广东省东莞市东莞中学2025-2026学年高二上学期第一次段考数学试卷

2025-2026学年第一学期第一次段考 高二数学 完成时间：120分钟 满分：150分 编者语：亲爱的同学，几何是锻炼你空间思维的健身房．闯过这一关，你获得的将不仅是分数，更是一种从不同维度看世界的能力．这份几何直觉，将是未来理解物理､建筑､编程等众多领域的超强助力．现在，深吸一口气，拿起笔和尺．勇敢地踏入这个充满无限可能的几何世界吧．你每解开一道题，都是在为自己搭建一座通往更高思维维度的桥梁． 一､单选题（每小题5分，共40分，请将答案填涂在答题卡相应位置） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 5. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 5 D. 7 6. 如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 8. 给定空间一个单位基底，任意一个空间向量，都可用三元有序实数组表示，则由三元有序实数组表示的空间向量又称为三维向量，一般地，n元有序实数组称为n维向量.n维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做n维向量空间.定义n维向量空间中两点间的“距离”.某校服公司根据以往制作校服的经验，得出适用于本地区高一男生的四种校服标准型号及相应的测量指标参数值，如表所示： 型号 身高/ 胸围/ 腰围/ 肩宽/ L 170 92 78 42 XL 175 96 82 44 XXL 180 100 86 46 XXXL 185 104 90 48 为了给某中学新高一的男生制作校服，该校量公司统计了每名男生的身高、胸围、腰围、肩宽，我们把测量得到的数据按照身高、胸围、腰围、肩宽的顺序排列，则每名学生的身材可以用四维向量表示，并且可以把它看做四维向量空间中的一个点.依据“距离”来选择衣服型号是一种常用的方法，即计算每个向量与标准点的距离，与哪个标准点的距离最近，就选择哪种型号.若某同学的身材点为，则该同学应该订的校服的最佳型号为（ ） A. L B. XL C. XXL D. XXXL 二､多选题本题有两个或三个正确答案，每小题全部选择正确得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分，共18分，请将答案填涂在答题卡相应位置） 9. 一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB的斜率是 B. C. D. 10. 在长方体中，，则（ ） A. B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为 C. 直线AD与平面所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 在空间直角坐标系中，已知向量（），点，点. （1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点且其坐标满足，称为直线的方程； （2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点且其坐标满足，称为平面的方程. 设直线的方程为，平面的方程为，，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 到平面的距离为 D. 向量是平面内的任意一个向量，则存在唯一的有序实数对，使得，其中. 三､填空题（每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置） 12. 已知直线的方程为，则与垂直，且过点的直线方程是______． 13. 定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 14. 已知正方体的棱长为1，点和分别在和上，则长度的最小值为______． 四､解答题（本大题共5小题，共77分．请将答案填写在答题卡相应位置） 15. 已知向量，． （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求： （1）AC1的长； （2）直线BD1与AC所成角的余弦值. 17. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是：，：，且它的对角线的交点是． （1）求这个平行四边形其他两边所在直线的方程； （2）求平行四边形的面积． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，其中分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若，且点四点都在球心为的球面上． ①求三棱锥的体积； ②求二面角的正切值． 19. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结. 图（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，. （1）若，记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为. （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. （2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一） 2025-2026学年第一学期第一次段考 高二数学 完成时间：120分钟 满分：150分 编者语：亲爱的同学，几何是锻炼你空间思维的健身房．闯过这一关，你获得的将不仅是分数，更是一种从不同维度看世界的能力．这份几何直觉，将是未来理解物理､建筑､编程等众多领域的超强助力．现在，深吸一口气，拿起笔和尺．勇敢地踏入这个充满无限可能的几何世界吧．你每解开一道题，都是在为自己搭建一座通往更高思维维度的桥梁． 一､单选题（每小题5分，共40分，请将答案填涂在答题卡相应位置） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二､多选题本题有两个或三个正确答案，每小题全部选择正确得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分，共18分，请将答案填涂在答题卡相应位置） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 三､填空题（每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四､解答题（本大题共5小题，共77分．请将答案填写在答题卡相应位置） 【15题答案】 【答案】（1） （2）且. 【16题答案】 【答案】（1）；（2）. 【17题答案】 【答案】（1），； （2）8. 【18题答案】 【答案】（1） 证明：取的中点为，连接， 由为的中点，所以， 又，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以且， 又因为分别为的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）2； 【19题答案】 【答案】（1）（ⅰ）（ⅰⅰ）. （2） 如图所示， 对于图(A)，沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值，如下图， 最小值为， 对于图(B)，彩绳长度的最小值为， 因为，所以店员的说法是正确的． （也可以不计算，由三角形两边之和大于第三边直观给出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $