精品解析：江苏省天一中学2024-2025学年高二上学期第一次检测数学试题

天一高二上第一次检测数学试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足的所有实数x的和为（ ） A. －6 B. 6 C. 8 D. －8 4. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 5. 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 6. 设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 8. 第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（　　） A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点中任意三点不共线 D. O，A，B，C四点不共面 10. 已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在三棱锥中，，点是内的一点，若与平面所成的角分别是的面积分别为，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是锐角三角形 12. 设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 1 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为___________. 14. 若复数满足，则的最小值为__________． 15. 已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________． 16. 在中，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________． 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 17. 已知圆的方程：， （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:被圆，所截得的弦的长. 18. 已知向量，. （1）若，其中，求的坐标； （2）若与的夹角为，求的值. 19. 已知等差数列，，前项和为，各项为正数的等比数列满足：，，. （1）求数列和的通项公式； （2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，存在一系列的点，，若，求数列的前项和. 20. “绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同. 设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元. （Ⅰ）设第n年的投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an，bn的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：lg2 0.301，lg3 0.477） 21. 如图，已知三棱锥中，，，O为AC的中点，点N在边BC边上，且， （1）证明：BO⊥平面 （2）求二面角的正弦值 22. 已知圆和定点，平面上一动点满足以线段为直径的圆内切于圆，动点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于不同两点、，直线，分别交轴于，两点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天一高二上第一次检测数学试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交运算即可求解. 【详解】由题意可得， 则. 故选：A 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式等价于，即，且，由此求得不等式的解集． 【详解】不等式等价于，即，且，解得， 故不等式的解集为， 故选：D． 3. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足的所有实数x的和为（ ） A. －6 B. 6 C. 8 D. －8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数是定义在R上的偶函数，由，得到，再由函数在（0，＋∞）上为单调函数，得到或求解. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以， 又函数的图象是连续不断的，且在（0，＋∞）上为单调函数，， 所以， 所以或，即或， 设的两个根为m，n，则， 的两个根为a，b，则， 所以所有实数x的和为-6. 故选：A 4. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判断AC，从而得解 【详解】因为的定义域为，且 ， 所以为奇函数， 故BD错误； 当时，令，易得， 解得， 故易知的图象在轴右侧的第一个交点为， 又，故C错误，A正确； 故选：A 5. 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知条件以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果. 【详解】依题意可知， 所以 . 故选：C 6. 设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r， 法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系； 法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设，△的内切圆半径为r，如图所示， 法一： ∴①；②. ①÷②，得：，即． 于是， ，， 从而得或， ∴或．故△为等腰三角形或直角三角形， （1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上， ，从而得． 又，代入①式，得，即， 上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形， ∴△为等腰直角三角形． （2）当时，易得． 代入②式，得，此式恒成立， 综上，△为直角三角形． 法二： 利用，及正弦定理和题设条件，得①，②. ∴③；④. 由③和④得：，即，， 因为为三角形内角， ∴或，即或． （1）若，代入③得：⑤ 又，将其代入⑤，得：． 变形得， 即⑥， 由知A为锐角，从而知． ∴由⑥，得：，即，从而，． 因此，△为等腰直角三角形． （2）若，即，此时③④恒成立， 综上，△为直角三角形． 故选：B 7. 如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则有. 当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即 在三角形中，，，由勾股定理可得：,且. 同理可求： 因为，所以为等边三角形，所以， 所以在三角形中，,, 由余弦定理得：. 故选B. 【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值. 8. 第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可. 【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为， ∴，设切线为，切线为， ∴，整理得，由知： ，整理得， 同理，，可得， ∴，即，故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（　　） A. O，A，B，C四点不共线 B. O，A，B，C四点共面，但不共线 C. O，A，B，C四点中任意三点不共线 D. O，A，B，C四点不共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间基底的概念逐项判断即可. 【详解】因为为空间的一个基底，所以O，A，B，C四点中任意三点不共线，且四点不共面， 若O，A，B，C四点共面，则为共面向量，不可能构成空间基底， 所以选项B错误，ACD正确. 故选：ACD 10. 已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由四边形的面积为，可得，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形的面积可求出，进而得到关于a，b的两个方程，联立求解即可得答案． 【详解】解：因为四边形的面积为， 所以，整理得， 记四边形内切圆半径为r，则，得． 又，所以， 又，联立可得，或， 所以双曲线的方程为或． 故选：AB. 11. 如图，在三棱锥中，，点是内的一点，若与平面所成的角分别是的面积分别为，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，B，以为体对角线构造如图所示的长方体，可判断；选项C，作平面于于，连结，可得，同理，可判断；选项D，设，在中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断. 【详解】如图所示，以为体对角线构造如图所示的长方体， 则与平面所成的角分别是， 即分别为，不妨设， 则，故选项A正确； ，故选项B不正确； 如图所示，作平面于于，连结， 由三垂线定理可得，， 由于为以为直角的直角三角形，因此， 故，同理， ，故选项C正确； 不妨设，则， 在中， ， 因此为锐角三角形，故选项D正确. 故选：ACD. 12. 设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】CD 【解析】 【分析】设单位向量，的夹角为，根据已知条件，求出，然后利用夹角公式可将表示成关于的函数，利用不等式的性质求出其值域即可. 【详解】设单位向量，的夹角为， 由，两边平方得，解得， 又，， ，同理 且 ，令， 则 ，， 所以，即的取值范围为 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积的性质，运算及夹角公式，及利用不等式的性质求函数的最值，解题的关键是将表示成关于的函数，再利用不等式的性质求值域，对运算要求很高，属于难题. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率. 【详解】由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件， 则至少取得一个红球的概率为. 故答案为：. 14. 若复数满足，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义得出复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，然后再根据的几何意义求最小值即可. 【详解】因为复数满足， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 又表示复数对应的点与点之间的距离， 所以的最小值为． 故答案为：4． 15. 已知一组数据，，，…，的平均数为，方差为.若，，，…，的平均数比方差大4，则的最大值为__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】设新数据的平均数为，方差为，可得，，由新数据的平均数比方差大4可得，可得，代入可得其最大值. 【详解】解：设新数据，，，…，的平均数为，方差为， 可得：，，由新数据平均数比方差大4， 可得，可得， 可得：， 由，可得， 可得当时，可得的最大值为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题. 16. 在中，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的和角公式及正弦定理、余弦定理，求得，再结合，两边分别点乘，利用向量数量积的定义和性质，得出关于的方程，联立方程组求得的值，即可求解. 【详解】由，可得， 即， 因为，所以，即，即， 又由，可得， 将代入，可得， 由余弦定理得， 因为，所以，所以， 若，可得， 可得，整理得， 又由，可得，即， 联立方程组，解得，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 17. 已知圆的方程：， （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:被圆，所截得的弦的长. 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析；(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求的取值范围; (Ⅱ)根据圆与圆相切的等价条件求出 的值,结合直线的弦长公式进行求解即可. 试题解析： （Ⅰ）圆的方程可化为 令,所以 （Ⅱ）圆,圆心 ,半径 圆圆心 ,半径 因为圆与圆 相外切 所以 解得 圆心到直线 的距离为 所以 18. 已知向量，. （1）若，其中，求的坐标； （2）若与的夹角为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设，结合已知条件，解得即可； （2）先求，再求，化简计算即可. 【详解】（1）设，，①，且，若，得，②， 联立①②，解得，，即. （2），，且，若与的夹角为，， . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，向量的数量积的性质的简单应用，属于基础题． 19. 已知等差数列，，前项和为，各项为正数的等比数列满足：，，. （1）求数列和的通项公式； （2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，存在一系列的点，，若，求数列的前项和. 【答案】（1）.（2） 【解析】 【分析】 (1)由列出方程求出q，即可求得的通项公式，由，利用等差数列的性质可求出，从而求得d，最后得到等差数列的通项公式；(2)由可得，将和的通项公式代入上式求出的通项公式，用错位相减法即可求出. 【详解】（1）设数列的公差为，的公比为， ∵，∴，得，（舍）， 因为，所以 . ∵，∴，解得， 又，∴， ∴. （2）由（1）得，. ∵，∴，∴. ，① ①式等号两边同乘以，得，② ①-②得 . ∴. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的基本量的求解与通项公式，垂直向量的数量积关系，错位相减法求和，属于中档题. 20. “绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同. 设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元. （Ⅰ）设第n年的投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an，bn的表达式； （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：lg2 0.301，lg3 0.477） 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）6年. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意知{an}，{bn}均为等比数列，根据条件中的数列{an}的首项和公比直接写出通项公式，设数列{bn}的公比为 q ，根据三年内旅游业总收入求得q，从而求得{bn}的通项公式； （Ⅱ）设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.分别计算出经过 n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n的最小值即可. 【详解】解：（Ⅰ）由题意知{an}，{bn}均为等比数列， 数列{an}的首项为1200，公比为，所以， 设数列{bn}的公比为 q ，显然 q 0 ， q 1. 所以三年内旅游业总收入为 ，即， 所以，解得 或（舍去）， 所以 . （Ⅱ）设至少经过 n 年，旅游业的总收入才能超过总投入. 则经过 n 年，总投入为 ， 经过 n 年，旅游业总收入为， 所以 ，化简得 设 ，代入上式得， 解此不等式，得t 1（舍去）或t ， 即 ，解得 由此得 n≥6 . 所以至少经过6 年，旅游业的总收入才能超过总投入. 21. 如图，已知三棱锥中，，，O为AC的中点，点N在边BC边上，且， （1）证明：BO⊥平面 （2）求二面角的正弦值 【答案】（1） 连接，在中:， 则. 在中:为的中点， 则，且. 在中:， 则，所以， 又平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明及即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为， 则， 由所以，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 因为平面，所以为平面的法向量， 所以与所成角的余弦为. 所以二面角的正弦值为. 22. 已知圆和定点，平面上一动点满足以线段为直径的圆内切于圆，动点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于不同两点、，直线，分别交轴于，两点．求证：． 【答案】（1） （2）证明：设，，（且）． 由， 得， 依题意， 即， 则， 因为 ， 所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即． 因为，所以． 【解析】 【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程； （2）设，，，，联立直线的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算，可判断三角形的形状，即可得到证明． 【小问1详解】 设以线段为直径的圆的圆心为，取． 依题意，圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线， 因为为的中点，为中点， 所以 所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆， 设其方程为， 则，， 所以，， 所以， 所以动点的轨迹方程为; 【小问2详解】 略 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $