第01讲 集合的基本运算期中复习讲义（7大知识点+8大题型归纳）-2026-2027学年高一上学数学人教A版必修第一册

第01讲 集合的基本运算 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 03 题型精讲 5 题型一：集合的基本概念 5 题型二：元素与集合的从属关系 5 题型三：集合间的基本关系 6 题型四：参数值的求解问题 6 题型五：容斥原理及其应用 6 题型六：集合的基本运算 7 题型七：参数取值范围求解问题 8 题型八：集合新定义运算问题 9 04 过关测试 12 1、子集 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为 或（） 读作集合包含于集合（或集合包含集合）. 关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 2、真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合 是集合的真子集，记为（或）， 3、集合的相等 如果集合，且，此时集合与集合的元素是 一样的，我们就称集合与集合相等，记为. 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）（是任意一个集合）； （2）（）. 5、并集 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）. 符号语言： . 理解：或包括三种情况：且；且；且. 并集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 6、交集 自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作 理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是. 交集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 7、补集 （1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. （2）补集的概念 自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为. 符号语言： 补集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）. 题型一：集合的基本概念 【典例1-1】（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【典例1-2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【变式1-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 【变式1-2】（26-27高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【变式1-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 题型二：元素与集合的从属关系 【典例2-1】（26-27高一上·广东·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（26-27高一上·四川·期中）设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 题型三：集合间的基本关系 【典例3-1】（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合，则下列集合中不是的子集的是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·青海西宁·期中）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·北京·期中）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型四：参数值的求解问题 【典例4-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【典例4-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 【变式4-1】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【变式4-2】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【变式4-3】（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 题型五：容斥原理及其应用 【典例5-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 【典例5-2】（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【变式5-1】（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【变式5-2】（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【变式5-3】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 题型六：集合的基本运算 【典例6-1】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知集合，，全集. (1)求，； (2)求. 【典例6-2】（25-26高一上·福建福州·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求 【变式6-1】（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【变式6-2】（25-26高一上·广西梧州·期末）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 【变式6-3】（25-26高一上·广东东莞·期中）设全集，，，求 (1)； (2). 题型七：参数取值范围求解问题 【典例7-1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【典例7-2】（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式7-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【变式7-2】（04限时小练4集合的基本运算（1）高中数学必修第一册�SJ）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【变式7-3】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 题型八：集合新定义运算问题 【典例8-1】（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【典例8-2】（25-26高一上·浙江·期中）对于集合，，记，且，且，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【变式8-2】（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【变式8-3】（25-26高一上·上海普陀·期中）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否是封闭集，并说明理由； (2)若集合，，判断集合，是否是封闭集，并说明理由； 1．（26-27高一上·山东·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·贵州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·贵州·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·贵州·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·广西·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·江苏·期中）若非空且互不相等的集合满足，，则（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建福州·期中）设集合，．若，记，则集合的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（多选题）（25-26高一上·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 10．（多选题）（25-26高一上·湖南长沙·期中）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 13．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，集合，若，则实数的值为___________． 14．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为______. 15．（24-25高一上·山西大同·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为______. 16．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 17．（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 18．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合． (1)当时，求的真子集的个数； (2)若，求的取值范围． 20．（2026高一·全国·专题练习）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的基本运算 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 03 题型精讲 5 题型一：集合的基本概念 5 题型二：元素与集合的从属关系 6 题型三：集合间的基本关系 7 题型四：参数值的求解问题 8 题型五：容斥原理及其应用 10 题型六：集合的基本运算 12 题型七：参数取值范围求解问题 14 题型八：集合新定义运算问题 17 04 过关测试 22 1、子集 一般地，对于两个集合,,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记为 或（） 读作集合包含于集合（或集合包含集合）. 关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 2、真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合 是集合的真子集，记为（或）， 3、集合的相等 如果集合，且，此时集合与集合的元素是 一样的，我们就称集合与集合相等，记为. 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）（是任意一个集合）； （2）（）. 5、并集 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）. 符号语言： . 理解：或包括三种情况：且；且；且. 并集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 6、交集 自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作 理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是. 交集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 7、补集 （1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. （2）补集的概念 自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为. 符号语言： 补集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）. 题型一：集合的基本概念 【典例1-1】（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【解析】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 【典例1-2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【解析】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 【答案】D 【解析】选项A中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项A错误； 选项B中字母和重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项B错误； 选项C中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项C错误； 选项D中字母没有重复，满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项D正确. 故选：D. 【变式1-2】（26-27高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【答案】A 【解析】对于A：符合集合元素的确定性，正确； 对于BCD，都不符合集合元素的确定性，错误， 故选：A 【变式1-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 【答案】B 【解析】对于A，“一个平面内的所有点”是确定的，能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“某校高一（1）班的高个子学生”的标准不确定，因而不能构成集合，故B符合题意； 对于C，“所有大于零的正整数”的标准确定，能构成集合，故C不符合题意； 对于D，“不等于0的偶数”的标准确定，能构成集合，故D不符合题意. 故选：B. 题型二：元素与集合的从属关系 【典例2-1】（26-27高一上·广东·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，若，则，可得，所以，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 【典例2-2】（26-27高一上·四川·期中）设为自然数集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项， 且 ，所以，A选项错误； B选项， ，所以，B选项错误； C选项， ，所以 ，C选项错误； D选项， 且 不成立，所以，D选项正确. 【变式2-1】（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，故B正确． 【变式2-2】（25-26高一下·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 【变式2-3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，， 所以，故A正确；，故B错误； 因为集合中元素为，而非集合，故CD错误． 题型三：集合间的基本关系 【典例3-1】（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合，则下列集合中不是的子集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的子集有，故选项C错误. 故选：C. 【典例3-2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 【变式3-1】（25-26高一上·青海西宁·期中）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合， 所以，，，. 故选项A正确，选项BCD错误. 故选：A 【变式3-2】（25-26高一上·北京·期中）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，，故A对，BCD都错. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数， ∴， 故选：D． 题型四：参数值的求解问题 【典例4-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【答案】1 【解析】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 【典例4-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【解析】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 【变式4-1】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【解析】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知非空集合，且⫋，则___________ 【答案】8 【解析】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 【变式4-3】（25-26高一下·上海·期中）已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【解析】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 题型五：容斥原理及其应用 【典例5-1】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 【答案】1 【解析】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人， 由题意作出韦恩图如图所示： 由图可得，解得． 故同时参加200m比赛和400m比赛的有1人． 故答案为：1． 【典例5-2】（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【解析】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 【变式5-1】（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【解析】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 【变式5-2】（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【解析】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 【变式5-3】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人. 【答案】7 【解析】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字， 则，解得， 因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》， 所以只观看了《长安的荔枝》的有人. 故答案为：. 题型六：集合的基本运算 【典例6-1】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知集合，，全集. (1)求，； (2)求. 【解析】（1）易知，又， 所以，. （2）已知全集，易知或，， 因此或. 【典例6-2】（25-26高一上·福建福州·期中）已知全集，集合. (1)求； (2)求 【解析】（1）由不等式，可得，解得或， 所以集合或， 又由集合，所以或. （2）由（1）可得集合或， ， 所以或. 【变式6-1】（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【解析】（1），，. （2），. （3），. 又因为，所以. 【变式6-2】（25-26高一上·广西梧州·期末）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 【解析】（1）集合，， 利用数轴分别表示出全集及集合，，如下图： 则， . （2）依题意可得， ， 所以， . 【变式6-3】（25-26高一上·广东东莞·期中）设全集，，，求 (1)； (2). 【解析】（1），，如图： 所以. （2）. 因为全集，，所以或.如图： 所以. 题型七：参数取值范围求解问题 【典例7-1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【解析】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 【典例7-2】（25-26高一上·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 【变式7-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 【变式7-2】（04限时小练4集合的基本运算（1）高中数学必修第一册�SJ）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【解析】（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 【变式7-3】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 题型八：集合新定义运算问题 【典例8-1】（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【解析】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 【典例8-2】（25-26高一上·浙江·期中）对于集合，，记，且，且，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 【解析】（1）由已知得：，， 则：，， 故，. （2）成立，证明如下： 由题意可知：且，且， 所以且， 所以成立. （3）画出Venn图，将划分成个集合， 则：每一个集合的元素个数为：， 则：， ，， ， 由条件可得： ， 化简得：，即，得：，即. 由，可知：； ，可知：， 故. 不妨设集合，其中集合，. 由于，且，所以， 即：集合为集合的子集， 故满足条件的集合的个数等于满足条件的集合的个数，等于. 【变式8-1】（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【解析】（1）是“好集”，理由如下： 由，得. 因为， 所以是“好集”． （2）由于 所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 【变式8-2】（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【解析】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 【变式8-3】（25-26高一上·上海普陀·期中）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否是封闭集，并说明理由； (2)若集合，，判断集合，是否是封闭集，并说明理由； 【解析】（1）不是，理由为： 对于集合，由于，， 所以集合不是封闭集. （2）是，不是，理由为：集合，，则， 任取，其中， 因此，， 所以集合是封闭集； 取，则，而， 所以不是封闭集. 1．（26-27高一上·山东·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，， 根据集合并集的定义与运算，可得. 2．（26-27高一上·贵州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以. 3．（26-27高一上·贵州·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由集合，， 得. 4．（26-27高一上·贵州·期中）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，， 得 5．（26-27高一上·广西·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 所以． 6．（26-27高一上·江苏·期中）若非空且互不相等的集合满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】非空且互不相等的集合满足，， 所以为的真子集，为的真子集， 所以. 7．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 8．（25-26高一上·福建福州·期中）设集合，．若，记，则集合的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，集合，可知，，， 又因为，且的图象开口向上，对称轴为， 由对称性可知，所以，共4个元素. 故选：C. 9．（多选题）（25-26高一上·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【解析】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 10．（多选题）（25-26高一上·湖南长沙·期中）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 11．（多选题）（25-26高一上·江苏南京·期中）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 12．（25-26高一上·江苏盐城·期中）设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 【答案】3 【解析】由集合A满足，且是集合的真子集， 得含有元素的集合的真子集为：， 所以满足条件的A有3个. 故答案为：3 13．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，集合，若，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】因为，所以， 而，则讨论即可， 当时，可得，解得或， 当时，不满足互异性，故排除， 当时，，满足条件，所以. 故答案为： 14．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为______. 【答案】 【解析】因为有意义，所以， 因为，， 所以，所以，所以， 所以，所以，， 所以，又， 所以， 此时，，满足要求， 所以. 故答案为：. 15．（24-25高一上·山西大同·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为______. 【答案】32 【解析】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，， ，，，，，，，，， 则所有非空子集的交替和的总和为： . 故答案为：32. 16．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【解析】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 17．（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 18．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 19．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合． (1)当时，求的真子集的个数； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，， 此时，故的真子集的个数为； （2）若，则， 若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 20．（2026高一·全国·专题练习）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）当时， ， ． 又因为，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $