专题 期中压轴题汇总（有理数及其运算+实数：30大常考题+8大压轴题型）数学新教材浙教版七年级上册

专题 期中压轴题汇总 高频常考题 题型20 估计算术平方根的取值范围 题型1 相反意义的量 题型21 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型2 正负数的实际应用 题型22 算术平方根的实际应用 题型3 有理数的定义 题型23 已知一个数的平方根,求这个数 题型4 带非字的有理数 题型24 求一个数的立方根 题型5 数轴的三要素及其画法 题型25 已知一个数的立方根,求这个数 题型6用数轴上的点表示有理数 题型26 实数的混合运算 题型7 数轴上两点之间的距离 题型27 有理数的加减计算题 题型8 数轴上找原点 题型28有理数的乘除计算题 题型9 化简多重符号 题型29含乘方的混合运算计算题 题型10 求一个数的绝对值 题型30实数计算题 题型11 绝对值的实际应用 解答压轴题 题型12 有理数的大小比较 题型31有理数的实际应用 题型13 有理数的加减运算 题型32有理数的新定义问题 题型14有理数的乘除运算 题型33绝对值的最值问题 题型15 有理数的乘方 题型34 数轴上的动点问题 题型16 有理数的混合运算 题型35实数的规律探究题 题型17 近似数 题型36平方根的整数部分和小数部分综合 题型18 求一个数的算术平方根 题型37 实数与数轴综合 题型19 利用算术平方根的非负性解题 题型38 实数运算的实际应用 24 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 相反意义的量 1．（26-27七年级上·天津武清·阶段检测）在下列选项中，具有相反意义的量是（     ） A．走了200米和跑了200米 B．2个老师和3个学生 C．向东行40米和向北行30米 D．收入20元和支出30元 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）若向南走3米记作米，则米表示（     ） A．向东走5米 B．向西走5米 C．向北走5米 D．向前走5米 3．（吉林长春净月高新技术产业开发区华岳学校等四校2026-2027学年上学期九年级数学学科第一次学情自测（五四制））日常生活中，有许多具有相反意义的量，都可以用正数和负数来表示．如果收入300元记作300元，那么支出100元记作（     ） A．100元 B．元 C．200元 D．元 题型2 正负数的实际应用 4．（26-27七年级上·河南许昌·阶段检测）中国古代第一部数学专著《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：现有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若把一个物体向正西方移动2米记作米，那么这个物体移动了米表示（     ） A．又向正西方移动5米 B．又向正东方移动5米 C．又向正北方移动5米 D．又向正南方移动5米 5．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）某仓库购进一批优质小麦，包装袋上标有质量为的字样，则下列质量符合标准的是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·山东日照·阶段检测）在历史学中，通常以公元元年（即公元1年）为界来划分时间．我们可将公元元年前的年份记作负数，例如：公元前2年记作“年”，秦于公元前221年统一六国，而今年是公元2026年．关于结论①、②，下列判断正确的是（     ） ①公元2026年和公元前221年是一对具有相反意义的量 ②公元前221年可记作“年” A．①、②都正确 B．①、②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 题型3 有理数的定义 7．（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）在，，，，，中，负分数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．整数分为正整数和负整数 B．分数包含正分数、负分数 C．有理数不是正数就是负数 D．0是最小的整数 9．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）在、8，，0，、，6.3，，（每两个2之间依次多一个1）中，有理数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型4 带非字的有理数 10．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在下列各数中，非负数有（     ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）给出下列说法：①1.5不是分数；②正数和负数统称为有理数；③整数、分数都是有理数；④整数分为正整数、负整数；⑤非负数包括正数和0，正确说法的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型5 数轴的三要素及其画法 13．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，O为数轴的原点，若点A表示2，则点B表示（     ） A．3 B． C．5 D． 15．（26-27七年级上·云南曲靖·阶段检测）下列关于数轴的画法中，正确的是（     ） A．画一条直线，在直线上取一点作为原点，标上数字即可 B．画一条直线，规定向右为正方向，取一点为原点，选取适当长度为单位长度，标注数字 C．画一条直线，规定向左为正方向，取一点为原点，即可 D．画一条直线，在直线上标注整数即可，不需要规定方向 题型6用数轴上的点表示有理数 16．（26-27七年级上·山西晋城·阶段检测）如图，数轴的单位长度为1，在数轴上，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（     ） A． B．2 C．1 D．3 17．（26-27七年级上·四川宜宾·阶段检测）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 18．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（     ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 题型7 数轴上两点之间的距离 19．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）如图，数轴上点表示的数互为相反数（点在点的左边），且两点间的距离为，则点表示的数是（     ）． A． B．4 C．8 D．－8 20．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的右侧．若点间的距离为7，则点表示的数为（     ） A．3.5 B． C．7 D． 21．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 题型8 数轴上找原点 22．（26-27七年级上·浙江·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点B和点C表示的数互为相反数，则点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 23．（2026·河北邢台·二模）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 24．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）小明在做题时画了一个数轴，在数轴上原有一个表示的点A，由于粗心，小明把数轴的原点标错了位置，使点A落在了表示的相反数的点的位置，要把数轴画正确，原点应（    ） A．向右移4个单位长度 B．向右移2个单位长度 C．向左移4个单位长度 D．向左移2个单位长度 题型9 化简多重符号 25．（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）化简的结果是（     ）． A． B．20 C． D．40 26．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列各式的化简，错误的是（     ） A． B． C． D． 27．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）下列各对数：与，与，与，与，与，与中，互为相反数的有（     ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 题型10 求一个数的绝对值 28．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）若，则a的值是（     ） A．3 B． C．3或 D．9 29．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 30．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）若，则（     ） A． B． C．2 D．-2 题型11 绝对值的实际应用 31．（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）为保障篮球社团活动顺利开展，社团负责人采购了一批篮球，现随机检测四个篮球，质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重来看最接近标准的是（     ） A． B． C． D． 32．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）洛川苹果是黄土高原孕育出的知名苹果品类．某果商随机抽取了四箱苹果进行质量监测，超过标准质量的千克数记作正数，不足标准质量的千克数记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A．1kg B． C． D． 33．（2026·海南·三模）海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 题型12 有理数的大小比较 34．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）下列数中，最大的有理数是（    ） A． B． C． D． 35．（26-27七年级上·吉林·阶段检测）下列大小比较正确的是（　　） A． B． C． D． 36．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型13 有理数的加减运算 37．（26-27七年级上·安徽亳州·阶段检测）寒假的某一天，谯城区早上的温度是，中午比早上上升了，此时的温度是（     ） A． B． C． D． 38．（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）若式子的结果为负数，则“？”可以是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 39．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）把写成省略括号的形式是（     ） A． B． C． D． 题型14有理数的乘除运算 40．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）下列式子中，积的符号为负的是（    ） A． B． C． D． 41．（26-27七年级上·山西忻州·阶段检测）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 42．（2026七年级上·全国·专题练习）（    ） A．2 B． C．1 D．4 题型15 有理数的乘方 43．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 44．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 45．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）2026年冰雪旅游季，某景区共接待游客人次，这个数用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 题型16 有理数的混合运算 46．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，，，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 47．（26-27七年级上·山东济宁·阶段检测）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果是（     ） A． B．4 C． D． 48．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）规定一种新运算“⊗”：．例如．按此规定，计算的结果是（     ） A．13 B．1 C． D．5 题型17 近似数 49．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）近似数万精确到（     ） A．万分位 B．千分位 C．百位 D．十分位 50．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）用四舍五入法按要求对0.0509分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.050（精确到千分位） D．0.051（精确到0.001） 51．（26-27七年级上·天津蓟州·阶段检测）近似数所表示的准确数的范围是（     ） A． B． C． D． 题型18 求一个数的算术平方根 52．（26-27八年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（     ） A．的值为 B．的平方根是 C．没有平方根 D．的平方根是 53．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C．2 D． 54．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）一个数的算术平方根是它本身，那么这个数是（     ） A．0 B．0或1 C．0或 D．或1 题型19 利用算术平方根的非负性解题 55．（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 56．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 57．（21-22八年级下·浙江湖州·阶段检测）关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 题型20 估计算术平方根的取值范围 58．（2023·山东日照·模拟预测）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 59．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 60．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 题型21 求算术平方根的整数部分和小数部分 61．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 62．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的整数部分为a，小数部分为b，则为（   ） A． B． C． D． 63．（21-22八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）数，则有，即，所以的整数部分是2，小数部分是．用这种方法可以推断的整数部分和小数部分分别是（   ） A．5， B．2， C．5， D．2， 题型22 算术平方根的实际应用 64．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）用张边长为的正方形硬纸片，拼成一个更大的正方形，在下面四个数中，的值不可能是（     ） A． B． C． D． 65．（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 66．（26-27八年级上·甘肃·期中）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 题型23 已知一个数的平方根,求这个数 67．（25-26八年级上·全国·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．9 B．3 C．81 D．16 68．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 69．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．49 题型24 求一个数的立方根 70．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 71．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C． D． 72．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）的平方根与的立方根之和是（     ） A．0 B． C．2 D．0或 题型25 已知一个数的立方根,求这个数 73．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 74．（25-26七年级下·云南楚雄·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 75．（22-23八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 题型26 实数的混合运算 76．（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 77．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若m是的小数部分，n是的小数部分，则的值是（     ） A．1 B． C．4 D． 78．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（     ） A． B． C． D． 题型27 有理数的加减计算题 79．（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 80．（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）用简便算法进行计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型28有理数的乘除计算题 81．（26-27七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）计算 (1)； (2) 82．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1) (2) 题型29含乘方的混合运算计算题 83．（26-27七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1)； (2)． 84．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型30实数计算题 85．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）计算： (1)； (2)． 86．（25-26七年级下·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 题型31有理数的实际应用 87．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段检测）某网约车司机在一条东西向国道上往返行驶，以出发地为原点，我们把东向行驶记作，西向行驶记作．一天下来该网约车行驶数据如下：（单位公里）、、、、、、、、、． (1)该网约车一天一共行驶多少公里？ (2)一天结束时，该网约车距离出发地多远、在哪个方向？ (3)每公里油耗升，每升汽油元，该网约车一天油费多少元？ 88．（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）近几年全球新能源汽车迅猛发展，我国已成为全球最大的新能源汽车市场．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶______； (2)求小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶的路程； (3)假设这七天行驶前汽车处于满电状态，已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余行驶路程不足续航的，行车电脑就会发出充电提示，请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 89．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）水果店引进一批智利进口车厘子，一共盒，每盒标准净重．超过记为正数，不足记为负数，称重后得到如下记录： 每盒与标准质量的差（） 盒数（盒） (1)求这盒车厘子的总净重； (2)水果店按每盒实际净重分级销售：单盒净重不低于的定为“特级果”，售价为元；单盒净重低于定为“一级果”，售价为元．若按上述标准分级销售，求这盒车厘子的总销售收入； (3)若这批车厘子按实际净重以元购进，且冷链运输及包装费用共元．求全部售完后的总利润． 题型32有理数的新定义问题 90．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 91．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）七年级小莉同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚 的兴趣．为庆祝“国庆节”，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值． (2)求的值． 92．（24-25七年级上·陕西渭南·阶段检测）对于任意的两个有理数，定义．如． (1)计算的值； (2)计算的值． 题型33绝对值的最值问题 93．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 94．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离与，与．并回答下列各题：    (1)你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与在数轴上的对应点的距离是 ． (2)若数轴上的点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离可以表示为 ． (3)结合数轴思考，的最小值为多少？ (4)满足，求的值为多少？ 95．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）定义：若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是______（用含的代数式表示）； (2)若，则的值为______； (3)若，则的值为______； (4)当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是______． 题型34 数轴上的动点问题 96．（26-27七年级上·广西崇左·阶段检测）已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 97．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 98．（25-26七年级上·湖南张家界·期中）如图，已知数轴的单位长度为1，DE的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，A点表示的数是______，B点表示的数是______，C点表示的数是______． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 题型35实数的规律探究题 99．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 100．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 101．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 题型36平方根的整数部分和小数部分综合 102．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 103．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 104．（【新东方】初中数学-初一上-31）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数分部为，的整数部分为1，小数部分可用表示，再如，的整数部分为，小数部分为，由此得到，如果，其中x是整数，且，那么，． (1)如果，其中a是整数，且，那么___________，___________． (2)已知，其中m是整数，且，求的值； (3)如果，其中c是整数，且，求出c，d的值． 题型37 实数与数轴综合 105．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知点，是数轴上两点，，点在点右侧，点表示的数为，点表示的数为的算术平方根． (1)求的值； (2)化简； (3)，是数轴上两点，所表示的数分别为和，，且满足与互为相反数，其中为实数，求的平方根． 106．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点表示的数是2，则滚动前点表示的数是m． (1)实数的值是_______； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； (3)在数轴上还有点表示实数，它的两个平方根分别为与，且，化简：． 107．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ∵， ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为______，小数部分为______． (3)已知x是整数，，且，求的值． 题型38 实数运算的实际应用 108．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 109．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 110．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） $专题 期中压轴题汇总 高频常考题 题型20 估计算术平方根的取值范围 题型1 相反意义的量 题型21 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型2 正负数的实际应用 题型22 算术平方根的实际应用 题型3 有理数的定义 题型23 已知一个数的平方根,求这个数 题型4 带非字的有理数 题型24 求一个数的立方根 题型5 数轴的三要素及其画法 题型25 已知一个数的立方根,求这个数 题型6用数轴上的点表示有理数 题型26 实数的混合运算 题型7 数轴上两点之间的距离 题型27 有理数的加减计算题 题型8 数轴上找原点 题型28有理数的乘除计算题 题型9 化简多重符号 题型29含乘方的混合运算计算题 题型10 求一个数的绝对值 题型30实数计算题 题型11 绝对值的实际应用 解答压轴题 题型12 有理数的大小比较 题型31有理数的实际应用 题型13 有理数的加减运算 题型32有理数的新定义问题 题型14有理数的乘除运算 题型33绝对值的最值问题 题型15 有理数的乘方 题型34 数轴上的动点问题 题型16 有理数的混合运算 题型35实数的规律探究题 题型17 近似数 题型36平方根的整数部分和小数部分综合 题型18 求一个数的算术平方根 题型37 实数与数轴综合 题型19 利用算术平方根的非负性解题 题型38 实数运算的实际应用 60 / 60 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 相反意义的量 1．（26-27七年级上·天津武清·阶段检测）在下列选项中，具有相反意义的量是（     ） A．走了200米和跑了200米 B．2个老师和3个学生 C．向东行40米和向北行30米 D．收入20元和支出30元 【答案】D 【详解】解：A、 走了米和跑了米，走和跑是不同运动方式，不是相反意义，不符合题意. B、个老师和个学生，老师和学生是不同身份类别，不是相反意义，不符合题意. C、 向东行米和向北行米，向东和向北是不同方向，不是相反意义，不符合题意. D、收入元和支出元，收入和支出是相反意义的量，符合题意． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）若向南走3米记作米，则米表示（     ） A．向东走5米 B．向西走5米 C．向北走5米 D．向前走5米 【答案】C 【分析】理解正负数在表示相反意义的量时的规定即可求解． 【详解】解：∵向南走3米记作米． ∴向南的相反方向为向北，记为负． ∴米表示向北走5米． 3．（吉林长春净月高新技术产业开发区华岳学校等四校2026-2027学年上学期九年级数学学科第一次学情自测（五四制））日常生活中，有许多具有相反意义的量，都可以用正数和负数来表示．如果收入300元记作300元，那么支出100元记作（     ） A．100元 B．元 C．200元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵收入与支出是具有相反意义的量，收入元记作元，即收入用正数表示， ∴支出元记作元. 题型2 正负数的实际应用 4．（26-27七年级上·河南许昌·阶段检测）中国古代第一部数学专著《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：现有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若把一个物体向正西方移动2米记作米，那么这个物体移动了米表示（     ） A．又向正西方移动5米 B．又向正东方移动5米 C．又向正北方移动5米 D．又向正南方移动5米 【答案】B 【分析】依据正负数表示相反意义的量这一概念进行判断即可． 【详解】解：∵向正西方移动2米记作米，即向西移动记为负， ∴向东移动记为正， ∴米表示又向正东方移动5米． 5．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）某仓库购进一批优质小麦，包装袋上标有质量为的字样，则下列质量符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出质量合格的范围，进而得出答案． 【详解】解：，， ∴小麦质量合格的范围为大于等于，小于等于， ∴符合标准的是． 6．（26-27七年级上·山东日照·阶段检测）在历史学中，通常以公元元年（即公元1年）为界来划分时间．我们可将公元元年前的年份记作负数，例如：公元前2年记作“年”，秦于公元前221年统一六国，而今年是公元2026年．关于结论①、②，下列判断正确的是（     ） ①公元2026年和公元前221年是一对具有相反意义的量 ②公元前221年可记作“年” A．①、②都正确 B．①、②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 【答案】D 【分析】根据题意公元前年份记作对应负数的规则进行判断即可． 【详解】解：根据题中公元前年份记作对应负数的规则， 公元年和公元前年是纪年时间节点，不属于具有相反意义的量，故错误， 公元前年记作年，故正确． 题型3 有理数的定义 7．（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）在，，，，，中，负分数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据负分数的概念分析即可． 【详解】解：，，，， 负分数有，，共2个． 8．（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．整数分为正整数和负整数 B．分数包含正分数、负分数 C．有理数不是正数就是负数 D．0是最小的整数 【答案】B 【分析】根据整数、分数、有理数的分类标准，逐一判断四个选项的正误． 【详解】解：整数分为正整数，，负整数．故A错误； 分数包含正分数，负分数，故B正确； 有理数包含正有理数，，负有理数，既不是正数也不是负数．故C错误； 负整数属于整数且小于，故不是最小的整数，D错误． 9．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）在、8，，0，、，6.3，，（每两个2之间依次多一个1）中，有理数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查有理数的概念，掌握有理数的概念是解题关键． 有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，根据定义逐一判断每个数是否是有理数即可． 【详解】解：根据有理数的概念，其中，，，，，，是有理数，共7个， 和（每两个2之间依次多一个1）不是有理数， 故选：D． 题型4 带非字的有理数 10．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在下列各数中，非负数有（     ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：在给定的数中，非负数有，共个． 11．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）给出下列说法：①1.5不是分数；②正数和负数统称为有理数；③整数、分数都是有理数；④整数分为正整数、负整数；⑤非负数包括正数和0，正确说法的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵，是分数， ∴①错误； ∵整数和分数统称为有理数，按符号可分为正有理数、、负有理数， ∴②“正数和负数统称为有理数”的说法错误； ∵“整数、分数都是有理数” ∴③正确； ∵整数分为正整数、、负整数， ∴④错误； ∵非负数包括正数和， ∴⑤正确； 综上，正确的说法有个. 12．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）在，，0，23，中，非负整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先明确非负整数的定义，即大于等于0的整数，再逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负分数，不符合要求； 是分数，不符合要求； 是非负整数，符合要求； 是非负整数，符合要求； 是负整数，不符合要求； ∴符合条件的非负整数共个． 题型5 数轴的三要素及其画法 13．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：数轴具有原点、单位长度和正方向，A图没有原点；B图单位长度不统一；C图没有正方向；只有D符合三个特征． 14．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，O为数轴的原点，若点A表示2，则点B表示（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，点A在数轴右侧距离原点O两个单位处，点B在数轴左侧距离原点O三个单位处，点A表示2，则点B表示． 15．（26-27七年级上·云南曲靖·阶段检测）下列关于数轴的画法中，正确的是（     ） A．画一条直线，在直线上取一点作为原点，标上数字即可 B．画一条直线，规定向右为正方向，取一点为原点，选取适当长度为单位长度，标注数字 C．画一条直线，规定向左为正方向，取一点为原点，即可 D．画一条直线，在直线上标注整数即可，不需要规定方向 【答案】B 【分析】数轴的三个核心构成要素：原点、正方向、单位长度．逐一对照各选项，检查是否同时满足三个要素：如果某个选项缺少任意一个要素，那么该选项不符合数轴的画法要求．确认正方向的规定规则，因为通常默认向右为正方向，若规定向左为正方向也属于合理，但需结合其他要素共同判断． 【详解】解：数轴需具备原点、正方向、单位长度三个要素，三者缺一不可． A、选项缺少正方向与单位长度，不符合要求． B、选项同时具备三个要素，符合要求． C、选项缺少单位长度，不符合要求． D、选项缺少原点与正方向，不符合要求． 题型6用数轴上的点表示有理数 16．（26-27七年级上·山西晋城·阶段检测）如图，数轴的单位长度为1，在数轴上，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数是（     ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】C 【详解】解：由图可知，两点间的距离为． 点，表示的数互为相反数， 原点位于线段的中点处，如图， 点表示的数为1． 17．（26-27七年级上·四川宜宾·阶段检测）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点间的整数个数计算方法，分别求出两处墨水覆盖范围内的整数个数，再求和即可． 【详解】解：左侧墨水淹没的范围在，之间， 则该范围的整数有个， 右侧墨水淹没的范围在，之间， 该范围的整数有个， 故被淹没的整数点有个． 18．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字（     ）重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据圆周长为4个单位长度，利用除以4，进而可得答案． 【详解】解：根据题意得：， ∵圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合， ∴数轴上的0对应圆周上的1，数轴上的对应圆周上的2，数轴上的对应圆周上的3，数轴上的对应圆周上的0， ∴数轴上的数将与圆周上的数字1重合． 题型7 数轴上两点之间的距离 19．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）如图，数轴上点表示的数互为相反数（点在点的左边），且两点间的距离为，则点表示的数是（     ）． A． B．4 C．8 D．－8 【答案】B 【分析】根据互为相反数的两个数，在数轴上对应的点到原点（数字）的距离相等，并且分别在原点的左右两侧，即可得到答案． 【详解】解：∵点表示的数互为相反数，互为相反数的两点到原点的距离相等，相距， ∴两点到原点的距离均为， ∵点在点的左边， ∴点表示，点表示． 20．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的右侧．若点间的距离为7，则点表示的数为（     ） A．3.5 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】解：∵点，表示的数互为相反数． ∴，两点分别在原点两侧，且到原点的距离相等． ∵，两点间的距离为． ∴点到原点的距离为． ∵点在点的右侧． ∴点在原点左侧，表示的数为． 21．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 题型8 数轴上找原点 22．（26-27七年级上·浙江·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点B和点C表示的数互为相反数，则点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定原点位置，进而可得点A对应的数． 【详解】解：如图， ∵点B和点C表示的数互为相反数， ∴原点在线段的中点处， ∵数轴的单位长度为1， ∴点A对应的数是． 23．（2026·河北邢台·二模）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 24．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）小明在做题时画了一个数轴，在数轴上原有一个表示的点A，由于粗心，小明把数轴的原点标错了位置，使点A落在了表示的相反数的点的位置，要把数轴画正确，原点应（    ） A．向右移4个单位长度 B．向右移2个单位长度 C．向左移4个单位长度 D．向左移2个单位长度 【答案】A 【分析】根据数轴上的点表示的数的规律，即可求解． 【详解】解：∵点落在了表示的相反数的点的位置， ∴此时点落在表示2的点， ∵表示2的点和表示的点的距离是， ∴如图，将原点向右移4个单位，则点A表示的数是． 题型9 化简多重符号 25．（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）化简的结果是（     ）． A． B．20 C． D．40 【答案】B 【分析】一个数前面添加负号，就得到这个数的相反数，负负得正． 【详解】解：． 26．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列各式的化简，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，正确； B选项：，正确； C选项：，错误； D选项：，正确． 27．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）下列各对数：与，与，与，与，与，与中，互为相反数的有（     ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】A 【分析】根据相反数的定义进行作答即可． 【详解】解：，故与相等，不是互为相反数； ，，与相等，不是互为相反数； ，，3与互为相反数，故与互为相反数； ，，与相等，故与不是互为相反数； ，，与3互为相反数，故与互为相反数； 与，互为相反数； 故互为相反数的有3对． 题型10 求一个数的绝对值 28．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）若，则a的值是（     ） A．3 B． C．3或 D．9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴或． 29．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的一组是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：化简各数：，，，，； A、C、D中两数均相等，不是相反数；B中两数互为相反数． 30．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）若，则（     ） A． B． C．2 D．-2 【答案】B 【分析】算出的绝对值等于，由此求出的值为． 【详解】解：， ． 题型11 绝对值的实际应用 31．（26-27七年级上·四川自贡·阶段检测）为保障篮球社团活动顺利开展，社团负责人采购了一批篮球，现随机检测四个篮球，质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重来看最接近标准的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各数的绝对值，绝对值最小的最接近标准． 【详解】解：∵，，，， ∴ ∴ 最接近标准的是． 32．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）洛川苹果是黄土高原孕育出的知名苹果品类．某果商随机抽取了四箱苹果进行质量监测，超过标准质量的千克数记作正数，不足标准质量的千克数记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A．1kg B． C． D． 【答案】D 【分析】最接近标准质量即所记数值的绝对值最小，比较各选项数的绝对值即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴记录为的苹果最接近标准质量． 33．（2026·海南·三模）海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偏差的绝对值越小，说明足球质量与标准质量的差距越小，即可判断． 【详解】解：∵，，，，且， ∴对应足球最接近标准质量． 题型12 有理数的大小比较 34．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）下列数中，最大的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据有理数的定义排除无理数选项，再比较剩余有理数的大小． 【详解】解：∵是无限不循环小数，不是有理数，不符合题干要求， ∴排除选项C． ∵，正数大于负数， ∴最大的有理数是． 35．（26-27七年级上·吉林·阶段检测）下列大小比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，，且，则，故本选项正确，符合题意； B、，，则，故本选项错误，不符合题意； C、，，则，故本选项错误，不符合题意； D、，，，，则，故本选项错误，不符合题意． 36．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）若，，，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简、、得到具体数值，再比较大小． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴． 题型13 有理数的加减运算 37．（26-27七年级上·安徽亳州·阶段检测）寒假的某一天，谯城区早上的温度是，中午比早上上升了，此时的温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得中午温度为． 38．（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）若式子的结果为负数，则“？”可以是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵的结果为负数， ∴“？”表示的数小于， 观察四个选项可知，符合条件的数是2． 39．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）把写成省略括号的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则，逐一去掉式子中的括号，合并符号即可得到省略括号的形式． 【详解】解：根据去括号法则， ． 题型14有理数的乘除运算 40．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）下列式子中，积的符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过统计各选项负因数个数及是否含0，判断积的符号． 【详解】解：A选项有2个负因数，积的符号为正，不符合题意． B选项有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． C选项含因数0，积为0，不符合题意． D选项有3个负因数，积的符号为负，符合题意． 41．（26-27七年级上·山西忻州·阶段检测）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异号相乘为负，对照各选项即可． 【详解】解：A、异号两数相乘结果为负数，符合题意； B、同号两数相乘结果为正，不符合题意； C、结果为0，不符合题意； D、同号两数相乘结果为正，不符合题意． 42．（2026七年级上·全国·专题练习）（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解： ． 题型15 有理数的乘方 43．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，A错误； B、，B正确，符合题意； C、，C错误； D、，D错误． 44．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】注意乘方运算中负号的归属，计算各选项数值后比较． 【详解】解：分别计算各选项中两个数的值． A组：，，数值不相等． B组：，，数值不相等． C组：，，数值不相等． D组：，，数值相等． 45．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）2026年冰雪旅游季，某景区共接待游客人次，这个数用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中， 为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，据此可求出答案． 【详解】解：． 题型16 有理数的混合运算 46．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，，，，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需明确乘方运算的底数与运算顺序，准确计算的值后判断各选项． 【详解】解：，，，， ∵， ∴，A错误，B正确， ∵， ∴，C错误， ∵，，， ∴，D错误． 47．（26-27七年级上·山东济宁·阶段检测）如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果是（     ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据程序框图的运算规则，将输入值代入计算，若结果不小于则重新代入，直到结果小于为止． 【详解】解：当输入时， ， ∵ ， ∴将再次输入 当输入时， ， ∵ ， ∴输出． 48．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）规定一种新运算“⊗”：．例如．按此规定，计算的结果是（     ） A．13 B．1 C． D．5 【答案】B 【详解】解：由题意得， ． 题型17 近似数 49．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）近似数万精确到（     ） A．万分位 B．千分位 C．百位 D．十分位 【答案】C 【详解】解：近似数万， 近似数万精确到百位， 故选：C． 50．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）用四舍五入法按要求对0.0509分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.050（精确到千分位） D．0.051（精确到0.001） 【答案】C 【详解】解：精确到，得，A正确． 精确到百分位，得，B正确． 精确到千分位，得，C错误． 精确到，得，D正确． 51．（26-27七年级上·天津蓟州·阶段检测）近似数所表示的准确数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从近似数的精确度出发，结合四舍五入的“四舍”“五入”两种情况推导准确数的取值范围． 【详解】解：∵ 近似数精确到百分位，由千分位四舍五入得到， ∴“五入”得到时，准确数最小为，即； ∵“四舍”得到时，准确数需小于，即． ∴ 准确数的取值范围是． 题型18 求一个数的算术平方根 52．（26-27八年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（     ） A．的值为 B．的平方根是 C．没有平方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：对于选项A：，而不是，故A错误； 对于选项B：的平方根是，故B错误； 对于选项C：的平方根是，故C错误； 对于选项D：，而的平方根是，故D正确． 53．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先化简，再求化简后数的平方根． 【详解】解：， ∵， ∴的平方根是，即的平方根是． 54．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）一个数的算术平方根是它本身，那么这个数是（     ） A．0 B．0或1 C．0或 D．或1 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义 ∵ 的算术平方根是，等于它本身，的算术平方根是，等于它本身，负数没有算术平方根，不符合条件． ∴ 满足条件的数是或． 题型19 利用算术平方根的非负性解题 55．（26-27八年级上·广东清远·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 56．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 【答案】A 【分析】由二次根式有意义的条件及平方的非负性，确定被开方数只能为0． 【详解】解：要使为实数，需， ∴ ∵， ∴， 解得， 即满足条件的x只有1个． 57．（21-22八年级下·浙江湖州·阶段检测）关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 【答案】D 【分析】根据得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时，代数式取得最小值3． 题型20 估计算术平方根的取值范围 58．（2023·山东日照·模拟预测）估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】使用夹逼法，找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， 因此的值在和之间． 59．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 60．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 题型21 求算术平方根的整数部分和小数部分 61．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 62．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的整数部分为a，小数部分为b，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先估算出的范围，再求出的值，最后代入求出结果即可． 【详解】解：∵，的整数部分为a，小数部分为b， ∴，， ∴． 63．（21-22八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）数，则有，即，所以的整数部分是2，小数部分是．用这种方法可以推断的整数部分和小数部分分别是（   ） A．5， B．2， C．5， D．2， 【答案】A 【分析】本题按照题干给出的夹逼法，先找出相邻的两个可开方的完全平方数确定的范围，再据此计算整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为原数减去整数部分，即． 题型22 算术平方根的实际应用 64．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）用张边长为的正方形硬纸片，拼成一个更大的正方形，在下面四个数中，的值不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先说明的值为完全平方数，然后逐个判断即可． 【详解】解：拼成大正方形时，每行与每列的小正方形个数相等，故总个数为完全平方数． ∵ ，，，均为完全平方数，不是完全平方数， ∴ 的值不可能是99． 65．（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 66．（26-27八年级上·甘肃·期中）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知数据代入公式，直接求解电流． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴（舍去负值）， ∴ 电流为． 题型23 已知一个数的平方根,求这个数 67．（25-26八年级上·全国·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．9 B．3 C．81 D．16 【答案】C 【详解】解：依题意， 解得： ∴这个正数是： 68．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 69．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．49 【答案】B 【分析】根据平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 题型24 求一个数的立方根 70．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，∴ A错误； B、∵，∴ B正确； C、∵，∴ C错误； D、∵，∴，D错误． 71．（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴4的平方根是． 72．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）的平方根与的立方根之和是（     ） A．0 B． C．2 D．0或 【答案】D 【分析】分别求出的平方根与的立方根，再求和即可得到答案． 【详解】解：， 的平方根为． ， ∴和为或． 题型25 已知一个数的立方根,求这个数 73．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． 74．（25-26七年级下·云南楚雄·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是2，则的值为（    ） A．18 B．36 C．44 D．52 【答案】C 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，进而可求的值． 【详解】∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵y的立方根是2， ∴， ∴． 故选：C． 75．（22-23八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 题型26 实数的混合运算 76．（25-26七年级下·广西崇左·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义和绝对值的定义可得：原式，再根据有理数的加法法则计算． 【详解】解：． 77．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若m是的小数部分，n是的小数部分，则的值是（     ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先估算出m，n的值，然后再计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即的整数部分为3， ∴． ∵， ∴， 即的整数部分为0． ∴． ∴． 78．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求出的长，由对称性得出，利用点表示的数减去的长即可求出点表示的数． 【详解】解：∵点、表示的数分别为和， ∴， ∵点关于点的对称点为点， ∴，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 题型27 有理数的加减计算题 79．（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 80．（26-27七年级上·辽宁锦州·阶段检测）用简便算法进行计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加减运算法则，结合加法运算律和绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型28有理数的乘除计算题 81．（26-27七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 82．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律简化计算； （2）将除法转化为乘法，再按多个有理数相乘的法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型29含乘方的混合运算计算题 83．（26-27七年级上·辽宁营口·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照有理数混合运算顺序，先计算乘方、括号内运算与绝对值，再计算乘除，最后计算加减； （2）按照有理数混合运算顺序计算，注意乘方的符号规则，先计算乘方与绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 84．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型30实数计算题 85．（21-22七年级下·吉林·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 86．（25-26七年级下·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型31有理数的实际应用 87．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段检测）某网约车司机在一条东西向国道上往返行驶，以出发地为原点，我们把东向行驶记作，西向行驶记作．一天下来该网约车行驶数据如下：（单位公里）、、、、、、、、、． (1)该网约车一天一共行驶多少公里？ (2)一天结束时，该网约车距离出发地多远、在哪个方向？ (3)每公里油耗升，每升汽油元，该网约车一天油费多少元？ 【答案】(1)该网约车一天一共行驶151公里． (2)一天结束时，该网约车距离出发地1公里，在出发地西侧． (3)该网约车一天油费元． 【分析】（1）计算所有行驶数据的绝对值之和即可； （2）先求出所有行驶数据的代数和，计算结果的正负对应方向，绝对值对应距离，据此即可解答； （3）油费通过总路程、每公里油耗与汽油单价连乘计算即可． 【详解】（1）解：总行驶路程为各段行驶路程的绝对值之和： （公里）． 答：该网约车一天一共行驶151公里． （2）解：计算所有行驶数据的代数和（公里）， ∵西向行驶记作，计算结果为负 ∴该网约车在出发地西侧，距离出发地1公里． 答：一天结束时，该网约车距离出发地1公里，在出发地西侧． （3）解：总耗油量：（升）； 总油费：（元）． 答：该网约车一天油费元． 88．（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）近几年全球新能源汽车迅猛发展，我国已成为全球最大的新能源汽车市场．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶______； (2)求小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶的路程； (3)假设这七天行驶前汽车处于满电状态，已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余行驶路程不足续航的，行车电脑就会发出充电提示，请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1) (2) (3)行车电脑不会发出充电提示， ， ， ， 剩余行驶路程超过续航的，行车电脑不会发出充电提示． 【分析】（1）由表格可得，路程最多的一天是偏差值最大的正数，即第七天，记为，路程最少的一天是偏差值最小的负数，即第三天，记为，作差即可得出结果； （2）根据总路程标准路程天数偏差总和，计算即可得出结果； （3）先求出续航的是多少，再求出汽车行驶结束时的剩余行驶路程，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可得，路程最多的一天是偏差值最大的正数，即第七天，记为，路程最少的一天是偏差值最小的负数，即第三天，记为， ∴这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解： ， 故小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶的路程为； （3）解：行车电脑不会发出充电提示， ， ， ， 剩余行驶路程超过续航的，行车电脑不会发出充电提示． 89．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）水果店引进一批智利进口车厘子，一共盒，每盒标准净重．超过记为正数，不足记为负数，称重后得到如下记录： 每盒与标准质量的差（） 盒数（盒） (1)求这盒车厘子的总净重； (2)水果店按每盒实际净重分级销售：单盒净重不低于的定为“特级果”，售价为元；单盒净重低于定为“一级果”，售价为元．若按上述标准分级销售，求这盒车厘子的总销售收入； (3)若这批车厘子按实际净重以元购进，且冷链运输及包装费用共元．求全部售完后的总利润． 【答案】(1) (2)元 (3)元 【分析】（1）求出称重记录的数据之和，再与标准重量相加，即为总净重量； （2）先分别求出特级果净重、一级果净重，然后再列式求销售总收入即可； （3）先求出总成本，再用总销售收入减去总成本即可解答． 【详解】（1）解：． 答：盒车厘子的总净重． （2）解：特级果净重：； 一级果净重：； 销售总收入：元． 答：销售总收入元． （3）解：总成本：元； 总利润：元． 答：全部售完后的总利润为元． 题型32有理数的新定义问题 90．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入，计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ． （2）解： ． 91．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）七年级小莉同学在学习完第一章《有理数》后，对运算产生了浓厚 的兴趣．为庆祝“国庆节”，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）利用规定的运算法则代入计算即可； （2）先利用规定的运算法则计算，可得结果为，再利用规定的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：依题意得， （2）由题意可得： ∴ 【点睛】此题考查了有理数的混合运算．定义新运算的题目要严格按照题中给出的计算法则计算，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 92．（24-25七年级上·陕西渭南·阶段检测）对于任意的两个有理数，定义．如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数混合运算、化简绝对值等知识，正确理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算，代入数值求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型33绝对值的最值问题 93．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 94．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离与，与．并回答下列各题：    (1)你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与在数轴上的对应点的距离是 ． (2)若数轴上的点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离可以表示为 ． (3)结合数轴思考，的最小值为多少？ (4)满足，求的值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据题意，计算即可； （2）根据题意，与两点间的距离表示为，整理式子即可； （3）根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”，故当时，的值最小，计算即可； （4）由（3）知，的最小值5；可知分“当时”和“当时”两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：； （2）解：根据题意，与两点间的距离表示为， 故答案为：； （3）解：根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为； （4）解：∵由（3）知，的最小值5， ∴； ∴当时，， ∴； 当时，， ∴． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离、分类讨论是解题的关键． 95．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）定义：若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是______（用含的代数式表示）； (2)若，则的值为______； (3)若，则的值为______； (4)当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 (3)或3 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的应用，解题的关键是理解绝对值的几何意义和两点间的距离公式． （1）由题意即可求解； （2）根据表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离，根据这个距离为2即可求解； （3）表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8，根据此意义考虑数x表示的点在表示的点的左边、在1表示的点的右边两种情况，即可求解； （4）表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和，当数x表示的点在1表示的点与表示的点之间时，取到最小值． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离为2，而数轴上到表示的点的距离为2的点有两个，这两个点表示的数分别为1与， 即或， 故答案为：或； （3）解：表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8， 由于数轴上1表示的点与表示的点的距离， 当数轴上数x表示的点在表示的点的左边，且当时，有，满足题意； 当数轴上数x表示的点在1表示的点的右边，且当，有，满足题意； 综上，或； 故答案为：或3； （4）解：表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和， 当数轴上数x表示的点在1表示的点与表示的点的之间（包括这两个点）时，， 当数轴上数x表示的点在表示的点的左边，或数轴上数x表示的点在1表示的点的右边，这时数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和都大于4， 所以取到最小值4，此时x的取值范围为， 故答案为：． 题型34 数轴上的动点问题 96．（26-27七年级上·广西崇左·阶段检测）已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 【答案】(1)1 (2)或 (3)点P对应，点Q对应或点P对应，点Q对应 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）分两种情况：①点P在点M的左边；②点P在点N的右边；进行讨论即可求解； （3）分两种情况：①点P在点Q的左边；②点P在点Q的右边；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵点M对应的数是，点N在M右边4个单位， ∴， （2）， ①点P在点M的左边：， ②点P在点N的右边：． 故点P所对应的数是或． （3）解：①点P在点Q的左边： =12÷1 （秒）， 点P对应的数是，点Q对应的数是； ②点P在点Q的右边： =16÷1 （秒）； 点P对应的数是，点Q对应的数是． 97．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)当时，点Q到原点O的距离为6； (2)当时，点Q到原点O的距离为4； (3)点P到点Q的距离为6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， ∴当时，点Q到原点O的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ∴当时，点Q向右运动，， ∴当时，点Q到原点O的距离为4； （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， 运动时间为（秒）， ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ②点Q向右运动时且还没经过点A时， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ③点Q向右运动时且经过点A后， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为12； ； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 98．（25-26七年级上·湖南张家界·期中）如图，已知数轴的单位长度为1，DE的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，A点表示的数是______，B点表示的数是______，C点表示的数是______． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1) (2)或1 (3)4秒 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，，得到、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：∵A、B互为相反数，且， 所以A表示－1，B表示1， 所以C表示的数为5． （2）解：因为A为原点表示O，E在点A点左侧距离2个单位，所以E点表示的数是－2， 因为，所以当F点在E点左侧，点F表示的数是； 当F点在E点右侧，点F点表示的数是， 所以点F表示的数或1． （3）解：因为B、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A，则点B表示的数为2，点C表示的数为6， 所以点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 题型35实数的规律探究题 99．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 100．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）学习《实数》之后，在数学活动课上，丁老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律： … 【实践探究】 （1）按照此规律，①计算：________； ②第n个式子是_______（用含n的式子表示，n是大于等于1整数）； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请求出x的值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可； （3）利用（1）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】解：（1）①第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ②第n个：， 故答案为：；； （2）、 ； （3）符合上述规律， ， 101．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 题型36平方根的整数部分和小数部分综合 102．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 103．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查无理数的估算，涉及二次根式性质、代数式求值，读懂文字材料，理解表示无理数整数部分与小数部分的方法是解决问题的关键． （1）先估算的范围，再由材料中的方法表示即可得到答案； （2）先估算的范围，再由材料中的方法表示，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分为； （2）解：， ， ∴， 是的整数部分，是的小数部分， ，， ． 104．（【新东方】初中数学-初一上-31）阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数分部为，的整数部分为1，小数部分可用表示，再如，的整数部分为，小数部分为，由此得到，如果，其中x是整数，且，那么，． (1)如果，其中a是整数，且，那么___________，___________． (2)已知，其中m是整数，且，求的值； (3)如果，其中c是整数，且，求出c，d的值． 【答案】(1)2， (2) (3)， 【分析】（1）估算出，即可求解． （2）根据题意确定出m，n的值，代入即可求解． （3）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：，其中a是整数，且，， ，， 故答案为：2，． （2），其中m是整数，且， ，， ． （3）由（1）可得：， ， ，其中c是整数，且， ，． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． 题型37 实数与数轴综合 105．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知点，是数轴上两点，，点在点右侧，点表示的数为，点表示的数为的算术平方根． (1)求的值； (2)化简； (3)，是数轴上两点，所表示的数分别为和，，且满足与互为相反数，其中为实数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根，平方根，实数与数轴，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出，再由2的算术平方根为得到点B表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）可证明，据此化简绝对值求解即可； （3）根据相反数的定义可得，则由非负性的性质可得，，再根据求出d的值，进而求出b的值，最后求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解；∵，2的算术平方根为， ∴点B表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点A表示的数为，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或， 当时，则，解得， ∴， ∴的平方根为； 当时，则，解得， ∴， ∴的平方根为； 综上所述，的平方根为或． 106．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点表示的数是2，则滚动前点表示的数是m． (1)实数的值是_______； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； (3)在数轴上还有点表示实数，它的两个平方根分别为与，且，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，和两点间的距离公式解答即可； （2）由题意得，求出，，代入求它的算术平方根即可； （3）由题意得，求得，，由（1）得 则，，，，据此化简即可． 【详解】（1）解：∵直径为， ∴， 由题意得 ∴； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ； （3）解：∵两个平方根分别为与， ∴即， 解得， ∴， 由（1）得 ∵，即， ∴，，， ∴ ． 107．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ∵， ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为______，小数部分为______． (3)已知x是整数，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）正方形面积等于边长的平方，由面积求出边长；数轴原点左边为负数，右边为正数，直接写出 、 代表的数． （2）利用夹逼法估算无理数大小；无理数的小数部分等于这个无理数减去它的整数部分． （3）先用夹逼法估算范围，推出介于和之间；根据为整数、，分离出整数部分和小数部分；最后代入代数式化简求值． 【详解】（1）解：大正方形面积，小正方形面积，一个顶点与原点重合． ∴大正方形边长=，小正方形边长= ∵点 A 在原点左侧，对应大正方形边长， ∴ A 表示； ∵点 B 在原点右侧，对应小正方形边长， ∴ B 表示． 故填：；． （2）解：先估算： 所以的整数部分是． ∵小数部分 = 原数 − 整数部分， ∴小数部分： 故填：；． （3）解：第一步，估算： ， ，不等式同乘，不等号反向： 两边加：，即， ，是整数， 整数部分 小数部分 代入求： 答：的值为． 题型38 实数运算的实际应用 108．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 109．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 110．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 $