精品解析：广东东莞外国语学校2026-2027学年第一学期段考一高二数学试题

2026-2027学年度第一学期东莞外国语学校段考一 高二数学 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 2. 条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5 6. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则直线关于直线对称的直线方程为 11. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 异面直线与所成角大小为 B. 二面角的平面角的余弦值为 C. 此八面体一定存在外接球 D. 此八面体的内切球表面积为 三、填空题 12. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 13. 如图，二面角的大小为，其棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则______． 14. 在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为___________ 四、解答题 15. 已知平行四边形的三个顶点为，，. （1）求点的坐标； （2）判断平行四边形是否为正方形. 16. 如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点． （1）试用，，表示． （2）求证：平面． 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点边上的中线所在的直线方程为. （1）求经过顶点且平行于的直线方程； （2）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （3）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 18. 在四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点在棱上，且二面角的大小为，求的值． 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期东莞外国语学校段考一 高二数学 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为， 已知直线，则，即，. 2. 条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分类判断充分性和必要性，即可得到结果. 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 3. 已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，成立，故不能构成空间的另一个基底； 对于B选项，不存在实数，，使得，故能构成空间的另一个基底； 对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底． 4. 在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出直线与的一个方向向量，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图：建立空间直角坐标系，则，， ，， 直线与所成角的余弦值为. 故选：B 5. 已知点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可. 【详解】设， 可求得， 所以． 故选：B 6. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出动直线恒过的定点，当直线与该定点和点的连线垂直时，到直线的距离最大，利用两直线垂直的斜率关系求解. 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 7. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 8. 如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，结合光的反射原理，依次求出点关于直线，轴的对称点，并由四点共线，即可得到直线的方程，进而解出点的坐标并求得线段的长度，再运用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，最后代入三角形的面积公式即可得解. 【详解】根据题意，以点为原点，以，分别为轴，轴建立直角坐标系， 则，所以直线的方程为，的重心为. 设点，其中，则点关于直线的对称点， 满足，解得，即， 易得点关于轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率，所以直线的方程为， 由于直线经过的重心，代入得， 化简得或（舍去），故点，点，点， 直线的方程为，即， 联立，解得，即点， 联立，解得，即点， 所以， 又点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 二、多选题 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则直线关于直线对称的直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直线相互平行的充要条件为“交叉相乘再相减为0”，且不重合.直线相互垂直的充要条件为“对应相乘再相加为0”.直线不经过第四象限，可以先化为斜截式，判断斜率与截距求解.注意到时，直线与直线相互平行，则对称的直线方程可以根据直线之间的距离求解. 【详解】选项A，显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以， 故的充要条件是， A不正确； 选项B，若，则，解得，B正确； 选项C，若直线不经过第四象限，则解得，C正确； 选项D，若，则直线，即， 显然直线与直线平行， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则直线和到直线的距离相等， 则，解得， 所以时，直线关于直线对称的直线方程为，即，D正确． 11. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ） A. 异面直线与所成角大小为 B. 二面角的平面角的余弦值为 C. 此八面体一定存在外接球 D. 此八面体的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角可判断A项、B项，由可判断C项，运用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D项. 【详解】连接、交于点，连接、， 因为四边形为正方形，则， 又因为八面体的每个面都是正三角形，所以、、三点共线，且面， 所以以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 对于A项，，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A项正确； 对于B项，，，， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故B项错误； 对于C项，因为， 所以为此八面体外接球的球心， 即此八面体一定存在外接球，故C项正确； 对于D项，设内切球的半径为， 则八面体的体积为， 又八面体的体积为， 所以，解得， 所以内切球的表面积为，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量的线性运算求得，即可解答. 【详解】因为 ， 又， 所以，，，所以. 故答案为：2. 13. 如图，二面角的大小为，其棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性关系可得，两边平方可求的长度. 【详解】因为二面角的大小为，， ，，即两点间的距离为. 14. 在空间直角坐标系中，若直线经过点且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到距离为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线方程确定直线上的一点和直线的方向向量，再求出向量，最后利用点到直线的距离公式进行计算. 【详解】由题意知，直线的方程可变形为， 所以直线经过点，方向向量为，则. 又，，， 所以. 所以点到距离为：. 故答案为： 四、解答题 15. 已知平行四边形的三个顶点为，，. （1）求点的坐标； （2）判断平行四边形是否为正方形. 【答案】（1） （2）平行四边形是正方形 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质，可知，从而求得点坐标； （2）先利用邻边垂直证明平行四边形为矩形，再利用邻边相等证明平行四边形为正方形. 【小问1详解】 设，则，， 因为四边形为平行四边形，所以，，即， 即. 【小问2详解】 平行四边形是正方形. ，， ，， 平行四边形为矩形. 又， ， ，平行四边形为正方形. 16. 如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点． （1）试用，，表示． （2）求证：平面． 【答案】（1） （2） 因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）根据点M，N的位置用基底表示向量； （2）证明向量与平面中的向量共线，即可证明平面． 【小问1详解】 因为，所以， 同理，， 所以； 【小问2详解】 略 17. 在平面直角坐标系中，已知的顶点边上的中线所在的直线方程为. （1）求经过顶点且平行于的直线方程； （2）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （3）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平行关系设出所求直线，再结合所过的点求参数，即可得； （2）根据的中点和点在直线，结合与垂直，点在直线上列方程组求出点，坐标，然后可得； （3）根据直线上的点到直线的距离相等，结合（2）中方程求解. 【小问1详解】 由题意，设平行于的直线方程为，该直线过， 所以，故所求直线为； 【小问2详解】 设，又边上的中线所在的直线方程为. 则, 即①，②， 又直线与直线垂直， 所以，即③， 联立②③解得， 又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则， 又点在直线上， 由角平分线性质可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以， 整理得，解得或， 所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为， 即，满足题意. 所以直线的方程为. 18. 在四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点在棱上，且二面角的大小为，求的值． 【答案】（1）因为平面，且平面， 所以又已知因此两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 又，故 由，，，故平面， 故平面法向量可取， 平面中，， 设平面的法向量为，则， 由第一式得，代入第二式得，取，则，所以 因为所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由底面得，结合建系；求两平面法向量，由法向量数量积为证面面垂直； （2）设分的比例，用参数表示坐标；求平面与底面法向量，由二面角为列方程解参数，再求比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设在棱上，令 则 平面即为底面，其法向量为 平面中， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，故 二面角的大小为，所以 而 因此 两边平方：即 展开整理：， 解得因为，所以 于是故. 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 【答案】（1）由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，且平面，得平面， 又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． 综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体． （2） （3）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）利用折叠不变性与线面垂直判定定理，证明三组对棱两两垂直，满足对垂四面体定义完成证明； （2）以D为原点建空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角向量公式计算正弦值； （3）根据比例参数λ写出P、Q坐标，求两平面法向量得到锐二面角余弦表达式，再用基本不等式求最大值与对应λ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由，得，由，得， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 平面的一个法向量为， 锐二面角满足， 分子分母同除以，得， 由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号， 因此，，即时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $