专题02 弧度制（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题02 弧度制 （题型突破·举一反三） 题型01 弧度制的概念 1 题型02 弧度制与角度制的互化 3 题型03 弧度制下终边相同的角的表示 5 题型04 用弧度制表示轴线角与区域角 7 题型05 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式的应用 10 题型06 扇形中的最值问题 12 ▌题型01 弧度制的概念 1．1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2.任意角的弧度数 (1)在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长（即圆周长）为,所以周角的弧度数是由此可知，任意一个的角的弧度数必然适合不等式. (2)在前一节中，我们已经把角的概念作了推广,任一角都可表示为角与周角的整数倍的和.因此，只需把角用弧度表示，就可以得到角的弧度表示,即 利用此方法可以表示任意角的弧度数. 3.弧度制 一般地，任一正角的弧度数是一个正数；任一负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零. 这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制. 【典例1】下列命题中，正确的是（ ） A．1弧度是长度等于半径的弧 B．1弧度就是的圆心角所对的弧 C．弧度等于 D．1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角，弧度是角的一种度量单位 【答案】D 【详解】1弧度角的定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.由上可知，选项D正确.故选D. 【变式1-1】（25-26高一下·河南南阳·期中）如图，时钟现在的时间为10：10，经过40min后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为. 【变式1-2】（26-27高一上·全国·课后作业）是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据题意，得到，进而得到答案. 【详解】因为，所以是第四象限角． 【变式1-3】（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．“角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同的度量制度 B．1rad的角等于1度的角 C．的角是周角的，1rad的角是周角的 D．180°的角一定等于的角 【答案】ACD 【分析】从弧度制和角度制的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，“角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同制度，其定义和单位均不相同， 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，弧度是角的度量单位，而不是长度的度量单位，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，用角度制时，周角是，因此的角是周角的； 根据弧度数的计算公式可知周角的弧度数为，因此的角是周角的，故C正确； 对于D，的角即平角，弧度数为，故D正确． 故选：ACD. ▌题型02 弧度制与角度制的互化 1．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 2．常用的特殊角的弧度数 3.换算时三注意 (1)在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系． (2)用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数． (3)角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 【典例2】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 【答案】C 【分析】由题意可得校准时要回拨5分钟，确定分针转的方向和大小后即可得答案. 【详解】因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度. 【变式2-1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）与相等的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助弧度与角度的关系计算即可得. 【详解】. 【变式2-2】（26-27高三·全国·一轮复习）把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的终边相同， 所以把角化为的形式为. 【变式2-3】（多选）（25-26高一上·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【答案】ABD 【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D． 【详解】对于A，对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确； 对于B，对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确； 对于C，对应的弧度为，故C错误； 对于D，，，所以这两个角的终边相同，故D正确； 故选：ABD． ▌题型03 弧度制下终边相同的角的表示 1.任何角都可以在0°～360°（0～2）内找到与之终边相同的角，从而确定其所在的象限（或坐标轴）. 2.在弧度制单位下，与角终边相同的角可表示为=+,他们相差2的整数倍. 【典例3-1】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可. 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 【典例3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】如图，设，分别是角，终边相同的角， 由角和的终边关于轴对称，得，所以，． 【变式3-1】（25-26高一下·山东威海·期末）与是同一象限角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是第四象限角. 对于A：，因此是第一象限角； 对于B：，因此是第四象限角； 对于C：是第一象限角； 对于D：，因此是第二象限角. 【变式3-2】（25-26高一上·湖南湘潭·期末）与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的集合的表示方法求解即可. 【详解】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误. 与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确.故选：D 【变式3-3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合A中的k分和两种情况讨论可得. 【详解】因为， 当时， ，此时； 当时，，此时； 综上所述，. ▌题型04 用弧度制表示轴线角与区域角 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【典例4-1】集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（      ） A．  B．  C．D．   【答案】C 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一致； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一致， 因此集合中角表示的范围所对图形是选项C反应的. 故选：C. 【典例4-2】（25-26高一下·江西九江·阶段检测）若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合象限角的取值范围运算求解即可. 【详解】因为是第二象限角， 则，，可得，， y是第四象限角，则，，解得，， 所以构成的集合为. 【变式4-1】（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. 【变式4-2】（多选）（25-26高一下·上海金山·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【分析】根据角的定义判断． 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，， 终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 【变式4-3】（24-25高三·全国·一轮复习）设，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用线性关系及不等式性质求取值范围即可. 【详解】由题设，则. ▌题型05 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式的应用 1．弧度数公式 如果半径为r的圆心角所对的弧长为所对的弧长为,那么角的弧度数的绝对值是 2．弧长公式 设r是圆的半径,是圆心角所对的弧长,则. 即弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积. 3．扇形的面积公式 设扇形的圆心角为半径为r,扇形面积为S，则. 【注意】(1)上述公式中的角的单位均为弧度，不是度. (2)有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 【典例5】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用扇形的周长公式和面积公式求解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 【变式5-1】（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为， 设扇形的半径为，则扇形的弧长为， 由题意得：，解得. 【变式5-2】（25-26高一上·山西吕梁·期末）午夜零时时针和分针重合，则午夜零时后，时针和分针第1次重合所需时间为__________小时，第3次重合时时针所转的角度为__________. 【答案】 / 【分析】根据任意角定义，设分针的角速度为，时针的角速度为，进而求出、对应的时间及弧度角. 【详解】设从午夜零时起，分针走了小时后与时针重合， 分针的角速度为，时针的角速度为， 则，得. 当时，, 当时，，这时时针所转的角度为 【变式5-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）图中质点在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为. (1)指出终边落在直线上的角的集合； (2)当第次运动到位置时，求质点所经过的弧长和该弧长所在的扇形的面积. 【答案】(1) (2)弧长，面积 【分析】（1）根据终边角的定义写出角的集合； （2）由弧长公式计算弧长，再结合面积公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知，， 所以终边落在直线上的角的集合为 . （2）由题意得， 所以由弧长公式可知质点所经过的长度. 扫过的扇形的面积. ▌题型06 扇形中的最值问题 对于扇形中面积、周长的最值问题，通常利用二次函数求解. 【典例6】为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）在扇形中，由题意得，， 由扇形面积公式得扇形的面积为， 扇形的面积为， 故，由弧长公式得的长度为， 的长度为，而园圃的外围周长为50m， 故，解得， 因为圆心角小于，所以， 解得，而，故， 故，该函数的定义域为. （2）由二次函数性质得在内单调递增， 当时，的最大值为， 的长度为， 的长度为. 【变式6-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可； （2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 【变式6-2】（25-26高一下·上海闵行·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值，此时 【变式6-3】（25-26高一上·山东·阶段检测）如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)面积为，弧AB的长为 (2)， 【分析】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解. 【详解】（1）由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； （2）由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 弧度制 （题型突破·举一反三） ▌题型01 弧度制的概念 【典例1】 【答案】D 【详解】1弧度角的定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.由上可知，选项D正确.故选D. 【变式1-1】 【答案】C 【详解】依题意，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为. 【变式1-2】 【答案】D 【分析】根据题意，得到，进而得到答案. 【详解】因为，所以是第四象限角． 【变式1-3】 【答案】ACD 【分析】从弧度制和角度制的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，“角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同制度，其定义和单位均不相同， 1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，弧度是角的度量单位，而不是长度的度量单位，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，用角度制时，周角是，因此的角是周角的； 根据弧度数的计算公式可知周角的弧度数为，因此的角是周角的，故C正确； 对于D，的角即平角，弧度数为，故D正确． 故选：ACD. ▌题型02 弧度制与角度制的互化 【典例2】 【答案】C 【分析】由题意可得校准时要回拨5分钟，确定分针转的方向和大小后即可得答案. 【详解】因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度. 【变式2-1】 【答案】D 【分析】借助弧度与角度的关系计算即可得. 【详解】. 【变式2-2】 【答案】D 【详解】因为与的终边相同， 所以把角化为的形式为. 【变式2-3】 【答案】ABD 【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D． 【详解】对于A，对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确； 对于B，对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确； 对于C，对应的弧度为，故C错误； 对于D，，，所以这两个角的终边相同，故D正确； 故选：ABD． ▌题型03 弧度制下终边相同的角的表示 【典例3-1】 【答案】C 【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可. 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 【典例3-2】 【答案】D 【详解】如图，设，分别是角，终边相同的角， 由角和的终边关于轴对称，得，所以，． 【变式3-1】 【答案】B 【详解】是第四象限角. 对于A：，因此是第一象限角； 对于B：，因此是第四象限角； 对于C：是第一象限角； 对于D：，因此是第二象限角. 【变式3-2】 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的集合的表示方法求解即可. 【详解】由各选项分析可知，弧度制和角度在同一集合内不可混合出现，故A、B错误. 与终边相同的角的集合为，表示为角度制为，C错误，D正确.故选：D 【变式3-3】 【答案】A 【分析】对集合A中的k分和两种情况讨论可得. 【详解】因为， 当时， ，此时； 当时，，此时； 综上所述，. ▌题型04 用弧度制表示轴线角与区域角 【典例4-1】 【答案】C 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一致； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一致， 因此集合中角表示的范围所对图形是选项C反应的. 故选：C. 【典例4-2】 【答案】C 【分析】根据题意结合象限角的取值范围运算求解即可. 【详解】因为是第二象限角， 则，，可得，， y是第四象限角，则，，解得，， 所以构成的集合为. 【变式4-1】 【答案】C 【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. 【变式4-2】 【答案】C 【分析】根据角的定义判断． 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，， 终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 【变式4-3】 【答案】 【分析】利用线性关系及不等式性质求取值范围即可. 【详解】由题设，则. ▌题型05 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式的应用 【典例5】 【答案】D 【分析】利用扇形的周长公式和面积公式求解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 【变式5-1】 【答案】B 【详解】因为， 设扇形的半径为，则扇形的弧长为， 由题意得：，解得. 【变式5-2】 【答案】 / 【分析】根据任意角定义，设分针的角速度为，时针的角速度为，进而求出、对应的时间及弧度角. 【详解】设从午夜零时起，分针走了小时后与时针重合， 分针的角速度为，时针的角速度为， 则，得. 当时，, 当时，，这时时针所转的角度为 【变式5-3】 【答案】(1) (2)弧长，面积 【分析】（1）根据终边角的定义写出角的集合； （2）由弧长公式计算弧长，再结合面积公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知，， 所以终边落在直线上的角的集合为 . （2）由题意得， 所以由弧长公式可知质点所经过的长度. 扫过的扇形的面积. ▌题型06 扇形中的最值问题 【典例6】 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）在扇形中，由题意得，， 由扇形面积公式得扇形的面积为， 扇形的面积为， 故，由弧长公式得的长度为， 的长度为，而园圃的外围周长为50m， 故，解得， 因为圆心角小于，所以， 解得，而，故， 故，该函数的定义域为. （2）由二次函数性质得在内单调递增， 当时，的最大值为， 的长度为， 的长度为. 【变式6-1】 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可； （2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 【变式6-2】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值，此时 【变式6-3】 【答案】(1)面积为，弧AB的长为 (2)， 【分析】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解. 【详解】（1）由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； （2）由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 弧度制 （题型突破·举一反三） 题型01 弧度制的概念 1 题型02 弧度制与角度制的互化 2 题型03 弧度制下终边相同的角的表示 4 题型04 用弧度制表示轴线角与区域角 5 题型05 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式的应用 7 题型06 扇形中的最值问题 9 ▌题型01 弧度制的概念 1．1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的 叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2.任意角的弧度数 (1)在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长（即圆周长）为,所以周角的弧度数是由此可知，任意一个的角的弧度数必然适合不等式. (2)在前一节中，我们已经把角的概念作了推广,任一角都可表示为角与周角的整数倍的和.因此，只需把角用弧度表示，就可以得到角的弧度表示,即 利用此方法可以表示任意角的弧度数. 3.弧度制 一般地，任一正角的弧度数是一个 ；任一负角的弧度数是一个 ；零角的弧度数是零. 这种以 作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制. 【典例1】下列命题中，正确的是（ ） A．1弧度是长度等于半径的弧 B．1弧度就是的圆心角所对的弧 C．弧度等于 D．1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角，弧度是角的一种度量单位 【答案】D 【详解】1弧度角的定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.由上可知，选项D正确.故选D. 【变式1-1】（25-26高一下·河南南阳·期中）如图，时钟现在的时间为10：10，经过40min后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27高一上·全国·课后作业）是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式1-3】（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中，正确的是（   ） A．“角度制”和“弧度制”是度量角的两种不同的度量制度 B．1rad的角等于1度的角 C．的角是周角的，1rad的角是周角的 D．180°的角一定等于的角 ▌题型02 弧度制与角度制的互化 1．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 2．常用的特殊角的弧度数 3.换算时三注意 (1)在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系． (2)用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数． (3)角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 【典例2】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 【答案】C 【分析】由题意可得校准时要回拨5分钟，确定分针转的方向和大小后即可得答案. 【详解】因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度. 【变式2-1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）与相等的角度是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27高三·全国·一轮复习）把角化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）（25-26高一上·安徽宿州·期末）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 ▌题型03 弧度制下终边相同的角的表示 1.任何角都可以在0°～360°（0～2）内找到与之终边相同的角，从而确定其所在的象限（或坐标轴）. 2.在弧度制单位下，与角终边相同的角可表示为=+,他们相差2的整数倍. 【典例3-1】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角以及角度值，弧度制表示角即可. 【详解】与角的终边相同的角表达式为：，或. 故选：C. 【典例3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）若角和的终边关于轴对称，则必有（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】如图，设，分别是角，终边相同的角， 由角和的终边关于轴对称，得，所以，． 【变式3-1】（25-26高一下·山东威海·期末）与是同一象限角的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·湖南湘潭·期末）与终边相同的角所构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． ▌题型04 用弧度制表示轴线角与区域角 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【典例4-1】集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（      ） A．  B．  C．D．   【答案】C 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一致； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一致， 因此集合中角表示的范围所对图形是选项C反应的. 故选：C. 【典例4-2】（25-26高一下·江西九江·阶段检测）若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合象限角的取值范围运算求解即可. 【详解】因为是第二象限角， 则，，可得，， y是第四象限角，则，，解得，， 所以构成的集合为. 【变式4-1】（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）（25-26高一下·上海金山·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【变式4-3】（24-25高三·全国·一轮复习）设，那么的取值范围是__________． ▌题型05 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式的应用 1．弧度数公式 如果半径为r的圆心角所对的弧长为所对的弧长为,那么角的弧度数的绝对值是 2．弧长公式 设r是圆的半径,是圆心角所对的弧长,则 . 即弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积. 3．扇形的面积公式 设扇形的圆心角为半径为r,扇形面积为S，则 . 【注意】(1)上述公式中的角的单位均为弧度，不是度. (2)有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 【典例5】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用扇形的周长公式和面积公式求解. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 【变式5-1】（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（25-26高一上·山西吕梁·期末）午夜零时时针和分针重合，则午夜零时后，时针和分针第1次重合所需时间为__________小时，第3次重合时时针所转的角度为__________. 【变式5-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）图中质点在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为. (1)指出终边落在直线上的角的集合； (2)当第次运动到位置时，求质点所经过的弧长和该弧长所在的扇形的面积. ▌题型06 扇形中的最值问题 对于扇形中面积、周长的最值问题，通常利用二次函数求解. 【典例6】为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．    (1)写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域； (2)当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）在扇形中，由题意得，， 由扇形面积公式得扇形的面积为， 扇形的面积为， 故，由弧长公式得的长度为， 的长度为，而园圃的外围周长为50m， 故，解得， 因为圆心角小于，所以， 解得，而，故， 故，该函数的定义域为. （2）由二次函数性质得在内单调递增， 当时，的最大值为， 的长度为， 的长度为. 【变式6-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【变式6-2】（25-26高一下·上海闵行·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【变式6-3】（25-26高一上·山东·阶段检测）如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $