第10讲 任意角和弧度制专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十讲 任意角和弧度制—专题练习 【知识点梳理】 任意角 知识点一、任意角的概念 1.任意角的定义与表示 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． （2）角的表示 ①顶点：射线端点O；始边：射线起始位置OA；终边：射线的终止位置OB. ②记法：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”. 2.任意角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角. （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角. （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角. 3.任意角的画法 由于角是旋转出来的，因此要准确地刻画一个角，必须抓住旋转方向（角的符号）和旋转量（角的绝对值）两个关键要素，画一个角的一般步骤如下： （1）确定角的顶点（旋转中心）、角的始边. （2）将始边绕顶点按照给定的旋转方向和旋转量旋转到终边 （3）用带箭头的弧表示旋转的方向，标注出旋转量. 4.相等角、相反角 （1）相等角：如果两个角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称这两个角相等. （2）相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.的相反角记为. 5.角的加法、减法 加法：设，是任意两个角，我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. 减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，有. 知识点二、象限角 1.象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 2.轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角是轴线角. 知识点三、终边相同的角 1.终边相同的角的集合表示 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 2.象限角的集合表示 角的终边所在象限 集合表示 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3.轴线角的集合表示 角的终边所在的位置 集合表示 在x轴的非负半轴上 在x轴的非正半轴上 在y轴的非负半轴上 在y轴的非正半轴上 在y轴上 在x轴上 在坐标轴上 弧度制 知识点一、弧度制的概念 1.度量角的两种制度 （1）角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. （2）弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad，这种以弧度单位来度量角的单位制叫做弧度制. 2.弧度数的计算 （1）如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是. （2）的正负由角终边的旋转方向决定：逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负，没 有做任何旋转的为零. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 知识点二、角度与弧度的换算 1.当圆心角为周角时，，当圆心角为平角时，. 2.角度和弧度的换算 （1）角度化弧度：由180°＝π rad，可得：1°＝rad≈0.01745rad.即：角度数×＝弧度数. （2）弧度化角度：由π rad＝180°，可得：1rad＝≈57.30°.即：弧度数×＝角度数. 3.常用特殊角的度数和弧度数的对应关系 角 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 知识点三、扇形的弧长公式与面积公式 1.角度制下扇形的弧长公式和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角大小为n（n为圆心角角度数，且0°<n<360°），则： （1）扇形的弧长公式：；（2）扇形的面积公式：. 2.弧度制下扇形的弧长公式和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角大小为（为圆心角弧度数，且0<<2π），则： （1）扇形的弧长公式：；（2）扇形的面积公式：. 【专题练习】 考点一：任意角 1.任意角的概念 例1.下列各命题正确的是（　　） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90度的角都是锐角 解：∵30°和390°是终边相同的角，但30°≠390°，故可排除A． 第一象限角390°不是锐角，故可排除B． ﹣30°是小于90°的角，但它不是锐角，故可排除D． 锐角是第一象限角是正确的，故选：C． 例2.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A．120° B．－120° C．－60° D．60° 解：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为×360°＝－120°. 故选：B. 随堂练习： 1.(多选)下列说法，不正确的是(　　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．钝角比第三象限角小 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 解：A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确； B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确； C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确； D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．故选：ACD. 2.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　) A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° 解：钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.故选：B. 3.下列命题中，正确的是（　　） A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角必相等 C．相等角的终边位置必相同 D．不相等的角其终边位置必不相同 解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A不对； B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对； C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确； D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对．故选：C． 4.时钟的时针走过了1小时40分钟，则分针转过的角度为　　 ． 解：由题意得分针顺时针转过的角度为－360°×360°＝－600°．故答案为：－600°． 5.50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是 　． 解：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.故答案为：－1 030°. 6.下列说法正确的有 　． ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角. 解：对于①终边相同的角不一定相等，比如30°和390°．故①不正确； 对于②因为钝角的大小在（，π），所以钝角一定是第二象限角，故②正确； 对于③如﹣330°角是第一象限角，所以③正确； 对于④﹣45°＜90°，﹣45°角它不是锐角，所以④不正确．故答案为：②③． 7.下列命题中正确的是 　． ①第一象限角必是锐角；②终边相同的角相等；③相等的角终边必相同 ④不相等的角其终边必不相同. 解：①如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故①不对； ②终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故②不对； ③因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故③正确； ④如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故④不对． 故答案为：③． 2.终边相同的角 例1.（1）与2026°角终边相同的角是（　　） A．26° B．116° C．134° D．226° 解：因为2026°＝5×360°+226°，与2026°角终边相同的角是226°．故选：D． （2）下列各角中，与2025°角终边相同的是（　　） A．225° B．﹣225° C．45° D．﹣45° 解：由于2025°表示为：2025°＝5×360°+225°，所以与2025°角终边相同的是225°． 故选：A． （3）与﹣2023°终边相同的最小正角是（　　） A．137° B．223° C．43° D．133° 解：因为﹣2023°＝﹣360°×6+137°，所以与﹣2023°终边相同的最小正角是137°． 故选：A． 例2.已知角α＝－2026°，求： （1）在0°~360°范围内，与α终边相同的角； （2）与α终边相同的最大负角. 解：（1）方法一：－2026°＝－6×360°+134°，因为0°<134°<360°，所以满足条件的角为134°. 方法二：与α终边相同的角为β＝－2026°+k·360°，k∈Z. 令k=6，得β＝－2026°+6×360°＝134°， 因为0°<134°<360°，所以满足条件的角为134°. （2）由－2026°+k·360°<0，k∈Z.得k<5+， 当k＝5时，可得与α终边相同的最大负角为－2026°+5×360°＝-226°. 随堂练习： 1.与45°角终边相同的角的集合是（　　） A．{α|α＝45°+k•360°，k∈Z} B．{α|α＝45°+k•180°，k∈Z} C．{α|α＝k•360°﹣45°，k∈Z} D．{α|α＝k•180°﹣45°，k∈Z} 解：与45°角终边相同的角的集合是{α|α＝45°+k•360°，k∈Z}．故选：A． 2.下列各角中，与370°角终边重合的是（　　） A．300° B．30° C．﹣300° D．10° 解：与370°角终边重合的角的集合是{α|α＝370°+k•360°，k∈Z}， 当k＝﹣1时，α＝10°．故选：D． 3.下列各角中，与2025°角终边相同的角为（　　） A．45° B．135° C．﹣45° D．﹣135° 解：因为2025°＝﹣135°+6×360°，所以2025°与﹣135°的终边相同．故选：D． 4.下面各组角中，终边相同的是(　　) A．390°，690° B．－330°，750° C．480°，－420° D．3 000°，－840° 解：因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同． 故选：B. 5.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝ 　． 解：∵角5α与α具有相同的始边与终边， ∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z， 又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°，解得2<k<4，又k∈Z，∴k＝3.∴当k＝3时，α＝270°. 故答案为：270°. 6.（多选）与2022°角终边相同的角是（　　） A．﹣138° B．﹣72° C．42° D．222° 解：∵2022°＝222°+5×360°，又﹣138°＝222°﹣360°，﹣72°＝288°﹣360°，42°与222°终边显然不同，∴选项中只有﹣138°和222°与2022°终边相同． 故选：AD． 7.已知α＝－1 910°. （1）把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； （2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. 解：α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角． （2）令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角． 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 故θ＝－110°或θ＝－470°. 8.已知角α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． （1）最小的正角； （2）最大的负角； （3）－360°～720°之间的角． 解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}， （1）最小的正角为315°. （2）最大的负角为－45°. （3）－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°. 3.象限角的判断及其表示 例1.2 020°是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解：2 020°＝5×360°＋220°，所以2 020°角的终边与220°角的终边相同，为第三象限角．故选：C. 例2.下列说法正确的是（　　） A．第一象限角一定是锐角 B．若α是钝角，则是第一象限角 C．大于90°的角一定是钝角 D．若α是锐角，则2α是第二象限角 解：对于A，第一象限角不一定是锐角， 比如390°＝360°+30°为第一象限角，但它不是锐角，故A错误； 对于B，若α是钝角，则90°＜α＜180°，可得，所以是第一象限角，可知B正确； 对于C，大于90°的角不一定是钝角，比如180°＞90°，但180°不是钝角，故C错误； 对于D，若α是锐角，则2α不一定是第二象限角，比如锐角α＝45°，此时2α＝90°不是第二象限角.故D错误．故选：B． 随堂练习： 1.(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A．－200° B．100° C．220° D．420° 解：－200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角．故选：AB. 2.365°是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解：因为365°＝360°+5°，5°是第一象限角，所以365°是第一象限角． 故选：A． 3.已知α是锐角，那么2α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 解：因为α是锐角，所以α∈（0°，90°），所以2α∈（0°，180°）．故选：C． 4.下列选项正确的是（　　） A．已知角2α的终边始终在x轴上方，那么α是第一象限角 B．若α＝k•180°+45°（k∈Z），则α是第一或第二象限角 C．已知角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知α是锐角，那么2α是第一或第二象限角 解：对于选项A：由题意，设2α＝450°，则α＝225°是第三象限角，故A错误； 对于选项B：若α＝k•180°+45°（k∈Z），取k＝1，则α＝180°+45°＝225°，该角是第三象限角，故B错误； 对于选项C：由题意可知α＝k•360°﹣120°（k∈Z），因此， 当k为偶数时，令k＝2n，n∈Z，则，该角终边在第四象限； 当k为奇数时，令k＝2n+1，n∈Z，则，该角终边在第二象限； 故C正确； 对于选项D：由题意可知0°＜α＜90°，可得0°＜2α＜180°，当2α＝90°时，该角终边在y轴正半轴，不属于任何象限，故D错误． 故选：C． 5.若α是第二象限角，则π+α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解：∵α是第二象限角，∴2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z，∴2kπ＜α+π＜2π+2kπ，k∈Z， ∴π+α是第四象限角；故选：D． 6.已知θ为第二象限角，那么是第 象限角． 解：由题意，θ为第二象限角，可得， 当k＝3n，n∈Z时，，为第一象限， 当k＝3n+1，n∈Z时，，为第二象限， 当k＝3n+2，n∈Z时，，为第四象限， 可得是第一、二或第四象限角．故答案为：一、二、四． 7.已知下列各角：①﹣120°；②180°；③﹣240°；④495°，其中是第二象限角的 是 ． 解：对于①，﹣120°＝﹣360°+240°，而240°是第三象限角，①不是； 对于②，180°角的终边为x轴非正半轴，②不是； 对于③，﹣240°＝﹣360°+120°，120°是第二象限角，③是； 对于④，495°＝360°+135°，135°是第二象限角，④是． 故答案为：③④． 8.若角是第一象限角，则下列各角分别是第几象限角？ （1）2α； （2）. 解：（1）若是第一象限角，则(). 所以()，是第一、第二象限角或终边落在轴非负半轴上的角. （2）因为是第一象限角，所以(). 所以(). 当()时，(被整除) ，是第一象限角； 当()时，(被除余) ，是第二象限角； 当()时，(被除余) ，是第三象限角. 综上，是第一、第二或第三象限角. 4.区域角的表示 例1.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（　　） A．{α|﹣45°≤α＜120°} B．{α|120°＜α≤315°} C．{α|﹣45°+k•360°≤α＜120°+k•360°，k∈Z} D．{α|120°+k•360°＜α≤315°+k•360°，k∈Z} 解：由图象知，所求角的集合是{α|﹣45°+k•360°≤α＜120°+k•360°，k∈Z}．故选：C． 例2.已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}. 随堂练习： 1.集合{α|45°+k•180°≤α≤90°+k•180°，k∈Z}中角α的终边在单位圆中的位置（阴影部 分）是（　　） A． B． C． D． 解：当k＝2n，n∈Z时，n•360°+45°≤α≤n•360°+90°，n∈Z． 角α的终边与45°≤α≤90°终边相同，位于第一象限靠近y轴的区域； 当k＝2n+1，n∈Z时，n•360°+225°≤α≤n•360°+270°，n∈Z． 角α的终边与225°≤α≤270°终边相同，角α的终边位于第三象限靠近y轴的区域． 故选：C． 2.集合{α|kπα≤kπ，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　） A． B． C． D． 解：当k取偶数时，比如k＝0时，α，故角的终边在第一象限． 当k取奇数时，比如k＝1时，α，故角的终边在第三象限． 综上，角的终边在第一、或第三象限，故选：C． 3.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内（不包括边界），则α的取值范围 为　 ． 解：由题意可知：k•180°+30°＜α＜k•180°+150°，k∈Z． 故答案为：{α|k•180°+30°＜α＜k•180°+150°，k∈Z}. 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是 ． 解：观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}． 故答案为：{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}． 5.如图所示． （1）写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 解：（1）终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}． 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． （2）终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． 6.写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合． （1） （2） 解：有图可得： （1）{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}． （2）{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}． 考点二：弧度制 1.弧度的概念、弧度与角度的相互转化 例1.