专题01 任意角（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

专题01 任意角 （题型突破·举一反三） ▌题型01 任意角的概念 【典例1】 【答案】B 【分析】根据正负角的定义和钟表指针转动规律求解. 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 【变式1-1】 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 【变式1-2】 【答案】ACD 【分析】利用象限角的意义，结合任意角的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，角是第二象限角，而它不是钝角，A错误； 对于B，钝角的补角是锐角，而锐角是第一象限角，因此钝角的补角是第一象限的角，B正确； 对于C，角小于角，而角不是锐角，C错误； 对于D，是第一象限角，角是第二象限角，D错误. 故选：ACD 【变式1-3】 【答案】AD 【分析】利用正角和负角的定义判断A，利用零角的定义判断B，举反例判断C，利用锐角，钝角，第一象限角，第二象限角的定义判断D即可. 【详解】对于A，由正角和负角的定义得A正确， 对于B，只有始边与终边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才是零角，故B错误， 对于C，令第三象限的角是，第二象限的角是， 则，可得第三象限的角不一定大于第二象限的角，故C错误， 对于D，设为锐角，为钝角，由锐角的定义得，， 由第一象限角的定义得一定是第一象限角， 由第二象限角的定义得一定是第二象限角， 即锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角，故D正确. 故选：AD ▌题型02 求与已知角终边相同的角 【典例2】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】与角终边相同的角为，，再根据题目要求对k进行限制即可得到答案. 【详解】（1）由且，可得，故所求的最大负角为. （2）由且，可得，故所求的最小正角为. （3）由且，可得，故所求的角为. 【变式2-1】 【答案】C 【分析】由题意可得，求出合适的的值，即可得答案. 【详解】设与的终边相同， 则， 当时，. 【变式2-2】 【答案】；． 【详解】与角终边相同的角的集合为. 当时，；时，. 所以中满足不等式的元素为：． 【变式2-3】 【详解】解法一:与10 030°角终边相同的角的一般形式为β=10 030°+k·360°(k∈Z). (1)由-360°<10 030°+k·360°≤0°(k∈Z), 得-10 390°<k·360°≤-10 030°(k∈Z),解得k=-28, 故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°<10 030°+k·360°<720°(k∈Z),得-9 670°<k·360°<-9 310°(k∈Z),解得k=-26.故所求的角为β=670°. 解法二:∵10 030°=310°+27×360°=-50°+28×360°=670°+26×360°, ∴(1)所求的最大负角为-50°. (2)360°~720°内的角为670°. ▌题型03 终边落在射线、直线上的角的集合 【典例3】 【详解】解法一:因为直线y=x的倾斜角是60°,所以在0°~360°中终边落在该直线上的角是60°、240°,因此,所有与60°角终边相同的角的集合是S={α|α=k·360°+60°,k∈Z};所有与240°角终边相同的角的集合是T={α|α=k·360°+240°,k∈Z}. 于是,终边落在直线y=x上的角的集合为: S∪T={α|α=k·360°+60°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+240°,k∈Z}={α|α=2k·180°+60°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+60°,k∈Z}={α|α=k·180°+60°,k∈Z}. 解法二:直线y=x的倾斜角是60°,终边落在该直线上的任一角与60°角相差180°的整数倍,所以终边落在该直线上的任一角α均可表示为α=60°+k·180°(k∈Z),所以终边落在直线y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+60°,k∈Z}. 【变式3-1】 【答案】A 【分析】由对称可知，得终边所在位置. 【详解】角的终边与角的终边关于轴对称，则角的终边与角的终边相同， 得，则有， 所以的终边落在轴的非负半轴． 故选：A． 【变式3-2】 【答案】（答案不唯一） 【分析】直接根据终边互为反向延长线的两角特点计算即可. 【详解】可取. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式3-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知，与终边相同的角的集合满足题意； （2）由图可知与，终边相同的角的集合满足题意. 【详解】（1）终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在直线上的角为或，， 即或，， 所以终边落在直线上的角的集合为； ▌题型04 象限角与轴线角 【典例4-1】 【答案】B 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 【典例4-2】 【答案】(1)，第一象限角； (2)和. 【分析】（1）由题意，，根据角的相关概念，即可判断； （2）先根据终边相同的角的关系写出的表达式，再结合的取值范围确定的值，即可求出角. 【详解】（1）因为，又， 所以把写成的形式为， 它是第一象限角． （2）与终边相同的角为， 所以当，或时，，或，满足． 即得所求角为和． 【变式4-1】 【答案】A 【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解. 【详解】表示终边落在轴非正半轴上角的集合，表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴上角的集合，故. 故选：A. 【变式4-2】 【答案】C 【分析】直接写出终边在轴上的角，比较选项即可. 【详解】角的终边在轴上， 则，AD错在角度，弧度混用，B范围不对， 故选：C 【变式4-3】 【答案】(1)，第二象限的角 (2)， 【分析】（1）根据终边相同的角的定义求解集合S，进而判断所属象限； （2）根据（1）得到，建立关于的不等式求解即可. 【详解】（1）， ， 与的终边相同. 是第二象限的角， 是第二象限的角. （2）由， 解得. 由，得或5， 即S中适合的元素有 ， . ▌题型05 区域角的表示 【典例5】 【答案】 【分析】先求出阴影部分角的范围，再应用交集定义计算求解. 【详解】图中的阴影部分表示终边由逆时针旋转到的所有角， 故， 又， . 【变式5-1】 【答案】 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是， 所以角的集合是． 【变式5-2】 【答案】 【分析】根据题意，可得出在范围内，终边落在阴影内的角为或；结合周期性进行化简，即可得出答案. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . 【变式5-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1），（2）根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接求出角的集合． 【详解】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：或 ； （2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 角的集合为． ▌题型06 判断倍角、半角所在象限 【典例6-1】 【详解】因为角α为第一象限角,即k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z, 所以2k·360°<2α<2k·360°+180°,k∈Z,则2α是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角. 【典例6-2】 【详解】解法一:∵α是第一象限角, ∴k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z. ∴·360°<<·360°+30°,k∈Z. 当k=3n(n∈Z)时,有n·360°<<n·360°+30°,n∈Z, ∴是第一象限角; 当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°<<n·360°+150°,n∈Z, ∴为第二象限角; 当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°<<n·360°+270°,n∈Z, ∴为第三象限角.综上,可知为第一、第二或第三象限角. 解法二:如图,将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分,再从x轴正方向的上方起,依次将各区域标上号码1,2,3,4,则标有1的区域即为的终边所在的区域,故是第一、第二或第三象限角. 【变式6-1】 【答案】B 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． 【变式6-2】 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 【变式6-3】 【答案】C 【解析】根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置. 【详解】由于的终边在第三象限，则， 所以，， 因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴. 故选：C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 任意角 （题型突破·举一反三） 题型01 任意角的概念 1 题型02 求与已知角终边相同的角 3 题型03 终边落在射线、直线上的角的集合 5 题型04 象限角与轴线角 7 题型05 区域角的表示 9 题型06 判断倍角、半角所在象限 12 ▌题型01 任意角的概念 1.任意角的定义与表示 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． （2）角的表示 ①顶点：射线端点O；始边：射线起始位置OA；终边：射线的终止位置OB. ②记法：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”. 2.任意角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角. （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角. （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角. 3.任意角的画法 由于角是旋转出来的，因此要准确地刻画一个角，必须抓住旋转方向（角的符号）和旋转量（角的绝对值）两个关键要素，画一个角的一般步骤如下： （1）确定角的顶点（旋转中心）、角的始边. （2）将始边绕顶点按照给定的旋转方向和旋转量旋转到终边 （3）用带箭头的弧表示旋转的方向，标注出旋转量. 4.相等角、相反角 （1）相等角：如果两个角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称这两个角相等. （2）相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.的相反角记为. 5.角的加法、减法 加法：设，是任意两个角，我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. 减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，有. 【典例1】（26-27高一上·全国·课后作业）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负角的定义和钟表指针转动规律求解. 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 【变式1-1】（25-26高一下·上海·期中）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 【变式1-2】（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 【答案】ACD 【分析】利用象限角的意义，结合任意角的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，角是第二象限角，而它不是钝角，A错误； 对于B，钝角的补角是锐角，而锐角是第一象限角，因此钝角的补角是第一象限的角，B正确； 对于C，角小于角，而角不是锐角，C错误； 对于D，是第一象限角，角是第二象限角，D错误. 故选：ACD 【变式1-3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．角的正负表示旋转方向 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 【答案】AD 【分析】利用正角和负角的定义判断A，利用零角的定义判断B，举反例判断C，利用锐角，钝角，第一象限角，第二象限角的定义判断D即可. 【详解】对于A，由正角和负角的定义得A正确， 对于B，只有始边与终边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才是零角，故B错误， 对于C，令第三象限的角是，第二象限的角是， 则，可得第三象限的角不一定大于第二象限的角，故C错误， 对于D，设为锐角，为钝角，由锐角的定义得，， 由第一象限角的定义得一定是第一象限角， 由第二象限角的定义得一定是第二象限角， 即锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角，故D正确. 故选：AD ▌题型02 求与已知角终边相同的角 1.与角α终边相同的角 　　一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和. 【说明】求与角α终边相同的角,首先要将这样的角表示成α+k·360°,k∈Z的形式,然后采用赋值法或解不等式法求解,确定k的值,求出适合条件的角. 2.求与角α终边相同的角 求与角α终边相同的角,首先要将这样的角表示成α+k·360°,k∈Z的形式,然后采用赋值法或解不等式法求解,确定k的值,求出适合条件的角. 【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】与角终边相同的角为，，再根据题目要求对k进行限制即可得到答案. 【详解】（1）由且，可得，故所求的最大负角为. （2）由且，可得，故所求的最小正角为. （3）由且，可得，故所求的角为. 【变式2-1】（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求出合适的的值，即可得答案. 【详解】设与的终边相同， 则， 当时，. 【变式2-2】（26-27高一上·全国·课后作业）写出与角终边相同的角的集合中满足不等式的元素有哪些？ 【答案】；． 【详解】与角终边相同的角的集合为. 当时，；时，. 所以中满足不等式的元素为：． 【变式2-3】在与10 030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)360°~720°内的角. 【详解】解法一:与10 030°角终边相同的角的一般形式为β=10 030°+k·360°(k∈Z). (1)由-360°<10 030°+k·360°≤0°(k∈Z), 得-10 390°<k·360°≤-10 030°(k∈Z),解得k=-28, 故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°<10 030°+k·360°<720°(k∈Z),得-9 670°<k·360°<-9 310°(k∈Z),解得k=-26.故所求的角为β=670°. 解法二:∵10 030°=310°+27×360°=-50°+28×360°=670°+26×360°, ∴(1)所求的最大负角为-50°. (2)360°~720°内的角为670°. ▌题型03 终边落在射线、直线上的角的集合 1.终边落在射线、直线上的角的集合表示 由于角的终边为一条射线,因此终边落在射线上的角为一类角,而终边落在直线上的角则包括两类角,分别写出这两类角的集合,再通过整合,最后用一个集合表示. 2．终边相同的角的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍. (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 【典例3】写出终边落在直线y=x上的角的集合. 【详解】解法一:因为直线y=x的倾斜角是60°,所以在0°~360°中终边落在该直线上的角是60°、240°,因此,所有与60°角终边相同的角的集合是S={α|α=k·360°+60°,k∈Z};所有与240°角终边相同的角的集合是T={α|α=k·360°+240°,k∈Z}. 于是,终边落在直线y=x上的角的集合为: S∪T={α|α=k·360°+60°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+240°,k∈Z}={α|α=2k·180°+60°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+60°,k∈Z}={α|α=k·180°+60°,k∈Z}. 解法二:直线y=x的倾斜角是60°,终边落在该直线上的任一角与60°角相差180°的整数倍,所以终边落在该直线上的任一角α均可表示为α=60°+k·180°(k∈Z),所以终边落在直线y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+60°,k∈Z}. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）若角的终边与角的终边关于轴对称，则的终边落在（　　） A．轴的非负半轴 B．第一象限 C．轴的非负半轴 D．第三象限 【答案】A 【分析】由对称可知，得终边所在位置. 【详解】角的终边与角的终边关于轴对称，则角的终边与角的终边相同， 得，则有， 所以的终边落在轴的非负半轴． 故选：A． 【变式3-2】（24-25高一下·山东日照·阶段检测）若、两角的终边互为反向延长线，且，则符合条件的角的一个值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】直接根据终边互为反向延长线的两角特点计算即可. 【详解】可取. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式3-3】如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知，与终边相同的角的集合满足题意； （2）由图可知与，终边相同的角的集合满足题意. 【详解】（1）终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在直线上的角为或，， 即或，， 所以终边落在直线上的角的集合为； ▌题型04 象限角与轴线角 1.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 2.轴线角 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角是轴线角. 3.象限角的集合表示 角的终边所在象限 集合表示 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 4.轴线角的集合表示 角的终边所在的位置 集合表示 在x轴的非负半轴上 在x轴的非正半轴上 在y轴的非负半轴上 在y轴的非正半轴上 在y轴上 在x轴上 在坐标轴上 【典例4-1】终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 【典例4-2】（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知． (1)把改写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求，使与终边相同，且． 【答案】(1)，第一象限角； (2)和. 【分析】（1）由题意，，根据角的相关概念，即可判断； （2）先根据终边相同的角的关系写出的表达式，再结合的取值范围确定的值，即可求出角. 【详解】（1）因为，又， 所以把写成的形式为， 它是第一象限角． （2）与终边相同的角为， 所以当，或时，，或，满足． 即得所求角为和． 【变式4-1】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解. 【详解】表示终边落在轴非正半轴上角的集合，表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴上角的集合，故. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一上·云南昆明·阶段检测）若角的终边在轴上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接写出终边在轴上的角，比较选项即可. 【详解】角的终边在轴上， 则，AD错在角度，弧度混用，B范围不对， 故选：C 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知. (1)写出与角终边相同的角的集合S，并指出角是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式的角. 【答案】(1)，第二象限的角 (2)， 【分析】（1）根据终边相同的角的定义求解集合S，进而判断所属象限； （2）根据（1）得到，建立关于的不等式求解即可. 【详解】（1）， ， 与的终边相同. 是第二象限的角， 是第二象限的角. （2）由， 解得. 由，得或5， 即S中适合的元素有 ， . ▌题型05 区域角的表示 1.区域角的集合表示 我们常常会遇到坐标系下的角的终边不是固定位置,而是满足一定的区域,这样的角叫作区域角,如第一象限角. 要正确表示这样的区域角,可利用从特殊到一般的原则,先在0°~360°的范围内确定角的范围,再拓展到任意角的范围.如有多个区域,则先写出各对应的集合,再取并集. 2．区域角的表示三注意 (1)区域边界线是实线还是虚线; (2)角的旋转方向; (3)一般地,角α的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)时,角可表示为“k·180°+θ1<α<k·180°+θ2,k∈Z”(θ1<θ2)的形式. 【典例5】（25-26高一下·全国·课堂例题）设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求. 【答案】 【分析】先求出阴影部分角的范围，再应用交集定义计算求解. 【详解】图中的阴影部分表示终边由逆时针旋转到的所有角， 故， 又， . 【变式5-1】（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【答案】 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是， 所以角的集合是． 【变式5-2】（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得出在范围内，终边落在阴影内的角为或；结合周期性进行化简，即可得出答案. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . 【变式5-3】（26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），（2）根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接求出角的集合． 【详解】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：或 ； （2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 角的集合为． ▌题型06 判断倍角、半角所在象限 1．确定角nα(n∈N*)的终边所在象限 首先根据角α所在的象限,用不等式表示其范围,通过推理直接得到所求角nα(n∈N*)所在的象限. 2．确定角(n∈N*)的终边所在象限 (1)分类讨论法:利用已知条件写出角α的范围,由此确定(n∈N*)的范围,再讨论k的取值即可. (2)等分象限法:将各个象限n等分,从第一象限离x轴最近的区域开始按逆时针方向依次重复标注1,2,3,4,直到将所有区域标完为止.角α的终边在第几象限,则的终边就在直角坐标系中标号为几的区域内. 【典例6-1】已知角α为第一象限角,试确定2α所在的象限. 【详解】因为角α为第一象限角,即k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z, 所以2k·360°<2α<2k·360°+180°,k∈Z,则2α是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角. 【典例6-2】已知角α为第一象限角,试确定所在的象限. 【详解】解法一:∵α是第一象限角, ∴k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z. ∴·360°<<·360°+30°,k∈Z. 当k=3n(n∈Z)时,有n·360°<<n·360°+30°,n∈Z, ∴是第一象限角; 当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°<<n·360°+150°,n∈Z, ∴为第二象限角; 当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°<<n·360°+270°,n∈Z, ∴为第三象限角.综上,可知为第一、第二或第三象限角. 解法二:如图,将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分,再从x轴正方向的上方起,依次将各区域标上号码1,2,3,4,则标有1的区域即为的终边所在的区域,故是第一、第二或第三象限角. 【变式6-1】（26-27高二·山东·学业考试模拟）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． 【变式6-2】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【答案】B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 【变式6-3】（25-26高一上·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 【答案】C 【解析】根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置. 【详解】由于的终边在第三象限，则， 所以，， 因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴. 故选：C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 任意角 （题型突破·举一反三） 题型01 任意角的概念 1 题型02 求与已知角终边相同的角 3 题型03 终边落在射线、直线上的角的集合 4 题型04 象限角与轴线角 5 题型05 区域角的表示 7 题型06 判断倍角、半角所在象限 9 ▌题型01 任意角的概念 1.任意角的定义与表示 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． （2）角的表示 ①顶点：射线端点O；始边：射线起始位置OA；终边：射线的终止位置OB. ②记法：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”. 2.任意角的分类 （1）正角：按 方向旋转形成的角. （2）负角：按 方向旋转形成的角. （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角. 3.任意角的画法 由于角是旋转出来的，因此要准确地刻画一个角，必须抓住旋转方向（角的符号）和旋转量（角的绝对值）两个关键要素，画一个角的一般步骤如下： （1）确定角的顶点（旋转中心）、角的始边. （2）将始边绕顶点按照给定的旋转方向和旋转量旋转到终边 （3）用带箭头的弧表示旋转的方向，标注出旋转量. 4.相等角、相反角 （1）相等角：如果两个角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称这两个角相等. （2）相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.的相反角记为. 5.角的加法、减法 加法：设，是任意两个角，我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是 减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，有 【典例1】（26-27高一上·全国·课后作业）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负角的定义和钟表指针转动规律求解. 【详解】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 【变式1-1】（25-26高一下·上海·期中）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 【变式1-2】（多选）（25-26高一下·全国·阶段检测）下列命题中错误的是（   ） A．第二象限的角是钝角 B．钝角的补角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角小于第二象限的角 【变式1-3】（多选）下列说法正确的是（    ） A．角的正负表示旋转方向 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 ▌题型02 求与已知角终边相同的角 1.与角α终边相同的角 　　一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= ,即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和. 【说明】求与角α终边相同的角,首先要将这样的角表示成α+k·360°,k∈Z的形式,然后采用赋值法或解不等式法求解,确定k的值,求出适合条件的角. 2.求与角α终边相同的角 求与角α终边相同的角,首先要将这样的角表示成α+k·360°,k∈Z的形式,然后采用赋值法或解不等式法求解,确定k的值,求出适合条件的角. 【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】与角终边相同的角为，，再根据题目要求对k进行限制即可得到答案. 【详解】（1）由且，可得，故所求的最大负角为. （2）由且，可得，故所求的最小正角为. （3）由且，可得，故所求的角为. 【变式2-1】（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27高一上·全国·课后作业）写出与角终边相同的角的集合中满足不等式的元素有哪些？ 【变式2-3】在与10 030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)360°~720°内的角. ▌题型03 终边落在射线、直线上的角的集合 1.终边落在射线、直线上的角的集合表示 由于角的终边为一条射线,因此终边落在射线上的角为一类角,而终边落在直线上的角则包括两类角,分别写出这两类角的集合,再通过整合,最后用一个集合表示. 2．终边相同的角的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍. (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. 【典例3】写出终边落在直线y=x上的角的集合. 【详解】解法一:因为直线y=x的倾斜角是60°,所以在0°~360°中终边落在该直线上的角是60°、240°,因此,所有与60°角终边相同的角的集合是S={α|α=k·360°+60°,k∈Z};所有与240°角终边相同的角的集合是T={α|α=k·360°+240°,k∈Z}. 于是,终边落在直线y=x上的角的集合为: S∪T={α|α=k·360°+60°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+240°,k∈Z}={α|α=2k·180°+60°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+60°,k∈Z}={α|α=k·180°+60°,k∈Z}. 解法二:直线y=x的倾斜角是60°,终边落在该直线上的任一角与60°角相差180°的整数倍,所以终边落在该直线上的任一角α均可表示为α=60°+k·180°(k∈Z),所以终边落在直线y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+60°,k∈Z}. 【变式3-1】（25-26高一上·江苏盐城·期末）若角的终边与角的终边关于轴对称，则的终边落在（　　） A．轴的非负半轴 B．第一象限 C．轴的非负半轴 D．第三象限 【变式3-2】（24-25高一下·山东日照·阶段检测）若、两角的终边互为反向延长线，且，则符合条件的角的一个值可以是______． 【变式3-3】如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； ▌题型04 象限角与轴线角 1.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 2.轴线角 如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角是轴线角. 3.象限角的集合表示 角的终边所在象限 集合表示 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 4.轴线角的集合表示 角的终边所在的位置 集合表示 在x轴的非负半轴上 在x轴的非正半轴上 在y轴的非负半轴上 在y轴的非正半轴上 在y轴上 在x轴上 在坐标轴上 【典例4-1】终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 【典例4-2】（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知． (1)把改写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求，使与终边相同，且． 【答案】(1)，第一象限角； (2)和. 【分析】（1）由题意，，根据角的相关概念，即可判断； （2）先根据终边相同的角的关系写出的表达式，再结合的取值范围确定的值，即可求出角. 【详解】（1）因为，又， 所以把写成的形式为， 它是第一象限角． （2）与终边相同的角为， 所以当，或时，，或，满足． 即得所求角为和． 【变式4-1】（24-25高一上·全国·课后作业）设集合，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·云南昆明·阶段检测）若角的终边在轴上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知. (1)写出与角终边相同的角的集合S，并指出角是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式的角. ▌题型05 区域角的表示 1.区域角的集合表示 我们常常会遇到坐标系下的角的终边不是固定位置,而是满足一定的区域,这样的角叫作区域角,如第一象限角. 要正确表示这样的区域角,可利用从特殊到一般的原则,先在0°~360°的范围内确定角的范围,再拓展到任意角的范围.如有多个区域,则先写出各对应的集合,再取并集. 2．区域角的表示三注意 (1)区域边界线是实线还是虚线; (2)角的旋转方向; (3)一般地,角α的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)时,角可表示为“k·180°+θ1<α<k·180°+θ2,k∈Z”(θ1<θ2)的形式. 【典例5】（25-26高一下·全国·课堂例题）设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求. 【答案】 【分析】先求出阴影部分角的范围，再应用交集定义计算求解. 【详解】图中的阴影部分表示终边由逆时针旋转到的所有角， 故， 又， . 【变式5-1】（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【变式5-2】（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【变式5-3】（26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1) 角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2) 角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． ▌题型06 判断倍角、半角所在象限 1．确定角nα(n∈N*)的终边所在象限 首先根据角α所在的象限,用不等式表示其范围,通过推理直接得到所求角nα(n∈N*)所在的象限. 2．确定角(n∈N*)的终边所在象限 (1)分类讨论法:利用已知条件写出角α的范围,由此确定(n∈N*)的范围,再讨论k的取值即可. (2)等分象限法:将各个象限n等分,从第一象限离x轴最近的区域开始按逆时针方向依次重复标注1,2,3,4,直到将所有区域标完为止.角α的终边在第几象限,则的终边就在直角坐标系中标号为几的区域内. 【典例6-1】已知角α为第一象限角,试确定2α所在的象限. 【详解】因为角α为第一象限角,即k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z, 所以2k·360°<2α<2k·360°+180°,k∈Z,则2α是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角. 【典例6-2】已知角α为第一象限角,试确定所在的象限. 【详解】解法一:∵α是第一象限角, ∴k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z. ∴·360°<<·360°+30°,k∈Z. 当k=3n(n∈Z)时,有n·360°<<n·360°+30°,n∈Z, ∴是第一象限角; 当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°<<n·360°+150°,n∈Z, ∴为第二象限角; 当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°<<n·360°+270°,n∈Z, ∴为第三象限角.综上,可知为第一、第二或第三象限角. 解法二:如图,将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分,再从x轴正方向的上方起,依次将各区域标上号码1,2,3,4,则标有1的区域即为的终边所在的区域,故是第一、第二或第三象限角. 【变式6-1】（26-27高二·山东·学业考试模拟）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【变式6-3】（25-26高一上·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $