 C．25 D．30 23．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 24．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 题型9 角平分线的性质 25．（26-27八年级上·吉林·阶段检测）如图 ，平分，于点，于点．若，则 的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 26．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）点在的平分线上，点到边的距离等于5，点是边上的任意一点，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 27．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（     ） A． B． C． D． 题型10 全等三角形相关的尺规作图 28．（23-24八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 29．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 30．（26-27八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，．按下列要求作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②以点N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交于点F．则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 题型11 利用全等图形求正方形网格中角度 31．（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 题型12 添加条件使三角形全等 34．（26-27八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在和中，已有条件，还需要添加两个条件才能使．不能添加的一组条件是（     ） A．， B．， C．， D．， 36．（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 题型13 等腰三角形的定义 37．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（     ） A． B． C．或 D．或 38．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C．或 D．或 39．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 题型14 等腰三角形的性质定理 40．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 41．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 42．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，和都是等腰直角三角形，，点在上，连接、，并延长交于点，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 题型15 等腰三角形的判定定理 43．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在 中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，点在内，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 45．（26-27八年级上·湖北·阶段检测）如图，在和中，，，，点在的延长线上，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 题型16 直角三角形的性质及定理 46．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（     ） A． B． C． D． 47．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 48．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）、、为的三个内角，在下列条件中：①，②，③，④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型17 勾股定理的应用 49．（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 50．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（     ） A． B． C． D． 51．（26-27八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 题型18 不等式的基本性质 52．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 53．（2026·江苏淮安·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 54．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型19 一元一次不等式及其解法 55．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 56．（24-25九年级下·福建福州·阶段检测）我们把称做二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 57．（25-26七年级下·河北张家口·期末）已知是不等式的一个解，则的值可以是（     ） A． B． C． D．0 题型20 一元一次不等式的实际应用 58．（25-26八年级下·陕西西安·期中）八（1）班道法课上进行了普法知识竞赛，共有20道题，规定答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分，若小辰希望总得分不少于70分，则他至少需要答对（     ） A．18道题 B．17道题 C．16道题 D．15道题 59．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）某客运站开展优质服务活动，雷锋号窗口每分钟服务1位顾客，窗口开始售票时，已有10位顾客在等待购票，窗口工作5分钟后，有1位新顾客到达且预计以后此后每隔2分钟有1位新顾客到达，预计从第位新顾客开始不用排队等候，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型21用一元一次不等式解决几何问题 61．（25-26七年级下·山西长治·期末）若、、分别是的三边长，且，则以下关于的形状及其周长的取值范围的描述正确的是（     ） A．直角三角形； B．等腰三角形； C．直角三角形； D．等腰三角形； 62．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 63．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 题型22 求不等式组的解集 64．（21-22七年级下·河南南阳·阶段检测）不等式组的解集在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 65．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知不等式组的解集如图所示，则=（     ） A． B． C． D． 66．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）已知关于x的不等式组的解集是，则的算术平方根为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型23 求一元一次不等式组的整数解 67．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）不等式组的整数解有三个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 68．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 69．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若整数满足，则关于的不等式组的所有整数解的和是（     ） A． B．或 C．或 D．或 题型24 由一元一次不等式组的解集求参数 70．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 71．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若不等式组的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 72．（25-26七年级下·陕西西安·期末）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型25不等式组和方程组结合问题 73．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 74．（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知关于、的方程组的解都为正数，且满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 75．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 题型26 全等的性质和SSS综合 76．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 77．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 78．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，，，，与相交于点O． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型27全等的性质和SAS综合 79．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，在和中，，，，连接与交于点P． (1)求证：． (2)求的度数． 80．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）榆阳剪纸是陕西榆阳源远流长的汉族传统文化艺术．如图是小明设计的一幅由四边形和构成的小鱼剪纸示意图，其中，，，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，．求的度数． 81．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）在四边形中． (1)如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． (2)如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 题型28全等的性质和ASA(AAS)综合 82．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，点，在线段上，，，. (1)求证：； (2)已知，，求的长． 83．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过点P作，交的延长线于点F，交于点H．求证： (1)； (2)； (3)． 84．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)求证：，； (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点． ①求证：； ②当，直接写出的长． 题型29 全等三角形的判定综合 85．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 86．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 87．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求． 题型30 倍长中线模型 88．（26-27八年级上·吉林·阶段检测）如图 ，在中，为 边上的中线，延长 到点，使；连接，． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 89．（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）解决问题 (1)如图1，中，是中线，则的取值范围是_____； (2)如图2，在和中，，点是的中点，连接并延长，交于点，若，求的长． 90．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． (1)如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． (3)如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 题型31 证一条线段等于两条线段和差 91．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 92．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 93．（26-27八年级上·新疆昌吉·阶段检测）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 题型32 线段垂直平分线的性质综合 94．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 95．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 96．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 题型33 角平分线的性质定理的综合 97．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，则______；并求出的长． 98．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图1，中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点． (1)求证：． (2)请你判断与之间的数量关系，并证明． (3)如图2，中，如果不是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 99．（26-27八年级上·吉林·阶段检测）图 ，在 中， 平分， 于点 ， 于点 ． (1)求证：； (2)若 ，， 的面积为 ，求 的长； (3)若把条件“ 平分”改为“ 是 边上的中线”，(1)中的结论 是否仍然成立？请说明理由． 题型34 勾股定理与折叠问题 100．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 101．（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)求线段的长度． 102．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 题型35 勾股定理的实际应用 103．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 104．（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 105．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一辆拖拉机沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A、B的距离分别为和，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ (3)若拖拉机的行驶速度为每分钟，则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 题型36 直角三角形全等的判定综合 106．（26-27八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证∶； (2)若，，求的长． 107．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 108．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）综合与实践 (1)【问题探究】如图1，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E．证明：． (2)【问题探究】在（1）的基础上，如图2，点F是边上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)【问题解决】若图2中的是一块空地，和是三条小路（小路宽度忽略不计）．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，请直接写出种植鲜花的面积（的面积）． 题型37 三角形中的动点问题 109．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)______（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发______秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 110．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒． (1)求出的长． (2)如图1，在点运动的过程中，以为折痕折叠，求出点倍好落在边上处时的值． (3)如图2，小丽在探究过程中发现当秒时，点与点重合，此时是直角三角形，点继续运动，直接写出___________秒时，再次成为直角三角形． (4)继续探究，发现能成为等腰三角形，请直接写出为等腰三角形时，点运动的时间是___________秒． 111．（21-22八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 题型38不等式组解决经济问题 112．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 113．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 114．（25-26七年级下·吉林·期末）2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 题型39不等式组解决分配问题 115．（25-26八年级下·四川成都·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．七中万达学校为培养同学们的阅读习惯，准备给各个年级配置部分图书．其中给八年级购买了《如何改变世界》和《世界真奇妙》两种书．若购买1本《如何改变世界》比1本《世界真奇妙》进价多5元；若用1400元购买《如何改变世界》与用1200元购买《世界真奇妙》的本数相同 (1)求每本《如何改变世界》和每本《世界真奇妙》各为多少元？ (2)若该校购进《如何改变世界》的本数比购进《世界真奇妙》的本数的2倍还多8本，且《世界真奇妙》的本数不少于16本，购进这两种书的总费用不超过2180元，则有几种购货方案？ 116．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 117．（21-22八年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 题型40不等式组解决方案问题 118．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． 119．（25-26七年级下·福建泉州·期末）随着人工智能的迅猛发展，某艺术公司计划投入一笔资金购进甲、乙两种跳舞机器人给明星伴舞，已知购进2个甲种机器人和1个乙种机器人共需3.5万元；购进1个甲种机器人和3个乙种机器人共需3万元． (1)求购进1个甲种机器人和1个乙种机器人各需多少万元？ (2)若该公司购进甲、乙两种机器人共10个，其中甲种机器人的数量不少于乙种机器人数量的2倍，且投入资金不超过14万元，则有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 120．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 题型41不等式组解决阶段收费问题 121．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 122．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 123．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． $专题 期中压轴题汇总 选填常考题 题型22 求不等式组的解集 题型1 与平行线有关的三角形内角和问题 题型23 求一元一次不等式组的整数解 题型2 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型24 由一元一次不等式组的解集求参数 题型3 三角形折叠中的角度问题 题型25不等式组和方程组结合问题 题型4 构成三角形的条件 解答压轴题 题型5 根据三角形中线求长度或面积 题型26 全等的性质和SSS综合 题型6 定理与命题 题型27全等的性质和SAS综合 题型7 全等三角形的概念及性质 题型28全等的性质和ASA(AAS)综合 题型8 线段垂直平分线的性质 题型29 全等三角形的判定综合 题型9 角平分线的性质 题型30 倍长中线模型 题型10 全等三角形相关的尺规作图 题型31 证一条线段等于两条线段和差 题型11 利用全等图形求正方形网格中角度 题型32 线段垂直平分线的性质综合 题型12 添加条件使三角形全等 题型33 角平分线的性质定理的综合 题型13 等腰三角形的定义 题型34 勾股定理与折叠问题 题型14 等腰三角形的性质定理 题型35 勾股定理的实际应用 题型15 等腰三角形的判定定理 题型36 直角三角形全等的判定综合 题型16 直角三角形的性质及定理 题型37 三角形中的动点问题 题型17 勾股定理的应用 题型38不等式组解决经济问题 题型18 不等式的基本性质 题型39不等式组解决分配问题 题型19 一元一次不等式及其解法 题型40不等式组解决方案问题 题型20 一元一次不等式的实际应用 题型41不等式组解决阶段收费问题 题型21用一元一次不等式解决几何问题 2 / 116 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 2．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 题型2 与角平分线有关的三角形内角和问题 4．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，平分．若＝，＝，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义结合可得出的值，进而可得出、的值，在中利用三角形内角和定理可求出的值，此题得解． 【详解】解：平分，， ， ， ． ， ， ． 5．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在中，和的角平分线相交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，和的角平分线相交于点 ∴， ∴． 6．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型3 三角形折叠中的角度问题 7．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再根据折叠，可得，从而可求得，最后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，点落在点处， ， ∴， ∴． 8．（21-22七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 9．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 题型4 构成三角形的条件 10．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】验证两条较短线段的长度之和是否大于最长线段，即可判定三条线段能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，所以不能组成三角形，选项不符合题意； B选项，，所以不能组成三角形，选项不符合题意； C选项，，所以能组成三角形，选项符合题意； D选项，，所以不能组成三角形，选项不符合题意． 11．（21-22八年级上·河南信阳·阶段检测）若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【答案】D 【详解】∵三角形三边长为，，， ∴，即， 又∵为正整数， ∴的可能取值为，，， 当时，周长最小，最小周长为，因此选项A，B错误， 当时，周长最大，最大周长为，因此选项C错误，选项D正确． 12．（26-27八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若三角形的三边长分别为3，，8，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：三角形的三边长分别为3，，8， ，即． 题型5 根据三角形中线求长度或面积 13．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线定义得到，再根据周长关系得到，进而可求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ∴ ∵， ∴． 14．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，于点，，，则的面积为（     ） A．7.5 B．8 C．15 D．30 【答案】C 【分析】先利用三角形面积公式求出的面积，再根据中线性质，，求出面积． 【详解】解：，， ． 是边上的中线， ，与等底同高，面积相等． ． 15．（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用三角形中线平分面积及同高三角形面积比等于底边比的性质，将阴影部分面积转化为已知三角形面积的和． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积． 题型6 定理与命题 16．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列句子中，是命题的为（     ） A．整数一定大于零吗？ B．作一个角的角平分线 C．三角形的中线平分对边 D．将开立方 【答案】C 【详解】解：命题是判断一件事情的陈述句． A、是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题； B、是作图指令，没有对事情作出判断，不是命题； C、是陈述句，对三角形中线平分对边作出了判断，是命题； D、是操作指令，没有对事情作出判断，不是命题． 17．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 C．过一点有无数条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题为假命题，不符合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，原命题为假命题，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意． 18．（25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，本题只需判断哪个选项中两个数相加的和小于两个加数，即可得到答案. 【详解】解：∵命题的条件是“两个数相加”，结论是“和一定大于或等于其中一个加数”， ∴反例需要满足“两个数相加，和小于任意一个加数”， 逐个判断选项： 选项A ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项B ：，，满足命题结论，不是反例. 选项C ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项D ：，且，不满足命题结论，可以作为反例. 题型7 全等三角形的概念及性质 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 20．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知， ∵， ∴． 21．（26-27八年级上·吉林·阶段检测）已知，的周长为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，再利用全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：的周长为，，， ． ， ． 故选：B． 题型8 线段垂直平分线的性质 22．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（     ） A．20 B．21 C．25 D．30 【答案】C 【分析】由尺规作图可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线性质得到、，再结合周长，等量代换求出周长． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， ∴，． ∴， ∵， ∴，即， ∴． 23．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 24．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可． 【详解】解：的垂直平分线经过点且与边交于点， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， 的周长． 题型9 角平分线的性质 25．（26-27八年级上·吉林·阶段检测）如图 ，平分，于点，于点．若，则 的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵ 平分，且于点，于点， ∴． 26．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）点在的平分线上，点到边的距离等于5，点是边上的任意一点，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质定理，确定点到边的距离，再利用垂线段最短即可判断的距离． 【详解】解：点在的平分线上，点到边的距离等于5， 点到边的距离为5． 垂线段最短，点是边上的任意一点． ． 27．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出、的面积，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于，于， ∵的平分线交于点， ∴， ∵，， ∴． 题型10 全等三角形相关的尺规作图 28．（23-24八年级上·福建福州·期中）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：C． 29．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵由作图可知， ∴， ∴． 30．（26-27八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，．按下列要求作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②以点N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交于点F．则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图易得，根据平行线的性质，三角形的外角的性质，进行判断即可. 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， 无法得到， 综上，只有选项D符合题意． 题型11 利用全等图形求正方形网格中角度 31．（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 32．（25-26八年级上·北京·期中）如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 33．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个的正方形网格，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理，，， ， ∴， 故选：A． 题型12 添加条件使三角形全等 34．（26-27八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴当或时，利用可以得到， 无法通过或得到； 故只有B选项符合题意. 35．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在和中，已有条件，还需要添加两个条件才能使．不能添加的一组条件是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A、添加条件，，利用定理可得； B、添加条件，不能使； C、添加条件，，利用定理可得； D、添加条件，，利用定理可得． 36．（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，已知 ，添加下列条件不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，， ∴， 故A能判定，不符合题意； ∵， ， ∴， 故B能判定，不符合题意； ∵， ∴， 又∵ ， ∴， 故D能判定，不符合题意； 不能判定的是． 题型13 等腰三角形的定义 37．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】未明确已知角是顶角还是底角，需分两种情况计算． 【详解】解：分两种情况： ①当角为底角时，顶角为； ②当角为顶角时，顶角为； 这个等腰三角形的顶角为或． 38．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分的边为腰、底边两种情况讨论，结合三角形三边关系验证． 【详解】解：当长为的边为腰时， 底边长为. 此时三边长为，，. ∵， ∴不能构成三角形，此情况舍去. 当长为的边为底边时， 腰长为. 此时三边长为，，. ∵， ∴能构成三角形，底边长为． 39．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①先证明，再证明，进而可依据“”判定；由此可对结论①进行判断；②根据①的结论正确得，再证明，进而可依据判定，进而根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；③根据全等三角形性质得，再根据已知得，则，由此可得出的面积，进而可对结论③进行判断；④根据，，可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴为等腰直角三角形, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②正确， ③∵， ∴，， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴，故结论③正确， ④在中，， ∵， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确得结论是①②③④． 题型14 等腰三角形的性质定理 40．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图等边中，，且垂直于点D，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质得到，等边对等角以及三角形内角和定理求解，即可求解． 【详解】解：∵等边中，，垂直 ∴， ∵ ∴ ∴． 41．（26-27八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 【答案】A 【分析】设，，求出，继而得到，，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，， ， 由题意得，， ，， ，， ． 42．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，和都是等腰直角三角形，，点在上，连接、，并延长交于点，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，，则可证明，得到，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型15 等腰三角形的判定定理 43．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在 中，和分别平分和，过点作，分别交，于点，，若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，同理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 44．（24-25八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，点在内，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求底角，结合已知角相等进行等量代换得到，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 45．（26-27八年级上·湖北·阶段检测）如图，在和中，，，，点在的延长线上，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先说明是等边三角形，可得，再根据“边角边”证明，根据全等三角形的性质得到，，再说明是等边三角形，可得，然后求出说明C即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，则A正确，不符合题意， ∴，，则B正确，不符合题意，D错误，符合题意； ∵， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则C正确，不符合题意． 题型16 直角三角形的性质及定理 46．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：根据直角三角形的性质可得， ， ∴需要补的角的度数是． 47．（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】解：连接． ∵，E是的中点， ∴， 又∵F是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴． 48．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）、、为的三个内角，在下列条件中：①，②，③，④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵、、为的三个内角， ∴， ① ， ， 代入得，即， 是直角三角形； ② ， 设，，， 则， 解得， ， 是直角三角形； ③ ， 设，则，， 代入得， 解得， 最大角， 不是直角三角形； ④ ， ， 是钝角三角形，不是直角三角形； 综上，符合条件的共2个． 题型17 勾股定理的应用 49．（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】先排除非正整数的选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A中，，均为分数，B中，，均为小数，均非正整数，不符合； ∵，， ∴，C符合； ∵，， ∴，D不符合． 50．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设斜边上的高为， ∵直角三角形两直角边长为6，8， ∴斜边长为， ∴ 解得． 51．（26-27八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 题型18 不等式的基本性质 52．（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）如果，那么下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，故A、B错误； ∵， ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确． 53．（2026·江苏淮安·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴确定，的正负、大小及绝对值大小关系． 【详解】解：由数轴可知，且， ， ，，， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的． 54．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴两边同除以，得，变形正确； B、∵的符号未确定，若，则，且时分式无意义，∴变形错误； C、∵当时，，∴变形错误； D、∵的符号未确定，当时，不成立，∴变形错误． 题型19 一元一次不等式及其解法 55．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，结合数轴即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 数轴表示如下所示： ． 56．（24-25九年级下·福建福州·阶段检测）我们把称做二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二阶行列式的运算法则得，最后解出． 【详解】解：由题意得， ， ， ． 57．（25-26七年级下·河北张家口·期末）已知是不等式的一个解，则的值可以是（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据不等式的解的定义，代入得到关于的不等式，求解后对比选项即可得到解． 【详解】解：将代入得， 移项、合并得， 系数化为1得， 选项中只有满足． 题型20 一元一次不等式的实际应用 58．（25-26八年级下·陕西西安·期中）八（1）班道法课上进行了普法知识竞赛，共有20道题，规定答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分，若小辰希望总得分不少于70分，则他至少需要答对（     ） A．18道题 B．17道题 C．16道题 D．15道题 【答案】C 【分析】根据竞赛得分答对的题数答错或不答的题数，根据得分不少于70分，列出不等式求解即可． 【详解】解：设要答对x道题，则答错或不答道题， 由题意可得：， 解得， 根据x必须为整数，故取最小整数16， 所以他至少需要答对16道题． 59．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“不能超过”是不等关系中的“小于或等于”，即；同时货物质量必须为正数，即，综合可得取值范围． 【详解】解：由题意，该人形机器人每次搬运的货物质量不能超过， ∴． 又∵货物质量为正数， ∴． 综上，x的取值范围是． 60．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）某客运站开展优质服务活动，雷锋号窗口每分钟服务1位顾客，窗口开始售票时，已有10位顾客在等待购票，窗口工作5分钟后，有1位新顾客到达且预计以后此后每隔2分钟有1位新顾客到达，预计从第位新顾客开始不用排队等候，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据第m位新顾客到达时窗口已服务完此前所有到达顾客的条件列不等式求解即可． 【详解】解：第位新顾客的到达时间为分钟，此时窗口已服务完位顾客，此前到达的顾客共位，不用排队需满足已服务人数此前到达人数， 即， 解得：， ∴从第6位新顾客开始不用排队等候． 题型21用一元一次不等式解决几何问题 61．（25-26七年级下·山西长治·期末）若、、分别是的三边长，且，则以下关于的形状及其周长的取值范围的描述正确的是（     ） A．直角三角形； B．等腰三角形； C．直角三角形； D．等腰三角形； 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质判断三角形形状，再根据三角形三边关系求出周长的取值范围，最终得到正确选项 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴，， ∴是等腰三角形，排除A、C选项； 设，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得 即 三角形周长，变形得 将代入得，即 ∴是等腰三角形， 62．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意，得，结合三角形三边数量关系得，转化为不等式，求正整数解即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y， 根据题意，得， 由三角形三边数量关系得， 故， 故， 解得，又y是整数， 故， 又， 故， 故或， 都满足三角形三边关系定理， 故有2个等腰三角形． 故选：C． 63．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 题型22 求不等式组的解集 64．（21-22七年级下·河南南阳·阶段检测）不等式组的解集在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 解不等式①得, 解不等式②，去分母，得, 移项，合并同类项，得 ∴不等式组的解集在数轴上表示为A选项． 65．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知不等式组的解集如图所示，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解不等式组，用含、的代数式表示出不等式组的解集，然后结合数轴上表示的解集确定、的值，最后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为； 根据题意得不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 66．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）已知关于x的不等式组的解集是，则的算术平方根为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：解不等式， 得． 解不等式， 得． ∵ 不等式组的解集是， ∴ ，． 解得，． ∴ ． 的算术平方根为， ∴的算术平方根为5． 题型23 求一元一次不等式组的整数解 67．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）不等式组的整数解有三个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式组的整数解有三个，确定出a的范围即可． 【详解】解：不等式组的解集为． ∵整数解有三个， ∴整数解为， ∴． 68．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在三边长为3，a，7的三角形，则a的整数解有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先解不等式组，依据不等式组至少有两个整数解，得到，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得，进而得出a的取值范围，即可得到a的整数解个数． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组至少有两个整数解， ∴； 又∵存在以3，a，7为边的三角形， ∴，即， ∴a的取值范围是， ∴a的整数解有4个． 69．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若整数满足，则关于的不等式组的所有整数解的和是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先由整数满足的条件，确定的可能取值，再求不同值所对应的不等式组的解集，最后计算对应整数解的和． 【详解】解：由整数满足，可得的取值为，，． 当时，关于的不等式组的解集为， 此时它的所有整数解为，和为； 当时，关于的不等式组的解集为， 此时它的所有整数解为，和为； 当时，关于的不等式组的解集为， 此时它的所有整数解为，和为． 综上所述，所有整数解的和为或． 题型24 由一元一次不等式组的解集求参数 70．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分，由此求解． 【详解】解：解不等式，得. ∵不等式组无解， ∴． 71．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若不等式组的解集为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，利用“同小取小”的规则列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵该不等式组中两个不等式均为小于型，根据一元一次不等式组解集“同小取小”的法则，已知解集为， ∴ 移项得 ． 72．（25-26七年级下·陕西西安·期末）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，得到关于m的不等式，解出m的范围即可选出正确选项． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 由图可知，不等式组的解集为， ∴根据“同大取大”的规则，可得， 解得． 题型25不等式组和方程组结合问题 73．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组两式相加构造的表达式，代入不等式求解． 【详解】解：， 得：， ∴ ∴， ∴ ∴ ． 74．（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知关于、的方程组的解都为正数，且满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组，用表示和，根据都是正数得到的取值范围，再结合得到，代入的范围即可求出的取值范围。 【详解】解：解方程组 给第一个方程两边乘得 ， 用第二个方程减去该式得： ， 即 ， 将代入第二个方程， 解得 ， ∵方程组的解都为正数， ∴， 解得 ， ∵， ∴， 代入的范围得 ， 不等式两边同时减得 . 75．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ，解得， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 不等式组只有个整数解， ，解得， ， 符合条件的整数的值的和为． 题型26 全等的性质和SSS综合 76．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 77．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即：． 在与中， ， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再运用证明三角形全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， ∴． 78．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，，，，与相交于点O． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ． (2) 【分析】（1）根据证明两个三角形全等即可． （2）设与交于点，根据三角形的内角和与对顶角相等，推导出，由得，可求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点，如图 ，， ， ， 由得 ， ， ． 题型27全等的性质和SAS综合 79．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，在和中，，，，连接与交于点P． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)证明：， ，即． 在和中，， ． (2) 【分析】（1）利用证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形得出相等的角，然后利用三角形的外角定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，将与的交点记为点Q， 由（1），得， ， 是的一个外角， ， 同理， ， ． 80．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）榆阳剪纸是陕西榆阳源远流长的汉族传统文化艺术．如图是小明设计的一幅由四边形和构成的小鱼剪纸示意图，其中，，，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，．求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． (2) 【分析】（1）先利用“”证明，再利用全等三角形的性质即可得证； （2）先利用“”证明，再利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 81．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）在四边形中． (1)如图，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小易同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ． (2)如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系是 ． 【答案】(1) (2)结论仍成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． (3) 【分析】（1）延长到点，使．连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再结合，判定，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再结合，判定，最后根据，推导得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ． 在和中， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，． ，， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 题型28全等的性质和ASA(AAS)综合 82．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，点，在线段上，，，. (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵ ∴． (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质，结合三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等三角形的性质，线段的和差解答即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 83．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过点P作，交的延长线于点F，交于点H．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明：， ， 、分别平分、， ∴，， ， ； (2)证明：∵， ， 又，即， ， 又∵，， ， ； (3)证明：， ， ， ， 又∵，， ， ， 又， ． 【分析】（1）首先得到，然后结合角平分线的定义得到，然后利用三角形内角和定理求解； （2）首先得到，然后再计算出，然后证明可得； （3）首先证明，然后证明，进而得到，再利用等量代换可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 84．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)求证：，； (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点． ①求证：； ②当，直接写出的长． 【答案】(1)，， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，； (2)①过点作于点， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； ②的长为6． 【分析】（1）根据，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明，然后可得，； （2）①过点作于点，先证，再证即可求解；②由，则，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为6． 题型29 全等三角形的判定综合 85．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 86．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1) 根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 87．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求． 【答案】(1) 证明：如图1，∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； ； (2) 证明：（2）如图2，过F点作于D点， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴＝2， ∴＝， ∵ ∴＝， ∴E点为中点； (3)或． 【分析】（1）证，利用就“角角边”证明；由全等得出：，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论； （2）过F点作于D点，根据（1）中结论可证明，可得，根据，可证，即可解题； （3）过F作的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）当点E在CB的延长线上时，过F作的延长线交于点D，如图3， ∵，， ∴， 由（1）（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴，   当点E在线段BC上时， ∵，， ∴， 由（1）（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴． 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 题型30 倍长中线模型 88．（26-27八年级上·吉林·阶段检测）如图 ，在中，为 边上的中线，延长 到点，使；连接，． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明： 是边上中线， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （2）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， 在中，用三边关系， 即， 化简得． 89．（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）解决问题 (1)如图1，中，是中线，则的取值范围是_____； (2)如图2，在和中，，点是的中点，连接并延长，交于点，若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）延长，使得，连接，可证，进而根据三角形的三边关系即可求解； （2）延长，使得，连接，可证，根据角度转化以及平行线的性质可知，进而可知，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：延长，使得，连接， ∵是中线， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：延长，使得，连接， ∴ ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴． 90．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知三角形的中线时，我们常用“倍长中线”的方法构造全等三角形，解决相关计算或证明问题． (1)如图1，在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． (3)如图3，在四边形中，，交的延长线于点，是的中点，是的平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长到点，使，连接，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ． (3)，理由如下： 如图3，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，证明，再根据三角形三边关系求解即可； （2）延长到点，使，连接，，证明和，得到，根据三角形三边关系求解即可； （3）延长，交于点，证明，得到，根据是的平分线得到，即可得证． 【详解】（1）如图，延长到点，使，连接， 是边上的中线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ． （2）略 （3）略 题型31 证一条线段等于两条线段和差 91．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 92．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)不成立，， 理由：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即：． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 93．（26-27八年级上·新疆昌吉·阶段检测）已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)，理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴； (3)解：，理由如下： 由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴，， ∴． 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解； （3）由同角的余角相等可得，再利用即可证明，从而可得，，即可得解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 题型32 线段垂直平分线的性质综合 94．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 95．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明是线段的垂直平分线，从而可得，再根据等边对等角得出，结合可求得，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质得出，进而求得； （2）先根据的周长为20，得到，结合，可得，再根据，，可得，进而得到，从而可求得． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 96．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出，再由，分别垂直平分线段和线段，求出，即可求解． 【详解】（1）解：，分别垂直平分线段和线段， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2），分别垂直平分线段和线段， ，，， ，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ， ； 故答案为：； （3）如图所示， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， 的周长为8， ， 的周长为18， ， ， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 题型33 角平分线的性质定理的综合 97．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，则______；并求出的长． 【答案】(1) (2)32， 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴； （2）解：∵为的中线，， ∴的面积为， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 98．（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图1，中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点． (1)求证：． (2)请你判断与之间的数量关系，并证明． (3)如图2，中，如果不是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明：， ． ，分别是， 的平分线， ，， ，， ； (2)解：， 证明：如图所示，连接，过点作，，垂足分别为、， ． 点是角平分线的交点， 平分， ， 由（1）得， ∴， ∴； (3)解：（2）中所得结论仍然成立， 理由：如图所示，过点作交于点，交于点，连接， ∴； 点是角平分线的交点， 平分， ； ， ； 由角平分线的定义可得， ∴ ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由三角形内角和定理求出．由角平分线的定义可得，，则可证明； （2）连接，过点作，，垂足分别为、，根据题意可得平分，则，证明，即可证明； （3）过点作交于点，交于点，连接，根据题意可得平分，则；可证明，则，证明，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 99．（26-27八年级上·吉林·阶段检测）图 ，在 中， 平分， 于点 ， 于点 ． (1)求证：； (2)若 ，， 的面积为 ，求 的长； (3)若把条件“ 平分”改为“ 是 边上的中线”，(1)中的结论 是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)证明：因为 平分，，， 所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得 ； (2) (3)解：不一定成立．若 ，则由 ，， 可得，从而 ，此时由知 ； 若 与 不相等，则 与 也不相等，此时 与 不相等． 所以把条件改成中线后，结论不一定成立只有当 时才成立． 【分析】（1）根据角平分线的性质，即可求解； （2）设 ．由，列方程，解方程，即可求解； （3）不一定成立，若 ，可得，根据全等三角形的性质得出，可得，而若 与 不相等，则 与 也不相等，故结论不一定成立． 【详解】（1）略 （2）解：设 ，由，得 ，即 ， 解得 ，即 ； （3）略 题型34 勾股定理与折叠问题 100．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 101．（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)求线段的长度． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）折叠时，对称轴为折痕，垂直平分线段，由垂直平分线的性质得，再把的周长进行线段的转化即可； （2）设，则，因为，利用勾股定理得，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，垂直平分线段， 根据垂直平分线的性质可得：， ∴； ∴的周长是14； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得, ∴． 102．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据三角形内角和定理计算即可． （2）根据折叠性质得到，从而得到对应边相等，再利用求三角形面积求出，根据三角形内角和定理得到是直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵为的中点，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 根据三角形内角和定理得， ∴． （2）解：连接交于， ∵，为的中点， ∴， ∵（折叠的性质）， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 根据勾股定理得， ∴． 题型35 勾股定理的实际应用 103．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）连接，证明是直角三角形，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ， 在中， ，， ， 是中点， ． （2）解：连接， ，是的中点， ， ，， ， ， 是直角三角形， ， 由（1）得， ， 这块空地的面积为， 每平方米草地造价30元， 总费用为元． 104．（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风移动的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； (2)台风影响该海港持续的时间有小时 【分析】（1）过点作于点，先证明是直角三角形，利用等面积法求出，即可得出结果； （2）当时，海港正好受台风影响，由等腰三角形的性质并结合勾股定理求出，从而即可得出结果． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； （2）解：如图，当时，海港正好受台风影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵台风移动的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有小时． 105．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一辆拖拉机沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A、B的距离分别为和，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数． (2)学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ (3)若拖拉机的行驶速度为每分钟，则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【答案】(1) (2)会受噪声影响， 理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 拖拉机周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟 【分析】（1）依据勾股定理判定是直角三角形，然后得到度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：如图，在上取一点，使，连接， ， 当拖拉机在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在Rt中，， （分钟）． 答：拖拉机产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 题型36 直角三角形全等的判定综合 106．（26-27八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证∶； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴（）， ∴． (2) 【分析】（1）由中线得到，结合垂直条件得到直角，再利用对顶角相等，通过AAS证明，根据全等三角形对应边相等证得． （2）由（1）得到，结合已知，利用证明，得到，进行线段等量代换，求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∴，， 由（）知：， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， ∴， 即． 107．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质得到，结合，利用证得，从而得到； （2）先利用证明，得到，设，则，，，利用建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 在和中， ， ， ． 设，则． 已知，， ， ， 由（1）得， ， 解得． 的长为． 108．（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）综合与实践 (1)【问题探究】如图1，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E．证明：． (2)【问题探究】在（1）的基础上，如图2，点F是边上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)【问题解决】若图2中的是一块空地，和是三条小路（小路宽度忽略不计）．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，请直接写出种植鲜花的面积（的面积）． 【答案】(1)证明：∵平分， ． ，且， ． 在和中，， ， (2)解：，理由如下， ， ． 由（1），得， ． 在和中，， ． (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出相等的角，证明，即可得出结论； （2）利用证明，即可得出结论； （3）根据三角形的面积求出，然后结合相等的线段得出，最后利用三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴种植鲜花的面积为． 题型37 三角形中的动点问题 109．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)______（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发______秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)11秒或12秒 【分析】（1）根据题意可得，再利用即可求解； （2）当点在边上运动时，，其中，根据等腰三角形的定义可得，列出关于的方程，即可求解； （3）分2种情况讨论：①是以为底的等腰三角形；②是以为底的等腰三角形，画出示意图，利用等腰三角形的性质求出点运动的路程，进而得到点运动的时间，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：当点在边上运动时，，其中， ∵是等腰三角形，， ∴，即， 解得， ∴出发秒后，是等腰三角形； （3）解：①当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∵，   ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ②当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ∴综上所述，出发11秒或12秒后，是以或为底的等腰三角形． 110．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒． (1)求出的长． (2)如图1，在点运动的过程中，以为折痕折叠，求出点倍好落在边上处时的值． (3)如图2，小丽在探究过程中发现当秒时，点与点重合，此时是直角三角形，点继续运动，直接写出___________秒时，再次成为直角三角形． (4)继续探究，发现能成为等腰三角形，请直接写出为等腰三角形时，点运动的时间是___________秒． 【答案】(1) (2) (3) (4)或5或8秒 【分析】（1）直接运用勾股定理进行列式计算，即可作答． （2）结合折叠的性质得，，，则在中，，代入数值计算，即可作答． （3）当时，则是直角三角形，再根据，，故，代入数值进行计算，即可作答． （4）理解题意，根据为等腰三角形进行分类讨论，再逐个情况作图，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； （2）解：动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动时间为秒．在点运动的过程中，以为折痕折叠，点恰好落在边上处， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：； （3）解：小丽在探究过程中发现当秒时，点与点重合，此时是直角三角形，点继续运动， 当时，则是直角三角形， 由勾股定理得：， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 则， ， 解得， 点继续运动，直接写出秒时，再次成为直角三角形， （4）解：依题意，当时，如图， 则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：； 当时，如图， 则， 即， 当时，如图， ， ， ， 即． 综上所述，当为等腰三角形时，点运动的时间是或5或8秒． 111．（21-22八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①当即，再求出答案； ②分三种情况：再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴即， 解得， 所以当时，； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 此时； 当时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P与点D重合时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形， ∴， 此时． 所以当或或2或时，是等腰三角形． 题型38不等式组解决经济问题 112．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）某草原服饰店准备购进一批两种不同款式的蒙古袍，已知购进A款蒙古袍3件和B款蒙古袍4件，共需670元；购进A款蒙古袍2件和B款蒙古袍5件，共需680元．销售一件A款蒙古袍可获利20元，销售一件B款蒙古袍可获利30元． (1)A、B两款蒙古袍的进价每件各是多少元？ (2)若已知购进A款蒙古袍的数量是B款蒙古袍数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且A款蒙古袍不多于28件，则该草原服饰店在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． (2)共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设买了件B款蒙古袍，分别根据蒙古袍的数量和销售所获总利润列出不等式组，求解出范围后得到不同的进货方案． 【详解】（1）解：设款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元， 由题意可列二元一次方程组， 解得， 答：款蒙古袍每件进价元，款蒙古袍每件进价元． （2）解：设买了件B款蒙古袍，则买了件A款蒙古袍， 由题意可列不等式组， 解得，且为正整数，故或或，对应的或或， 答：共有三种进货方案：①购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；②购进款蒙古袍件，款蒙古袍件；③购进款蒙古袍件，款蒙古袍件． 113．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元 (2)3平方米和4平方米 【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元； （2）解：设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米， 根据题意得： 解得：， 因为t为正整数， 所以或， 即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． 114．（25-26七年级下·吉林·期末）2026年5月24日神舟二十三号载人飞船发射任务圆满成功，七年级（1）班很多同学都是航天爱好者，他们计划采购甲、乙两款神舟二十三号仿真飞船模型用于班级收藏．已知购买1件甲种模型和1件乙种模型共需40元；购买2件甲种模型和3件乙种模型一共花费95元． (1)求甲、乙两种飞船模型的销售单价； (2)班委会决定一共采购两款模型共计15件，且总采购预算低于320元，则最多能购进______________件甲种飞船模型； (3)供货商针对甲模型推出阶梯优惠：采购数量不超过5件按原价销售，采购数量超出5件时，超出部分每件优惠6元，乙模型售价保持不变．若仍一共采购15件模型． ①当购买甲模型为7件时，所花费用需要______________元； ②班委会决定同时购买两种模型，所用资金高于280元且不超过295元．请通过计算说明共有多少种购买方案？ 【答案】(1)甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价元； (2)9 (3)①；②共4种方案 【分析】（1）题目给出两组甲乙搭配购买的总价等量关系，可设单价建立二元一次方程组求解； （2）设甲采购数量为未知数，结合总件数表示乙的数量，根据总预算低于元列不等式，取满足条件的最大整数； （3）①甲采购7件超出5件，分段计算甲的费用，再结合乙的采购数量算出乙费用，两者相加得到总花费；②分甲采购量不超过5件、超过5件两种优惠情况列出总费用表达式，结合资金范围解不等式，筛选合法整数取值得到方案数． 【详解】（1）解：设甲种模型的销售单价为、乙种模型的销售单价为， ， 解得：， 答：甲种模型的销售单价为元、乙种模型的销售单价为元； （2）解：设购进甲种模型件，则购进乙种模型件， 由题意得：， 解得：， 因为为正整数， 所以的最大值为； （3）解：①当购买甲模型为7件时， 前5件按原价：元； 超出的2件每件优惠6元：元； 乙模型的数量为， 费用：元， 所花费用需要：元； ②设购买甲种模型件，则乙种模型件， 当时， ， 解得：， ， 故此情况无解； 当时， ， 解得：， 为正整数，故，共4种方案． 题型39不等式组解决分配问题 115．（25-26八年级下·四川成都·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．七中万达学校为培养同学们的阅读习惯，准备给各个年级配置部分图书．其中给八年级购买了《如何改变世界》和《世界真奇妙》两种书．若购买1本《如何改变世界》比1本《世界真奇妙》进价多5元；若用1400元购买《如何改变世界》与用1200元购买《世界真奇妙》的本数相同 (1)求每本《如何改变世界》和每本《世界真奇妙》各为多少元？ (2)若该校购进《如何改变世界》的本数比购进《世界真奇妙》的本数的2倍还多8本，且《世界真奇妙》的本数不少于16本，购进这两种书的总费用不超过2180元，则有几种购货方案？ 【答案】(1)每本《如何改变世界》35元，每本《世界真奇妙》30元 (2)一共有4种购货方案 【分析】（1）根据两种书的进价关系设未知数，利用本数相等的等量关系列分式方程求解； （2）根据总费用限制和本数要求列不等式组，求整数解得到购货方案的数量． 【详解】（1）解：设每本《世界真奇妙》进价为元，则每本《如何改变世界》进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每本《如何改变世界》35元，每本《世界真奇妙》30元； （2）解：设购进《世界真奇妙》本，则购进《如何改变世界》本， 根据题意得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以可以取16，17，18，19，共4种取值， 即一共有4种购货方案． 116．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积． 117．（21-22八年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 题型40不等式组解决方案问题 118．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． 【答案】(1)的值为10，的值为14 (2)共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜 【分析】（1）由购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克的费用元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克的费用元，再列二元一次方程组解答； （2）利用投入资金不少于1160元又不多于1168元，确定不等关系列一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：依题意，得 ， 解得． 答：的值为10，的值为14． （2）解：依题意，得 ， 解得：． 又∵x为正整数， ∴可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜； 方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜； 方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． 119．（25-26七年级下·福建泉州·期末）随着人工智能的迅猛发展，某艺术公司计划投入一笔资金购进甲、乙两种跳舞机器人给明星伴舞，已知购进2个甲种机器人和1个乙种机器人共需3.5万元；购进1个甲种机器人和3个乙种机器人共需3万元． (1)求购进1个甲种机器人和1个乙种机器人各需多少万元？ (2)若该公司购进甲、乙两种机器人共10个，其中甲种机器人的数量不少于乙种机器人数量的2倍，且投入资金不超过14万元，则有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】(1)购进1个甲种机器人需要1.5万元，1个乙种机器人需要0.5万元 (2)共有3种购买方案：方案一甲种机器人7个，乙种机器人3个；方案二：甲种机器人8个，乙种机器人2个；方案三：甲种机器人9个，乙种机器人1个；方案一花费最少 【分析】（1）设购进1个甲种机器人需要x万元，1个乙种机器人需要y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种机器人m个，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设购进1个甲种机器人需要x万元，1个乙种机器人需要y万元， 由题意，得，解得 答：购进1个甲种机器人需要1.5万元，1个乙种机器人需要0.5万元； （2）解：设购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个， 由题意，得， 解得， 又为正整数， ∴m可以取7，8，9． ∴共有3种购买方案． 方案一甲种机器人7个，乙种机器人3个，总费用为（万元）； 方案二：甲种机器人8个，乙种机器人2个，总费用为（万元）； 方案三：甲种机器人9个，乙种机器人1个，总费用为（万元）； 故方案一花费最少． 120．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型无人机模型单价为2400元，B型无人机模型单价为1600元． (2)共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 【分析】（1）设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台，根据题意列不等式组确定a的取值范围，再由a是正整数，确定a的取值即可求解． 【详解】（1）解：设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意可得 解得 经检验，是所列方程的根． （元） 答：A型无人机模型的单价为2400元，则B型无人机模型的单价为1600元． （2）解：设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台， 根据题意得 解得， 是正整数， 或． 当时，； 当时，； 故共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 题型41不等式组解决阶段收费问题 121．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 122．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 123．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． $