下列命题中，真命题的有（ ） A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.1rad的角比1°的角要大 解：由弧度概念可知AD正确.故选：AD. 例2.把下列角度化成弧度或弧度化成角度： （1）72°； （2）－300°； （3）2； （4）. 解：（1）72°＝72×； （2）－300°＝－300×； （3）2＝2×； （4）＝-40°. 随堂练习： 1.下列说法中，错误的是(　　) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 解：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．故选：D. 2.对应的角度是（　　） A．150° B．120° C．100° D．90° 解：由于π＝180°，可得．故选：A． 3.时针经过一小时，转过了(　　) A.rad B.rad C.rad D.rad 解：时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝rad.故选：B. 4.（1）15°化为弧度为（　　） A． B． C． D． 解：．故选：A． （2）角330°的弧度数为（　　） A． B． C． D． 解：．故选：A． （3）把化成角度是（　　） A．75° B．60° C．90° D．105° 解：．故选：A． （4）把化成角度是（　　） A．45° B．225° C．585° D．625° 解：由题意可得．所以把化成角度是225°．故选：B． 5.考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（　　） A． B． C． D． 解：经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，又由于1圈的弧度数为2π，可得1圈的的弧度数为，因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确．故选：D． 6.已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． 解：把角全部用弧度表示出来： α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝， ∵<<1<，∴α<β<γ<θ＝φ. 2.弧度制下角的表示 例1.（1）将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？ （2）在（1）的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合． 解：（1）－1 125°＝－1 125×＝＝－8π＋. 其中<<2π，因为是第四象限角， 所以－1 125°是第四象限角． （2）依题意与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 由－4π≤＋2kπ≤4π，且k∈Z，可得k＝－2，－1,0,1， 所以所求角的集合为. 例2.已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围　 ． 解：由题意，终边在30°角的终边所在直线上的角的集合S1＝{α|30°+k•180°，k∈Z}， 终边在105°角的终边所在直线上的角的集合S2＝{α|105°+k•180°，k∈Z}， 可得角α的取值范围为{α|30°+k•180°≤α＜105°+k•180°，k∈Z}． 故答案为：{α|30°+k•180°≤α＜105°+k•180°，k∈Z}． 随堂练习： 1.终边落在直线上的角的集合为( ) A. B. C. D. 解：方法1：当角的终边落在直线上且在第一象限时，角的集合为；当角的终边落在直线上且在第三象限时，角的集合为.取并集，可得终边落在直线上的角的集合为. 方法2：终边落在直线上的角的终边相差的整数倍.又因为的终边在直线上，所以所求集合为.故选：B. 2.（多选）与角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 解：由题意可知，与角终边相同的角是，当k＝﹣1时，；当k＝0时，；当k＝1时，，所以A，D满足题意，故选：AD． 3.用弧度制表示与2025°角的终边相同的角的集合为（　　） A．{α|，k∈Z} B．{α|，k∈Z} C．{α|，k∈Z} D．{α|，k∈Z} 解：因为2025°＝1800°+225°＝5，所以与2025°终边相同角为，故ABC错误，D正确．故选：D． 4.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z) 解：因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)， 所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)． 因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝＋2kπ(k∈Z)．故选：D. 5.若α为三角形的一个内角，且α与的终边相同，则α＝ . 解：＝－4π＋，所以与终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 又α∈(0，π)，故α＝.故答案为：. 6.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈ ．（用 弧度制描述） 解：角α的终边在图中阴影所表示的范围为：{α|k•180°﹣60°＜α＜k•180°+45°，k∈Z}， 即α∈{α|kπα＜kπ，k∈Z}．故答案为：{α|kπα＜kπ，k∈Z}． 7.已知角. （1）将写成的形式，并指出是第几象限角. （2）在内找出与角终边相同的角. 解：（1）因为，所以角的终边与角的终边相同，角是第二象限角. （2）因为与角终边相同的角(含角)为，所以由，得，所以或或，所以在内与角终边相同的角是和. 8.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合． 解：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分的角θ的集合为. 3.扇形的弧长与面积公式的应用 例1.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L（α＞0）． （1）已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 解：（1）根据题意可知，扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L， ，解得（舍去），，所以扇形圆心角α； （2）由已知得，l+2R＝20，所以（R﹣5）2+25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，，解得α＝2， 当扇形的圆心角α＝2时，扇形面积最大值为25． 例2.已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r． （1）若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长； （2）若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积． 解：（1）设扇形的弧长为l，∵α＝60°，即，r＝3，∴； （2）由题设条件知，l+2r＝16，l＝16﹣2r（0＜r＜8）， 因此扇形的面积， ∴当r＝4时，S有最大值16，此时， ∴当α＝2时，扇形的面积最大，最大面积是16． 随堂练习： 1.（1）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（　　） A．π B． C． D． 解：设扇形的圆心角为α，弧长为l，根据题意得扇形的半径r3，可得该扇形的面积Sαr232．故选：B． （2）一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为 　．（用弧度制表示） 解：设扇形圆心角θ，半径R，则弧长l＝θR＝6π，面积S3π×R＝27π， 解得R＝9，．故答案为：． 2.已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（　　） A． B． C． D．π 解：半径为2的扇形的圆心角为，即，由扇形面积公式．故选：B． 3.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则(　　) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 解：∵l＝αR，∴α＝.当R，l均变为原来的2倍时，α不变． 而S＝αR2中，∵α不变，∴S变为原来的4倍.故选：B. 4.已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（　　） A．2 B．1 C． D． 解：设扇形的半径为r，所对弧长为l，扇形的周长是24，面积为36， 则有解得故α2． 即扇形的圆心角（正角）的弧度数为2．故选：A． 5.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是 . 解：由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.故答案为. 6.如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝45°，点P为OB中点，作PQ⊥OB交OA 于点Q，则，AQ，QP，PB围成的图形（阴影部分）的周长为　　 ． 解：由题可得：OA＝OB＝4，∠AOB＝45°，故4π， 点P为OB中点，作PQ⊥OB交OA于点Q，则OP＝PQ＝PB＝2， 可得OQ2，AQ＝4﹣2，故，AQ，QP，PB围成的图形（阴影部分）的周长为：π+2+2+4﹣2π+8﹣2．故答案为：π+8﹣2． 7.已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r． （1）若α＝60°，r＝6，求扇形的弧长． （2）若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积． 解：（1）∵α＝60°＝60 r＝6∴l＝|α|r6＝2π （2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r＝16，即l＝16﹣2r（0＜r＜8）． 扇形的面积Slr，将上式代入，得S（16﹣2r）r＝﹣r2+8r＝﹣（r﹣4）2+16， 所以当且仅当r＝4时，S有最大值16，此时l＝16﹣2×4＝8，∴α2 8.如图，这是一个扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）展台，AD＝4米． （1）若∠COD，OA＝2米，求该扇形环面展台的周长； （2）若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 解：（1）因为米，所以弧AB的长度， 因为AD＝4米，所以OD＝6米，则弧CD的长度， 故该扇形环面展台的周长为米； （2）设∠COD＝θ，OA＝r米， 则弧AB的长度l1＝θr，弧CD的长度l2＝θ（r+4）＝θr+4θ， 因为该扇形环面展台的周长为14米，所以l1+l2+4×2＝14， 即θr+θr+4θ+4×2＝14，整理得θr+2θ＝3， 则该扇形环面展台的面积为平方米，故布置该扇形环面展台的总费用为500×12＝6000元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十讲 任意角和弧度制—专题练习 【知识点梳理】 任意角 知识点一、任意角的概念 1.任意角的定义与表示 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． （2）角的表示 ①顶点：射线端点O；始边：射线起始位置OA；终边：射线的终止位置OB. ②记法：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”. 2.任意角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角. （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角. （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角. 3.任意角的画法 由于角是旋转出来的，因此要准确地刻画一个角，必须抓住旋转方向（角的符号）和旋转量（角的绝对值）两个关键要素，画一个角的一般步骤如下： （1）确定角的顶点（旋转中心）、角的始边. （2）将始边绕顶点按照给定的旋转方向和旋转量旋转到终边 （3）用带箭头的弧表示旋转的方向，标注出旋转量. 4.相等角、相反角 （1）相等角：如果两个角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称这两个角相等. （2）相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.的相反角记为. 5.角的加法、减法 加法：设，是任意两个角，我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. 减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，有. 知识点二、象限角 1.象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 2.轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角是轴线角. 知识点三、终边相同的角 1.终边相同的角的集合表示 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 2.象限角的集合表示 角的终边所在象限 集合表示 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3.轴线角的集合表示 角的终边所在的位置 集合表示 在x轴的非负半轴上 在x轴的非正半轴上 在y轴的非负半轴上 在y轴的非正半轴上 在y轴上 在x轴上 在坐标轴上 弧度制 知识点一、弧度制的概念 1.度量角的两种制度 （1）角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. （2）弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad，这种以弧度单位来度量角的单位制叫做弧度制. 2.弧度数的计算 （1）如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是. （2）的正负由角终边的旋转方向决定：逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负，没 有做任何旋转的为零. 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 知识点二、角度与弧度的换算 1.当圆心角为周角时，，当圆心角为平角时，. 2.角度和弧度的换算 （1）角度化弧度：由180°＝π rad，可得：1°＝rad≈0.01745rad.即：角度数×＝弧度数. （2）弧度化角度：由π rad＝180°，可得：1rad＝≈57.30°.即：弧度数×＝角度数. 3.常用特殊角的度数和弧度数的对应关系 角 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 知识点三、扇形的弧长公式与面积公式 1.角度制下扇形的弧长公式和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角大小为n（n为圆心角角度数，且0°<n<360°），则： （1）扇形的弧长公式：；（2）扇形的面积公式：. 2.弧度制下扇形的弧长公式和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角大小为（为圆心角弧度数，且0<<2π），则： （1）扇形的弧长公式：；（2）扇形的面积公式：. 【专题练习】 考点一：任意角 1.任意角的概念 例1.下列各命题正确的是（　　） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90度的角都是锐角 例2.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A．120° B．－120° C．－60° D．60° 随堂练习： 1.(多选)下列说法，不正确的是(　　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．钝角比第三象限角小 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 2.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　) A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° 3.下列命题中，正确的是（　　） A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角必相等 C．相等角的终边位置必相同 D．不相等的角其终边位置必不相同 4.时钟的时针走过了1小时40分钟，则分针转过的角度为　　 ． 5.50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是 　． 6.下列说法正确的有 　． ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角. 7.下列命题中正确的是 　． ①第一象限角必是锐角；②终边相同的角相等；③相等的角终边必相同 ④不相等的角其终边必不相同. 2.终边相同的角 例1.（1）与2026°角终边相同的角是（　　） A．26° B．116° C．134° D．226° （2）下列各角中，与2025°角终边相同的是（　　） A．225° B．﹣225° C．45° D．﹣45° （3）与﹣2023°终边相同的最小正角是（　　） A．137° B．223° C．43° D．133° 例2.已知角α＝－2026°，求： （1）在0°~360°范围内，与α终边相同的角； （2）与α终边相同的最大负角. 随堂练习： 1.与45°角终边相同的角的集合是（　　） A．{α|α＝45°+k•360°，k∈Z} B．{α|α＝45°+k•180°，k∈Z} C．{α|α＝k•360°﹣45°，k∈Z} D．{α|α＝k•180°﹣45°，k∈Z} 2.下列各角中，与370°角终边重合的是（　　） A．300° B．30° C．﹣300° D．10° 3.下列各角中，与2025°角终边相同的角为（　　） A．45° B．135° C．﹣45° D．﹣135° 4.下面各组角中，终边相同的是(　　) A．390°，690° B．－330°，750° C．480°，－420° D．3 000°，－840° 5.若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝ 　． 6.（多选）与2022°角终边相同的角是（　　） A．﹣138° B．﹣72° C．42° D．222° 7.已知α＝－1 910°. （1）把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； （2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. 8.已知角α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． （1）最小的正角； （2）最大的负角； （3）－360°～720°之间的角． 3.象限角的判断及其表示 例1.2 020°是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例2.下列说法正确的是（　　） A．第一象限角一定是锐角 B．若α是钝角，则是第一象限角 C．大于90°的角一定是钝角 D．若α是锐角，则2α是第二象限角 随堂练习： 1.(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A．－200° B．100° C．220° D．420° 2.365°是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3.已知α是锐角，那么2α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角 4.下列选项正确的是（　　） A．已知角2α的终边始终在x轴上方，那么α是第一象限角 B．若α＝k•180°+45°（k∈Z），则α是第一或第二象限角 C．已知角α的终边与120°角的终边关于x轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知α是锐角，那么2α是第一或第二象限角 5.若α是第二象限角，则π+α是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6.已知θ为第二象限角，那么是第 象限角． 7.已知下列各角：①﹣120°；②180°；③﹣240°；④495°，其中是第二象限角的 是 ． 8.若角是第一象限角，则下列各角分别是第几象限角？ （1）2α； （2）. 4.区域角的表示 例1.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（　　） A．{α|﹣45°≤α＜120°} B．{α|120°＜α≤315°} C．{α|﹣45°+k•360°≤α＜120°+k•360°，k∈Z} D．{α|120°+k•360°＜α≤315°+k•360°，k∈Z} 例2.已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围． 随堂练习： 1.集合{α|45°+k•180°≤α≤90°+k•180°，k∈Z}中角α的终边在单位圆中的位置（阴影部 分）是（　　） A． B． C． D． 2.集合{α|kπα≤kπ，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　） A． B． C． D． 3.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内（不包括边界），则α的取值范围 为　 ． 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是 ． 5.如图所示． （1）写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； （2）写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 6.写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合． （1） （2） 考点二：弧度制 1.弧度的概念、弧度与角度的相互转化 例1.下列命题中，真命题的有（ ） A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.1rad的角比1°的角要大 例2.把下列角度化成弧度或弧度化成角度： （1）72°； （2）－300°； （3）2； （4）. 随堂练习： 1.下列说法中，错误的是(　　) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2.对应的角度是（　　） A．150° B．120° C．100° D．90° 3.时针经过一小时，转过了(　　) A.rad B.rad C.rad D.rad 4.（1）15°化为弧度为（　　） A． B． C． D． （2）角330°的弧度数为（　　） A． B． C． D． （3）把化成角度是（　　） A．75° B．60° C．90° D．105° （4）把化成角度是（　　） A．45° B．225° C．585° D．625° 5.考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（　　） A． B． C． D． 6.已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小． 2.弧度制下角的表示 例1.（1）将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？ （2）在（1）的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合． 例2.已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围　 ． 随堂练习： 1.终边落在直线上的角的集合为( ) A. B. C. D. 2.（多选）与角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 3.用弧度制表示与2025°角的终边相同的角的集合为（　　） A．{α|，k∈Z} B．{α|，k∈Z} C．{α|，k∈Z} D．{α|，k∈Z} 4.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　) A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z) 5.若α为三角形的一个内角，且α与的终边相同，则α＝ . 6.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈ ．（用 弧度制描述） 7.已知角. （1）将写成的形式，并指出是第几象限角. （2）在内找出与角终边相同的角. 8.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合． 3.扇形的弧长与面积公式的应用 例1.已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L（α＞0）． （1）已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 例2.已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r． （1）若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长； （2）若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积． 随堂练习： 1.（1）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（　　） A．π B． C． D． （2）一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为 　．（用弧度制表示） 2.已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（　　） A． B． C． D．π 3.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则(　　) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍 4.已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（　　） A．2 B．1 C． D． 5.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是 . 6.如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝45°，点P为OB中点，作PQ⊥OB交OA 于点Q，则，AQ，QP，PB围成的图形（阴影部分）的周长为　　 ． 7.已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r． （1）若α＝60°，r＝6，求扇形的弧长． （2）若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积． 8.如图，这是一个扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）展台，AD＝4米． （1）若∠COD，OA＝2米，求该扇形环面展台的周长； （2）若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $