3.1.2函数的表示法讲义（知识点+11题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的表示法核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示法的概念及优缺点，衔接函数图象作法要点，详解待定系数法、换元法等四种解析式求法，延伸至分段函数的定义、求值及图象应用，构建从概念到方法再到应用的完整学习支架。 该资料以表格对比、实例分析为特色，通过蓄水池改建等实际问题培养数学眼光，借助狄利克雷函数等经典案例发展数学思维，多样题型设计助力学生用数学语言表达函数关系。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生通过分层练习查漏补缺，强化知识应用能力。

3.1.2 函数的表示法 知识要点梳理 知识点1 函数的表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 知识点2 函数图象的作法 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图. (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清关键点是实心点还是空心圈. (4)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等. 知识点3 函数解析式的求法 角度1　待定系数法 已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. 角度2　换元法(配凑法) 已知f(g(x))=h(x)，求f(x)，有两种方法： (1)换元法，即令t=g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域. (2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可. 角度3　方程组法(消去法) 方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(-x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(-x)，f(x)的方程，联立解出f(x). 角度4　赋值法 若函数是用条件恒等式给出时，可用赋特殊值法求其解析式.做题时需抓住任意性，对自变量合理的取特殊值，分析已知与结论之间的差异进行赋值，从而易于求出函数的表达式，这是求抽象函数解析式的常用方法. 知识点4 分段函数 1.分段函数的定义(求值或范围) 知识梳理　分段函数 定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. 注意点： 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. 反思感悟　(1)求分段函数函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间；然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解. 2.分段函数的图象及应用 反思感悟　(1)分段函数的图象需要分段画.作分段函数的图象时，我们要先忽略各段上定义域的限制，分别作出各段解析式对应的图象，然后根据各段的定义域，从相应的图象上截取需要保留的一段图象即可.作图时要特别注意衔接点处点的虚实情况，保证不重不漏. (2)对含有绝对值的函数，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 考点题型突破 一、题型一 解析法表示函数 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出，；，；，，找到规律，得到答案. 【详解】，，故， 所以，， 所以，， ……， ，. 故选：A 2．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知，函数表示小数点后第位数字，并规定，则（    ） A．1 B．7 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数表示小数点后第位数字， 可得，则. 3．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定的函数式，逐项计算判断即可. 【详解】对于AB，，A正确，B错误； 对于CD，由，得，C错误，D正确. 故选：AD 4．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）某校地势较低，一遇到雨天天气，校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题，为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池，不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.现对水池内部地面及四周围墙面铺设公开招标．甲工程队给出的报价如下：改建及蓄水池盖儿固定费用800元，四周围墙每平方米150元，地面每平方米400元，设泳池宽为x米． (1)若甲工程队的报价为y，用x表示y． (2)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价． 【答案】(1) (2)宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. 【分析】（1）根据题意，即可列出函数关系式； （2）结合（1）由基本不等式求解即可. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 因为泳池宽为x米，所以泳池长为米 则， 化简得； （2）， 当且仅当时，即时等号成立. 即当宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. 二、题型二 图象法表示函数 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 【答案】. 【详解】当时，函数的图象是一条线段， 故可设， 将点代入，解得, 故; 当时，函数的图象是一条平行于轴的线段， 即； 当时，同理可得. 综上可知，. 6．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】由的图象可得， 故. 7．（25-26高一上·云南昭通·期中）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所求集合是由函数的图象上的点组成的集合可得. 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合，即集合的元素为点的坐标， 所以“函数的图象”的集合表示. 故选:D. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 【答案】D 【分析】先逐一分析各事件对应的距离和时间的关系，找出与之相对应的图象，再根据事件的顺序对相应的图象进行排序，从而判断选项． 【详解】事件(1)：离开家返回家找作业本上学，距离变化为“上升下降为0保持为0上升”，对应图象为④； 事件(2)：匀速行驶堵车继续匀速行驶，距离变化为“匀速上升水平不变匀速上升”，对应图象为①； 事件(3)：缓缓加速，速度逐渐增大，距离关于时间的曲线斜率（速度）递增，对应图象为②； 综上，与所给3件事吻合最好的顺序为④①②，故D正确． 故选：D． 9．（25-26高一上·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 三、题型三 列表法表示函数 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据表中的对应关系，求解即可得到答案． 【详解】由表格可知，时，， 所以． 故选：D． 11．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由的图象求出，再由求解即可. 【详解】根据题意，由函数的图象，可得， 则 故选：B． 12．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应即可，而不管这个对应的法则是公式､图象､表格还是其它形式.函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用表格中对应的数据依次判断计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 13．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据分段函数表格，分层计算复合函数，区分值域是集合还是区间，再逆向求解复合方程对应的的范围，逐一判断选项. 【详解】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 14．（25-26高一上·北京通州·期中）已知函数的对应关系如下表： 1 2 3 4 2 4 3 1 2 1 4 3 则__________；不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据所给表格数据求出及，即可得解. 【详解】由表可知，则， 又因为，，，， 所以满足的只有，即不等式的解集为. 故答案为：； 四、题型四 已知函数类型求解析式 15．（26-27高一上·甘肃白银·开学考试）已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法计算求解即可. 【详解】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 16．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式. 【详解】设. 由， 得得①. 设的根为， 则， 所以②， 又由已知得③， 由①②③解得， 所以. 17．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解一次函数解析式； （2）在（1）基础上进行求解即可. 【详解】（1）设，则， 解得，， ∴； （2）由（1）知， ∴. 18．（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知一次函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法列出方程组即可求得解析式； （2）所求式子为对称结构，通过验证发现，再通过分组求和即可求解. 【详解】（1）设， 则， 故有，解得， 故. （2）由（1）知，则， 则， 故， 且当时，可得，解得， 因此. 五、题型五 已知复合函数求解析式 20．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 21．（第01讲函数的概念及其表示（复习讲义）（全国通用）-2）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接通过配凑法即可得结果. 【详解】， ， 所以. 22．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 23．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 24．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是二次函数，且满足． (2)已知． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由可求得的值，由可得出关于的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）设，代入化简可得函数的解析式； 【详解】（1）设，因为，所以， 因为， 又，所以，解得， 所以； （2）令，则，， 代入有， 所以. 25．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接取代入即可求解； （2）利用换元法即可求解； （3）根据条件列出方程即可求解． 【详解】（1）取，得． （2）由有意义可得 令，则，， 故，其中， 因此的解析式为． （3）由题意得，故，解得， 又因为，因此． 六、题型六 方程组法求解析式 26．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 27．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 【答案】ABC 【分析】直接求出的表达式判断A；利用方程组法求解析式判断B；利用待定系数法判断C；利用换元法判断D. 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：定义在上的函数满足①，故有②， 将①式②式，可得，解得，故B正确； 对于C：设一次函数，则：， 由，得：， 若，则，解得，即； 若，则，解得，即. 综上，则或，故C正确； 对于D：若，令， 则，故有， 综上，故D错误. 故选：ABC. 28．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 29．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 30．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 七、题型七 分段函数求值 31．（26-27高一上·全国·课后作业）下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义、性质，结合代入法进行判断即可. 【详解】对于A，分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故A错误； 对于B，由函数的解析式可知，故B错误； 对于C，是一个分段函数，故C正确； 对于D，分段函数的定义域不都是，如，故D错误． 32．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 33．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解内层函数的取值，再将其作为自变量代入计算复合函数值. 【详解】 ，所以 . 34．（24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． 35．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 36．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，，其中表示不超过的最大整数，如，，则______. 【答案】 【分析】根据函数和的解析式，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数和， 因为，所以， 所以. 八、题型八 已知分段函数值求参数 37．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 38．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 【答案】D 【分析】令，可得或，结合的取值范围分析求解. 【详解】令，则，若，则，解得， 若，则，解得， 故或， 当时，，与或矛盾， 故，所以， 所以或，解得或. 故选：D. 39．（25-26高一上·江苏淮安·期中）函数称为狄利克雷函数，关于的下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．的定义域为 C．， D．任意的，则有恒成立 【答案】BC 【分析】本题考查分段函数中狄利克雷函数的定义域、值域、函数值等性质，根据选项依次判断即可. 【详解】因为函数，所以只有两个函数值，所以的值域为 ，选项A错误； 函数定义域为两段上得并集，即全体有理数集并上全体无理数集为全体实数，所以的定义域为，选项B正确； ，的值为0或1都是有理数，所以，选项C正确； 任意，则是无理数，所以，此时，选项D错误； 故选：BC 40．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 【答案】或 【分析】分类讨论代入求值即可. 【详解】若，则，得或； 若，则，得（舍）， 故实数a的值为或. 故答案为：或 41．（25-26高一上·安徽·阶段检测）十干是中国传统历法术语，包含甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个天干符号.十二地支，又称十二支，分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.作为中国农历数字系统的重要组成部分，十干与十二地支组合形成干支纪元法，被广泛应用于历法推算、时间记录及传统文化领域.现有关于十干的转译函数其中甲，乙，，癸；关于十二地支的转译函数其中子，丑，，亥.若甲戌转译后为己辰（代入后以函数值所对应的十干和十二地支为新的结果），则辛丑转译前为______. 【答案】丙未 【分析】依题意得辛，丑，分别代入分段函数求解即可. 【详解】依题意得辛，丑， 当时，，解得，易得丙. 当时，，解得，易得未. 故辛丑转译前为丙未. 故答案为：丙未. 九、题型九 函数图象的画法 42．（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 43．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）函数的部分图像如图（粗实曲线），则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】由函数图像知道定义域，从而求出参数的值，再代入点即可求出的值. 【详解】由函数图像可知，函数定义域， 即的解集为，也就是即的解为, ∴，∴，∴， ∵函数图像经过点，∴，∴. 故选：B. 44．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)画出函数的简图并求出该函数的值域． 【答案】(1) (2) 值域. 【分析】（1）设，利用待定系数法，求出a，b的值，根据，可得c值，即可得答案. （2）由（1）可得解析式，分别求出和的解析式，根据一次函数的单调性，可得的值域，作出图象即可. 【详解】（1）由题意，设， 则， 整理得，即， 则，解得， 又，所以. （2）由（1）得，定义域为R， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以， 综上，的值域为， 的图象如图， 45．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 46．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【答案】(1) (2)或0 (3) 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）分段应用函数值得出自变量； （3）根据解析式作出函数图象. 【详解】（1）； （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：    十、题型十 分段函数的值域 47．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 48．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 49．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)    (2) 【分析】（1）根据二次函数的图象及分段函数画出图象； （2）根据端点值和单调性，再结合图象分析求解范围即可. 【详解】（1）画出的图像，如图所示.    （2），，. 因为在上的值域为， 所以结合图象可得，即的取值范围为. 50．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 51．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出函数在的值域，可知函数在上的值域包含，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 52．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 十一、题型十一 分段函数不等式 53．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 54．（25-26高二下·广东广州·期末）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的解析式，然后根据，分情况讨论求出对应的的范围即可. 【详解】因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若 ，即 ，则 ，不等式 恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当 时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当 时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 55．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 56．（25-26高一下·山东潍坊·期中）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据狄利克雷函数解析式逐项分析即可． 【详解】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 57．（2026·江西·模拟预测）已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象结合列式解方程，数形结合得出范围. 【详解】作出的图象. 当，解得， 当，解得， 由结合函数图象，可得或. 当，解得，当，解得，由，可得； 当，解得，当，解得， 当，解得，当，解得， 由，可得或或. 综上，的取值范围为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 函数的表示法 知识要点梳理 知识点1 函数的表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 知识点2 函数图象的作法 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图. (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清关键点是实心点还是空心圈. (4)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等. 知识点3 函数解析式的求法 角度1　待定系数法 已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. 角度2　换元法(配凑法) 已知f(g(x))=h(x)，求f(x)，有两种方法： (1)换元法，即令t=g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域. (2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可. 角度3　方程组法(消去法) 方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(-x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(-x)，f(x)的方程，联立解出f(x). 角度4　赋值法 若函数是用条件恒等式给出时，可用赋特殊值法求其解析式.做题时需抓住任意性，对自变量合理的取特殊值，分析已知与结论之间的差异进行赋值，从而易于求出函数的表达式，这是求抽象函数解析式的常用方法. 知识点4 分段函数 1.分段函数的定义(求值或范围) 知识梳理　分段函数 定义：函数y=f(x)在定义域上不同范围内的自变量有不同的对应关系，则函数y=f(x)称为分段函数. 注意点： 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. 反思感悟　(1)求分段函数函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间；然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解. 2.分段函数的图象及应用 反思感悟　(1)分段函数的图象需要分段画.作分段函数的图象时，我们要先忽略各段上定义域的限制，分别作出各段解析式对应的图象，然后根据各段的定义域，从相应的图象上截取需要保留的一段图象即可.作图时要特别注意衔接点处点的虚实情况，保证不重不漏. (2)对含有绝对值的函数，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 考点题型突破 一、题型一 解析法表示函数 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知，函数表示小数点后第位数字，并规定，则（    ） A．1 B．7 C．3 D．2 3．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）某校地势较低，一遇到雨天天气，校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题，为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池，不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.现对水池内部地面及四周围墙面铺设公开招标．甲工程队给出的报价如下：改建及蓄水池盖儿固定费用800元，四周围墙每平方米150元，地面每平方米400元，设泳池宽为x米． (1)若甲工程队的报价为y，用x表示y． (2)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价． 二、题型二 图象法表示函数 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 6．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 7．（25-26高一上·云南昭通·期中）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 9．（25-26高一上·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 三、题型三 列表法表示函数 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 11．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 12．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应即可，而不管这个对应的法则是公式､图象､表格还是其它形式.函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 14．（25-26高一上·北京通州·期中）已知函数的对应关系如下表： 1 2 3 4 2 4 3 1 2 1 4 3 则__________；不等式的解集为__________. 四、题型四 已知函数类型求解析式 15．（26-27高一上·甘肃白银·开学考试）已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 16．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 17．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 18．（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知一次函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值． 五、题型五 已知复合函数求解析式 20．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 21．（第01讲函数的概念及其表示（复习讲义）（全国通用）-2）若函数，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 23．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 24．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期中）求下列函数的解析式 (1)已知是二次函数，且满足． (2)已知． 25．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 六、题型六 方程组法求解析式 26．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 27．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 28．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 29．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 30．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 七、题型七 分段函数求值 31．（26-27高一上·全国·课后作业）下列关于分段函数的说法正确的是（    ） A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若则 C．是分段函数 D．分段函数的定义域都是 32．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 35．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 36．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，，其中表示不超过的最大整数，如，，则______. 八、题型八 已知分段函数值求参数 37．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 39．（25-26高一上·江苏淮安·期中）函数称为狄利克雷函数，关于的下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．的定义域为 C．， D．任意的，则有恒成立 40．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 41．（25-26高一上·安徽·阶段检测）十干是中国传统历法术语，包含甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个天干符号.十二地支，又称十二支，分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.作为中国农历数字系统的重要组成部分，十干与十二地支组合形成干支纪元法，被广泛应用于历法推算、时间记录及传统文化领域.现有关于十干的转译函数其中甲，乙，，癸；关于十二地支的转译函数其中子，丑，，亥.若甲戌转译后为己辰（代入后以函数值所对应的十干和十二地支为新的结果），则辛丑转译前为______. 九、题型九 函数图象的画法 42．（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）函数的部分图像如图（粗实曲线），则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 44．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)画出函数的简图并求出该函数的值域． 45．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 46．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数    (1)求 (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 十、题型十 分段函数的值域 47．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 48．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 50．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 51．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 52．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 十一、题型十一 分段函数不等式 53．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高二下·广东广州·期末）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 55．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（25-26高一下·山东潍坊·期中）狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（    ） A．定义域为R B． C．， D．不等式的解集为 57．（2026·江西·模拟预测）已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $