7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（题型专练）高一数学人教B版必修第三册

7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 题型一 弧度的概念 1．【答案】A 2.【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】B 题型二 角度化弧度 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 题型三 弧度化角度 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】 5．【答案】 题型四 弧长计算问题 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】 题型五 圆心角的计算问题 1.【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】 4．【答案】/ 5.【答案】 【知识点】弧度的概念 【分析】首先求圆内接等边三角形的边长，再代入圆心角的弧度数公式，即可求解. 【详解】设圆的半径为，圆心角的弧度数为，则其内接正三角形的边长为， 故． 题型六   扇形面积计算问题 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】B 题型七   扇形半径计算问题 1．【答案】 2．【答案】2 3．【答案】(1) (2)15 【知识点】弧长的有关计算、弧度的概念 【分析】（1）根据已知条件列方程，求得大轮转动的周数，从而求得大轮转动的弧度数. （2）先求得大轮的转速，根据大轮上每1s转过的弧长列方程，从而求得大轮的半径. 【详解】（1）设小轮转动一周时大轮转动周，则， 故大轮转动的弧度数为． （2）设大轮的半径为，易知大轮的转速为， 所以大轮上每1s转过的弧长为，故． 题型一   弧长公式、扇形面积公式的综合应用 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】5或 8．【答案】 9．【答案】 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算 【分析】首先根据弧长公式计算扇形的半径，再利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可. 【详解】在扇形中，弧的长为cm，圆心角， 由弧长公式得：， 解得：， 由扇形面积公式得： 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 所以扇面的面积为：， 故答案为：. 题型一   扇形（图形）中的最值问题 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】BC 4．【答案】ABD 5．【答案】弧度 6．【答案】 7．【答案】(1) (2)时，扇形的周长最小，最小值为16 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据弧长公式求解即可； （2）根据扇形的面积公式可得，结合基本不等式求周长的最小值即可. 【详解】（1）正五边形的一个内角为， 当时，. （2）由题意知，所以， 周长， 当且仅当，即时等号成立， 因此，当时，扇形的周长最小，最小值为16. 8．【答案】(1)扇形的圆心角为或 (2) 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，进而求解可得扇形的圆心角； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，，利用基本不等式可求得扇形面积S的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以，所以， 所以，解得或. 当时，，扇形的圆心角为； 当时，，扇形的圆心角为； 综上所述：扇形的圆心角为或； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以扇形面积S的最大值为. 9．【答案】(1) (2) (3)，的面积最小为 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用扇形的弧长公式求解即可； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，则图中阴影部分的面积等于，计算即可； （3）设，，根据可得，由结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）扇形的半径为60，， 则的长为； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，    所以，，，， 扇形的面积， ，， 矩形的面积 所以图中阴影部分的面积为， （3）设，， ，所以，即，则， 所以， ，当且仅当，即时取等， 所以， 所以当时，的面积最小，最小为 题型二   用弧度表示角的集合 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】 【知识点】用弧度制表示角的集合、根据图形写出角（范围） 【分析】方法一：根据终边在上的角的集合、终边在轴非正半轴上的角的集合可得答案；方法二：根据在内，终边落在阴影部分内的角α的集合可得答案. 【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为 由于终边在轴非正半轴上的角的集合为， 因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为； 方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为， 所以所求角α的集合为. 故答案为：. 4．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据图形写出角（范围）、用弧度制表示角的集合、找出终边相同的角 【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为， 终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为 ， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为 . 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 题型一 弧度的概念 1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）如图，时钟现在表示的时间为10：10，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ）      A． B． C． D． 2.（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2018·上海·高考真题）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）下列各角中，与终边相同的是（   ） A． B． C． D． 题型二 角度化弧度 1．（25-26高一上·陕西西安·月考）体操中有“前空翻转体390度”这样的动作名称，则化成弧度是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）把从度化为弧度制为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川达州·月考）化为弧度是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 题型三 弧度化角度 1．（25-26高一上·四川·月考）化为角度是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·宁夏·月考）弧度对应角化成角度为 . 5．（25-26高一上·重庆·月考）已知，弧度，，则，，间的大小关系为 .（用“<”符号连接） 题型四 弧长计算问题 1．（25-26高一上·上海·月考）若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（　　） A． B．2 C． D． 2．（2004·浙江·高考真题）点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·甘肃张掖·月考）在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南漯河·月考）若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北邢台·月考）如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .    题型五 圆心角的计算问题 1.．（25-26高一上·江苏南京·月考）省常中操场上的铅球投掷落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为6.1米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（    ） A．0.61 rad B．6.1 rad C．61 rad D．610 rad 2．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（   ） A． B． C． D．3 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）一个扇形的弧长的数值为2，面积的数值为3，则这个扇形的圆心角的弧度数为 rad． 4．（25-26高一上·云南昆明·月考）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为 ． 5.（2025高三·全国·专题练习）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，求其圆心角弧度数． 题型六   扇形面积计算问题 1．（25-26高一上·河南·月考）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南·月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·期末）已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（   ） A． B． C． D． 题型七   扇形半径计算问题 1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的圆心角为1弧度，面积为9，则扇形所在圆的半径为 ． 2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿． (1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数； (2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径． 题型一   弧长公式、扇形面积公式的综合应用 1．（25-26高一上·贵州毕节·月考）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知某扇形的弧长与面积的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西晋城·月考）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 5．（25-26高一上·山东青岛·月考）莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧得到的三角形.如图，若莱洛三角形的面积是，则长为（   ）. A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东青岛·月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 7．（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知扇形的面积为，半径为r，扇形的周长为7，则该扇形圆心角的弧度数 ． 8．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为 ．    9．（25-26高一上·安徽·月考）“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白)，形成扇环形状的扇面.当扇子扇形的圆心角为弧度时，扇面看上去形状较为美观.已知，弧的长为，则此扇面的面积为 .（结果保留） 题型一   扇形（图形）中的最值问题 1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 2．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 3．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 4．（多选）（24-25高一下·辽宁大连·期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（   ） A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6 C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为 5．（2025·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 . 6．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 7．（25-26高一上·河南·月考）一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为. (1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长. (2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？ 8．（25-26高一上·山东济南·月考）已知一个扇形的周长是40， (1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S的最大值. 9．（25-26高一上·河北张家口·期末）如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．    (1)求的长． (2)求图中阴影部分的面积． (3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 题型二   用弧度表示角的集合 1．（18-19高一·全国·课后作业）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 题型一 弧度的概念 1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）如图，时钟现在表示的时间为10：10，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】任意角的概念、弧度的概念 【分析】根据给定条件，利用任意角及弧度制的意义求得答案. 【详解】依题意，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为. 故选：A 2.（24-25高一上·广东佛山·期中）小明出国旅游，当地时间比北京时间晩一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧度的概念、任意角的概念 【分析】由于是晚一个小时，所以需要把表调慢，即按逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为． 【详解】由题意，小明需要把表调慢一个小时，即将表的时针逆时针旋转弧度. 故选：B. 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度化为弧度、弧度的概念 【分析】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可求解. 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为， 且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确. 故选：D. 4．（2018·上海·高考真题）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】弧度的概念、函数图象的应用、函数关系的判断 【分析】根据函数定义，结合图象作出判断，得到答案. 【详解】A选项，若，将点依次旋转后可得到函数图像上的一些点， 由图可知，当、、0时，对应了两个y值，不符合函数定义， ∴. 同理，结合图像分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义， 故选：B 5．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧度的概念 【分析】通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到大轮转动一周时，小轮转动的周数，即可求小轮转动的角度. 【详解】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿， 所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿， 所以小轮此时转动周， 即小轮转动的角度为. 故选：B 6．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）下列各角中，与终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧度的概念、找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角的定义可得答案. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因，故B正确； 对于C，因，故C错误； 对于D，因，故D错误. 故选：B 题型二 角度化弧度 1．（25-26高一上·陕西西安·月考）体操中有“前空翻转体390度”这样的动作名称，则化成弧度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度化为弧度 【分析】利用角度与弧度的换算公式易得. 【详解】因. 故选：D. 2．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）把从度化为弧度制为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据弧度制与角度制的关系直接转化即可. 【详解】. 故选：B 3．（25-26高一上·四川达州·月考）化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角度化为弧度 【分析】由弧度制和角度制的运算公式可得. 【详解】根据换算公式，计算弧度， 故选：B 4．（24-25高一下·河南·期中）与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧度的概念、找出终边相同的角 【分析】先把化成弧度制，再写成，的形式， 确定选项. 【详解】因为. 所以与角终边相同的最小正角是. 故选：B 题型三 弧度化角度 1．（25-26高一上·四川·月考）化为角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据弧度化角度乘以计算可得． 【详解】． 故选：B． 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式直接求解即可. 【详解】解:根据角度制与弧度制的互化关系得 故选：B 3．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧度化为角度、弧度的概念 【分析】根据弧度和角度的对应关系可得答案. 【详解】由题意得，． 故选：C． 4．（25-26高一上·宁夏·月考）弧度对应角化成角度为 . 【答案】 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据角度与弧度的互化关系直接求解即可. 【详解】由直接代换得 所以弧度对应角化成角度为 故答案为： 5．（25-26高一上·重庆·月考）已知，弧度，，则，，间的大小关系为 .（用“<”符号连接） 【答案】 【知识点】弧度化为角度 【分析】将三个角统一转换为角度进行比较即可. 【详解】由题意可得，， 所以． 故答案为：. 题型四 弧长计算问题 1．（25-26高一上·上海·月考）若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长. 【详解】设扇形的半径为，则，故， 故弧长为. 故选：B 2．（2004·浙江·高考真题）点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、弧长的有关计算 【分析】利用弧长公式出角的大小，然后利用三角函数的定义求出点的坐标. 【详解】点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点， ， ，故选A. 3．（25-26高一上·甘肃张掖·月考）在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据弧长公式进行求解即可. 【详解】在单位圆中，的圆心角所对的弧长为， 故选：C 4．（25-26高一上·河南漯河·月考）若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据扇形面积公式得到扇形的半径，进而得到扇形的弧长. 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 故扇形弧长为. 故选：C 5．（25-26高一上·河北邢台·月考）如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .    【答案】 【知识点】弧长的有关计算 【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果. 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. 题型五 圆心角的计算问题 1.．（25-26高一上·江苏南京·月考）省常中操场上的铅球投掷落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为6.1米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（    ） A．0.61 rad B．6.1 rad C．61 rad D．610 rad 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算 【分析】直接由弧长公式求解即可. 【详解】由题意可知，弧长米，且米，所以扇形弧所对的圆心角为， 故选：A. 2．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】设扇形的圆心角为，半径为，利用扇形的弧长和面积公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 因为扇形的弧长和面积数值均为，可得， 解得，. 故选：C. 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）一个扇形的弧长的数值为2，面积的数值为3，则这个扇形的圆心角的弧度数为 rad． 【答案】 【知识点】弧度的概念、扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形的面积公式及弧度制的定义即可求出答案. 【详解】设扇形的弧长为，面积为，半径为， 由得，解得， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高一上·云南昆明·月考）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为 ． 【答案】/ 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用弧长公式，结合已知条件，即可得方程组求解圆心角. 【详解】 如图，延长交于点，设，扇形圆心角， 则根据题意知：，解得， 故答案为： 5.（2025高三·全国·专题练习）若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，求其圆心角弧度数． 【答案】 【知识点】弧度的概念 【分析】首先求圆内接等边三角形的边长，再代入圆心角的弧度数公式，即可求解. 【详解】设圆的半径为，圆心角的弧度数为，则其内接正三角形的边长为， 故． 题型六   扇形面积计算问题 1．（25-26高一上·河南·月考）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据弧长、半径与圆心角的关系，可得半径r的值，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，则，解得， 所以扇形的面积. 故选：B 2．（24-25高一上·湖南·月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·期末）已知圆心角为的扇形其弧长为，则该扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】求出扇形的半径，从而利用扇形面积公式进行求解. 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 又扇形弧长，故扇形面积为． 故选：A 4．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形面积公式求解. 【详解】半径为2的扇形的圆心角为， 由扇形面积公式. 故选：B 题型七   扇形半径计算问题 1．（25-26高一上·内蒙古赤峰·月考）已知扇形的圆心角为1弧度，面积为9，则扇形所在圆的半径为 ． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形面积公式列方程，求解即得所在圆的半径. 【详解】设扇形的半径为，则， 解得. 故答案为： 2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为 ． 【答案】2 【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算 【分析】利用扇形面积公式，结合二次函数求出最大值，即可求解半径. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大． 故答案为：2 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿． (1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数； (2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径． 【答案】(1) (2)15 【知识点】弧长的有关计算、弧度的概念 【分析】（1）根据已知条件列方程，求得大轮转动的周数，从而求得大轮转动的弧度数. （2）先求得大轮的转速，根据大轮上每1s转过的弧长列方程，从而求得大轮的半径. 【详解】（1）设小轮转动一周时大轮转动周，则， 故大轮转动的弧度数为． （2）设大轮的半径为，易知大轮的转速为， 所以大轮上每1s转过的弧长为，故． 题型一   弧长公式、扇形面积公式的综合应用 1．（25-26高一上·贵州毕节·月考）已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算求解． 【详解】设扇形半径为， ，，， ，解得， ，故C正确． 故选：C． 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知某扇形的弧长与面积的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的圆心角为，半径为， 则，所以，. 故选：A. 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐成为主流.如图，折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角度化为弧度、扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形面积公式分别求出两个扇形的面积，作差即可得出扇面（曲边四边形）的面积. 【详解】因为， 所以扇形的面积为； 扇形的面积为. 所以扇面（曲边四边形）的面积为. 故选：A. 4．（25-26高一上·山西晋城·月考）小李同学在学习了《任意角和弧度制》后，临摹了一件扇形瓷器盘（图1）的大致形状，如图2所示，已知在扇形中，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B．弧长 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】D 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据弧度制与角度制的互化判断A；根据弧长公式判断B：根据扇形的周长和面积公式判断C和D. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：扇形的周长为，C正确； 对于D：扇形的面积为，D错误； 故选：D 5．（25-26高一上·山东青岛·月考）莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧得到的三角形.如图，若莱洛三角形的面积是，则长为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案. 【详解】设，则以点分别为圆心， 圆弧所对的每个扇形面积均为， 等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是， 则，． 故选：A 6．（25-26高一上·山东青岛·月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解. 【详解】由题意， 在中，， 即，解得， 故，所以， 因此. 故选：C. 7．（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知扇形的面积为，半径为r，扇形的周长为7，则该扇形圆心角的弧度数 ． 【答案】5或 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】设出扇形的弧长，根据扇形面积和周长得到方程组，求出或，从而求出圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的弧长为，由题意得，，解得或， 当时，，当时，. 故答案为：5或 8．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为 ．    【答案】 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【分析】根据条件，利用弧长公式得圆的半径，再结合条件，利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设圆的半径为，由题有，解得， 又，所以，又点在圆上，，则 所以矩形的面积为， 又扇形的面积为，所以矩形在圆外部分的面积为， 故答案为：. 9．（25-26高一上·安徽·月考）“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白)，形成扇环形状的扇面.当扇子扇形的圆心角为弧度时，扇面看上去形状较为美观.已知，弧的长为，则此扇面的面积为 .（结果保留） 【答案】 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、扇形面积的有关计算 【分析】首先根据弧长公式计算扇形的半径，再利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可. 【详解】在扇形中，弧的长为cm，圆心角， 由弧长公式得：， 解得：， 由扇形面积公式得： 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， 所以扇面的面积为：， 故答案为：. 题型一   扇形（图形）中的最值问题 1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 2．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 3．（多选）（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，根据基本不等式可判断D. 【详解】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 4．（多选）（24-25高一下·辽宁大连·期中）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（   ） A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6 C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为 【答案】ABD 【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】设出扇形半径，表示弧长及扇形面积，求出最大值的条件，再逐项判断即得. 【详解】对于C，设扇形半径为，则弧长，扇形面积， 当且仅当时取等号，C错误 对于B，扇形的弧长，B正确； 对于A，扇形的圆心角为，A正确； 对于D，扇形圆心角所对弦长为，D正确. 故选：ABD 5．（2025·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 . 【答案】弧度 【知识点】扇形中的最值问题、扇形面积的有关计算 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：弧度 6．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 7．（25-26高一上·河南·月考）一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为. (1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长. (2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)时，扇形的周长最小，最小值为16 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据弧长公式求解即可； （2）根据扇形的面积公式可得，结合基本不等式求周长的最小值即可. 【详解】（1）正五边形的一个内角为， 当时，. （2）由题意知，所以， 周长， 当且仅当，即时等号成立， 因此，当时，扇形的周长最小，最小值为16. 8．（25-26高一上·山东济南·月考）已知一个扇形的周长是40， (1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S的最大值. 【答案】(1)扇形的圆心角为或 (2) 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，进而求解可得扇形的圆心角； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，，利用基本不等式可求得扇形面积S的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以，所以， 所以，解得或. 当时，，扇形的圆心角为； 当时，，扇形的圆心角为； 综上所述：扇形的圆心角为或； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以扇形面积S的最大值为. 9．（25-26高一上·河北张家口·期末）如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．    (1)求的长． (2)求图中阴影部分的面积． (3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)，的面积最小为 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用扇形的弧长公式求解即可； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，则图中阴影部分的面积等于，计算即可； （3）设，，根据可得，由结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）扇形的半径为60，， 则的长为； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，    所以，，，， 扇形的面积， ，， 矩形的面积 所以图中阴影部分的面积为， （3）设，， ，所以，即，则， 所以， ，当且仅当，即时取等， 所以， 所以当时，的面积最小，最小为 题型二   用弧度表示角的集合 1．（18-19高一·全国·课后作业）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用弧度制表示角的集合、根据图形写出角（范围）、任意角的概念 【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解. 【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是． 故选：D． 2．（25-26高三上·山东泰安·期末）终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形写出角（范围）、用弧度制表示角的集合 【分析】先求出终边落在边上的角为，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 【答案】 【知识点】用弧度制表示角的集合、根据图形写出角（范围） 【分析】方法一：根据终边在上的角的集合、终边在轴非正半轴上的角的集合可得答案；方法二：根据在内，终边落在阴影部分内的角α的集合可得答案. 【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为 由于终边在轴非正半轴上的角的集合为， 因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为； 方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为， 所以所求角α的集合为. 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据图形写出角（范围）、用弧度制表示角的集合、找出终边相同的角 【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合； （3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为， 终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为 ， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为 . 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $