专题02 二次函数（期中复习专项训练）九年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题02 二次函数 题型1 二次函数（常考点） 题型6 待定系数法求二次函数解析式（重点） 题型2 二次函数的图象与性质（重点） 题型7 二次函数与实际问题的应用（难点） 题型3 二次函数的最值（重点） 题型8 二次函数的综合应用（难点） 题型4 二次函数图象的平移（重点） 题型9 二次函数与一元二次方程（重点） 题型5 二次函数与不等式（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数（共5小题） 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为 ． 5．（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为 ． 题型二 二次函数的图象与性质（共23小题） 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河北张家口·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 10．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，，三点在同一个函数的图像上，则该函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则当时，二次函数对应的函数值为（   ） A．0 B． C． D． 14．（24-25九年级上·湖南永州·期末）抛物线的开口方向是向 （填“上”或“下”） ． 15．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将写成的形式是 ． 16．（24-25九年级上·江西赣州·期末）请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是的抛物线的表达式： ． 17．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ；抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ．相比之下，抛物线 的开口程度较大． 18．（24-25九年级上·青海海西·期末）已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ． 19．（24-25九年级上·陕西西安·期末）抛物线经过三点，则的大小关系为 20．（24-25九年级上·广东·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 21．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③函数的最大值为；④（是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）． 22．（25-26九年级上·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 23．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 24．（23-24九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 25．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线开口向下． (1)求m的值； (2)若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 26．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 27．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）画图象并解决下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的的图象． (2)请结合图象写出3个相关的正确结论． 28．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 题型三 二次函数的最值（共6小题） 29．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 30．（24-25九年级下·山东·期末）已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（   ） A．2 B．12 C．15 D．17 31．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 32．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为 ． 33．（24-25九年级上·北京东城·期末）已知二次函数. (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，的取值范围是 . 34．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． (1)当时，求该二次函数的最值． (2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 题型四 二次函数图象的平移（共6小题） 35．（25-26九年级上·河南安阳·期末）下列可以由抛物线平移得到的是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·北京海淀·期末）将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·山东德州·期末）抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为 ． 38．（24-25九年级上·河南周口·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 39．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 40．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线过点，顶点为．抛物线． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 题型五 二次函数与不等式 （共11小题） 41．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 42．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 43．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 44．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 45．（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 46．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知点和点都在抛物线上． （1）若，则 ； （2）若，则k的取值范围是 ． 47．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 48．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，．根据图象回答下列问题： (1)求拋物线的对称轴； (2)写出不等式的解集． 49．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 50．（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 51．（24-25九年级上·重庆长寿·期末）某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； (3)探究与应用： ①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______； ②结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 题型六 待定系数法求二次函数解析式（共5小题） 52．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，平面直角坐标系中四个点：，，，．经过这四个点中的三个点的二次函数，其中a的值最小为（   ） A． B． C． D．1 54．（24-25九年级上·河南郑州·期末）请你写一个图象过点的二次函数： ． 55．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 56．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 题型七 二次函数与实际问题的应用（共17小题） 57．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期末）在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当时，该物体经过的路程为（    ） A．88米 B．68米 C．48米 D．28米 58．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）日渐强大的祖国给了我们安静样和的学习环境．我国某集团军在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．10秒 B．25秒 C．50秒 D．100秒 59．（24-25九年级上·河南郑州·期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（   ） A． B． C． D． 60．（24-25九年级上·天津南开·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（   ） A．m B．2m C．m D．1m 61．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，cm，cm，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（   ） A． B． C． D． 62．（22-23九年级上·广西梧州·期末）一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是： ． 63．（24-25九年级上·河南郑州·期末）从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ． 64．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 m． 65．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶 碰到水柱．（填“能”或“不能”）        66．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 67．（23-24九年级上·全国·期末）如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花．    (1)求这块场地中种植菊花的面积关于B场地的长的函数表达式，并求出此函数与x轴的交点坐标及自变量x的取值范围． (2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？在如图坐标系中画出此函数图象的草图（提示：找三点描出图象即可）．    68．（24-25九年级上·河南开封·期末）掷实心球是中招体育考试素质类选考项目中的一项．体育模拟测试时，小亮同学掷实心球，实心球离地面的高度满足关系式，其中是实心球离手的时间，是实心球被投掷时竖直方向上的速度．已知实心球离手时与抛出时高度一致． (1)求出的值． (2)实心球离手多长时间时，离地面的高度最大，最大高度为多少？ 69．（25-26九年级上·河南安阳·期末）悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 70．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 71．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 72．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 73．（25-26九年级上·河南·期末）综合与实践 【问题背景】 我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？ 【尝试探究】 （1）如图，设围成的矩形花圃为．我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样变化的．请补充完整如表格： 的长（） 的长（） 面积（） 【观察发现】 （2）设的长为，矩形的面积为，我们发现：是的函数． ①请写出与的函数关系式为：_______________（整理成一般形式）； ②自变量的取值范围是：_______________； 【问题解决】 （3）请将与的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值； 【拓展探究】 （4）用总长为米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．当与墙垂直的一边长度为___________时，围成的花圃的面积最大，最大面积为___________． 题型八 二次函数的综合应用（共12小题） 74．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 75．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 76．（24-25九年级上·福建泉州·期末）抛物线的顶点为，点，点为抛物线上的点．若是底角为的等腰三角形，且，则的面积为 ． 77．（24-25九年级上·湖南常德·期末）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点、的线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 ． 78．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 79．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．已知点，若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 80．（23-24九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 81．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 82．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 83．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 84．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标． (3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 85．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出新抛物线表达式及所有符合条件的点的坐标． 题型九 二次函数与一元二次方程（共15小题） 86．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 87．（24-25九年级上·河南新乡·期末）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 88．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 89．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的对称轴为直线，若关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 90．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 91．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 92．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线与轴的交点坐标是 ． 93．（23-24九年级上·天津和平·期末）抛物线与轴交于，两点，则的长为 ． 94．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知二次函数与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为 ． 95．（23-24九年级上·广东茂名·期末）根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解： ．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 96．（24-25九年级上·山东德州·期末）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为 ． 97．（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求函数图像与坐标轴交点坐标． 98．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 99．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线的顶点为D，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，对称轴与x轴正半轴交于点A，． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)点D坐标为，求点C的坐标．（用含n的代数式表示） 100．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． $专题02 二次函数 题型1 二次函数（常考点） 题型6 待定系数法求二次函数解析式（重点） 题型2 二次函数的图象与性质（重点） 题型7 二次函数与实际问题的应用（难点） 题型3 二次函数的最值（重点） 题型8 二次函数的综合应用（难点） 题型4 二次函数图象的平移（重点） 题型9 二次函数与一元二次方程（重点） 题型5 二次函数与不等式（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次函数（共5小题） 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为 ． 【答案】 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 题型二 二次函数的图象与性质（共23小题） 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了一般式中抛物线的对称轴公式，熟知对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式为即可获解． 【详解】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标为，掌握顶点坐标是解答本题的关键． 根据的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 8．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）将二次函数化为的形式，结果为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查二次函数一般式与顶点式的转化，掌握配方法是解题的关键． 由于二次项系数为1，直接使用配方法，加上一次项系数一半的平方，将一般式转化为顶点式． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：D． 9．（24-25九年级上·河北张家口·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质．由解析式 可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 顶点形式为 ，其中，， ∴ 顶点坐标为 ，故B错误； 当时，， ∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确； ∵ ，开口向上， ∴ y 有最小值，最小值为，故D错误． 故选：C． 10．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可． 【详解】解：由函数图象可知，的图象开口更小， 根据系数越大，开口越小， ； 故选：A． 11．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，，三点在同一个函数的图像上，则该函数的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断、函数图象识别 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图像和性质，掌握排除法在选择题中的应用是解题关键．由点和点的坐标可得关于轴对称，排除A、B选项；由点和点的坐标可得当时，随的增大而增大，排除C选项，即可得到答案． 【详解】解：，在同一个函数的图像上， 点和点关于轴对称， A、B选项错误； ，在同一个函数的图像上， 当时，随的增大而增大， C选项错误，D选项正确； 故选：D． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则当时，二次函数对应的函数值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的对称性．通过表格确定二次函数的对称轴，是解题的关键．根据表格可知，和的函数值相等，可以得到抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性，找到表格中与关于对称轴对称的对应的函数值，即为所求． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为：， ∴与的函数值相等， 即：当时，； 故选：B． 14．（24-25九年级上·湖南永州·期末）抛物线的开口方向是向 （填“上”或“下”） ． 【答案】上 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 对于二次函数，当时，二次函数开口向上，当时，二次函数开口向下，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线中， ∴该抛物线开口向上， 故答案为：上． 15．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）用配方法将写成的形式是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了将二次函数的一般式转化为顶点式，熟练掌握配方法，利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得解 【详解】解：． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江西赣州·期末）请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是的抛物线的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为负，对称轴为直线， ∴抛物线解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 17．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ；抛物线，开口 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ．相比之下，抛物线 的开口程度较大． 【答案】 向上 y轴 向上 y轴 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的相关知识．根据二次函数的性质逐一填写即可． 【详解】解：抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴； 抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴． 相比之下，抛物线的开口程度较大． 故答案为：向上，，y轴，向上，，y轴，． 18．（24-25九年级上·青海海西·期末）已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先分别计算出自变量为，3时的函数值，然后比较函数值得大小． 【详解】解：把、分别代入得 ，， 所以． 故答案是：． 19．（24-25九年级上·陕西西安·期末）抛物线经过三点，则的大小关系为 【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x增大而减小，再根据关于对称轴对称的点为，且可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵关于对称轴对称的点为，且， ∴， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·广东·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 21．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③函数的最大值为；④（是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二次函数的图像，开口方向，对称轴，函数的最值，与轴的交点，与轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故结论正确，符合题意； 抛物线的图像开口向下， ， ， ， 抛物线开口向下，与轴交于点，对称轴为， ∴抛物线与轴的交点位于轴的正半轴， ， ，故结论错误，不符合题意； 对称轴为， 当时，y有最大值， 抛物线与轴交于点， ， ， 又， ，即函数的最大值为，故结论正确，符合题意； 当时有最大值， 当时，为， ， ， 又， ， ，即，故结论正确，符合题意， 综上所述，结论正确的为． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 【答案】5 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，可以得到，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且， ， ∴设点C的坐标为， 则点D的坐标为， ， ∴抛物线为， 把点代入，得， 解得：． 故答案为：5． 23．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】二次函数的图象的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：二次函数的表达式为：， 二次函数的图象的开口向上， 对称轴是直线， 顶点坐标． 24．（23-24九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【答案】h的值为8或2 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，顶点坐标为，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∵当时，与其对应的函数的最大值是， ∴在对称轴的同侧． ①当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． ②当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，h的值为8或2． 25．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线开口向下． (1)求m的值； (2)若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 【答案】(1)m的值为 (2) 【知识点】y=ax²的图象和性质、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为抛物线开口向下，得，，即可作答． （2）先得出抛物线的对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，又因为在抛物线上，且，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴，， ∴（舍去）；， ∴m的值为． （2）解：∵抛物线开口向下 ∴抛物线的对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵点在抛物线上，且， ∴ 26．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 27．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）画图象并解决下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的的图象． (2)请结合图象写出3个相关的正确结论． 【答案】(1)画图见解析 (2)结论见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）利用描点法即可解答； （2）根据二次函数的性质，结合图象，写出正确结论即可． 【详解】（1）解：当时，，故图象经过， 当时，，故图象经过， 当时，，故图象经过， 当时，，故图象经过， 当时，，故图象经过， 故根据描点法，图象如下图所示 （2）解：结论：①抛物线的对称轴为直线； ②抛物线与y轴的交点坐标为； ③抛物线与x轴有两个交点； ④当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．（答案不唯一，言之有理即可） 28．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 【答案】(1)①；②； ③；证明见解析 (2) (3) 【知识点】计算多项式乘多项式、求一次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质、坐标与图形综合 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图像与性质，求点的坐标，整式的乘法． （1）①若，抛物线的表达式为：，从而得到，，， 根据待定系数法即可求出直线的解析式； ②求出点E的坐标，根据即可解答； ③根据各点坐标得到，，，即可得到； （2）同（1）思路即可解答； （3）设点，点，由点A、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，表示出，，即可解答． 【详解】（1）解：①若，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； ②对于直线：，当时，， ∴， ∴， 故答案为：； ③，理由如下： ，，，， ，，， ； （2）解：，理由如下： 当时，抛物线的表达式为：， ∴，，， 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴， ，， ∴； （3）解：，理由如下： 设点，点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， ，， 则， ， ， 故答案为： 题型三 二次函数的最值（共6小题） 29．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解题的关键是运用分类讨论思想．首先根据待定系数法得到n与m的关系，再根据二次函数的对称轴位置分情况讨论，求出m的值． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 代入，得，即， 二次函数对称轴为直线， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线，即， 此时在上，y随x的增大而增大， 当时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线满足时，即， 此时二次函数的顶点在范围内，顶点的纵坐标为最小值， 二次函数顶点纵坐标公式为，将代入， 可得， 解得或， ， ； ③对称轴为直线，即， 此时在上y随x的增大而减小， 当时，y有最小值， 令，解得，不符合题意，舍去； 故答案为， 故选：C． 30．（24-25九年级下·山东·期末）已知函数的图象如图所示，若直线与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为（   ） A．2 B．12 C．15 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数和二次函数图像的交点问题，一元二次方程的判别式等知识，结合图象求出的最值是解决该题的关键． 根据题意可知，当直线经过时，直线与该图像有公共点，可得出的最大值是15；当直线与抛物线只有一个交点时，，最小值是2，即可求解． 【详解】解：当直线经过时，， 解得； 当直线与抛物线只有一个交点时， ， 即， ∴ ∴或（舍去）， 的最大值是15，最小值是2，， ∴的最大值与最小值的和为17． 故选：D． 31．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 32．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形中，，点E、F分别在边、上，且，将线段绕点F顺时针旋转90°至线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、全等三角形综合问题、利用平行四边形的判定与性质求解、根据正方形的性质证明 【分析】过点作交于点，连接，过作于，根据四边形是正方形，将线段绕点顺时针旋转至线段，可得，，又，即可证明，得，四边形是平行四边形，故，设，可得，由二次函数性质可得答案． 【详解】解：过点作交于点，连接，过作于，如图： 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 将线段绕点顺时针旋转至线段， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ， 当时，最小为， 最小为， 故答案为：． 33．（24-25九年级上·北京东城·期末）已知二次函数. (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，的取值范围是 . 【答案】(1) (2) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后利用的性质即可得解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴二次函数的图象的顶点坐标为； （2）解：且对称轴在的范围内， 当时函数值有最大值，最大值为， 当时函数值有最小值，最小值为， ∴函数值的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 34．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． (1)当时，求该二次函数的最值． (2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)最小值为； (2)小滨的想法正确．理由见解析． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，，从而根据二次函数的性质求解即可； （2）依据题意，由，从而当时，y取最小值为，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ∴当时，y取最小值为； （2）解：小滨的想法正确．理由如下： 由题意，， ∴当时，y取最小值为． ∵， ∴当时，有最大值0， ∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0． 故小滨的想法正确． 题型四 二次函数图象的平移（共6小题） 35．（25-26九年级上·河南安阳·期末）下列可以由抛物线平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据平移不改变函数开口方向及大小判断即可． 【详解】解：A.，开口方向改变，无法由平移得到； B.，开口大小改变，无法由平移得到； C.，二次函数无法由平移得到一次函数； D.，开口方向及大小均未改变，可以由抛物线平移得到； 故选：D. 36．（24-25九年级上·北京海淀·期末）将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键； 根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 【详解】∵将抛物线向下平移1个单位， ∴所得新抛物线的解析式为：． 故选：A． 37．（24-25九年级上·山东德州·期末）抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线的关系式为：，即， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·河南周口·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先确定原二次函数的顶点坐标，再根据平移规律求出平移后的顶点坐标． 【详解】解：原二次函数的顶点坐标为． 根据平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移个单位长度，横坐标变为；再向下平移个单位长度，纵坐标变为． 所以新抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 39．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出平移后的二次函数解析式，然后将点代入，得出关于的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：二次函数的解析式为， 将该二次函数图象向上平移个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得：． 40．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线过点，顶点为．抛物线． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出，从而得出抛物线的解析式，再化为顶点式即可得解； （2）求出平移后的坐标为，再求出当时，的值，即可得证． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线， ∴； （2）证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在抛物线上． 题型五 二次函数与不等式 （共11小题） 41．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 42．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 43．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，，即， 故选：D． 44．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．也考查了数形结合的思想．依据题意，由抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，以及抛物线的对称轴是直线，且图象与x轴交于，再结合二次函数的性质逐个判断可以得解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴． ∴，故①正确． ∵抛物线的对称轴是直线，且图象与x轴交于， ∴图象与x轴的另一个交点为． ∴当时，，故②正确． ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∴． ∴，故③错误． ∵抛物线与y轴的交点坐标为， 而点关于直线的对称点为， ∴当时，，故④正确． 综上，正确的有：①②④共3个． 故选：B． 45．（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 46．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知点和点都在抛物线上． （1）若，则 ； （2）若，则k的取值范围是 ． 【答案】 或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了二次函数的性质．（1）先求得抛物线的对称轴为直线，由，得到，据此求解即可；（2）由，求得；由，得到，求得或，据此求解即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴， 解得， 故答案为：； （2）当时， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 整理得，即， ∴或， 解得或， 综上或． 故答案为：或． 47．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 48．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，．根据图象回答下列问题： (1)求拋物线的对称轴； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识，解题的关键是： （1）根据对称轴公式求解即可； （2）根据对称轴可求出当时，；当时，，然后数形结合求解即可． 【详解】（1）解：   抛物线对称轴为直线； （2）解：对称轴为直线 ， 当时，；当时， 的解集为或 49．（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线； (2)或． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、图象法解一元二次不等式 【分析】（）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）利用对称性求出抛物线与轴的另外一个交点坐标，再观察函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与不等式，运用配方法把二次函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为， 观察函数图象知，当时，的取值范围为或． 50．（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）先求出二次函数的解析式为，再配方求顶点坐标即可； （2）由可得，得到抛物线的解析式为，对称轴为，当根据时， 和都在右侧， 当时， 在对称轴左侧，在对称轴右侧，最后利用增减性求解即可； （3）设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】（1）解：若，，则二次函数的解析式为， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为，与轴交点为，， 当时，开口向上，时随的增大而增大， ∵，在抛物线上， ∴， ∴和都在右侧， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 当时，开口向下，时随的增大而减小， ∴， ∴在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵关于对称轴的对称点为， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，或； （3）解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 51．（24-25九年级上·重庆长寿·期末）某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； (3)探究与应用： ①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______； ②结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）直接将代入函数解析式中求解即可； （2）根据表格数据描点、连线即可画出函数另一部分图象； （3）①根据函数图象与x轴的交点个数以及最小值，得到函数的图象与直线有4个交点时的取值范围可得答案； ②在同一直角坐标系中画直线，根据图象，求得函数的图象位于直线的下方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 故答案为：； （2）解：描点、连线，如图： （3）解：①由图象知，函数有最小值，且与x轴有3个交点， ∴当函数的图象与直线有4个交点时，， 则方程有4个实数根时，的取值范围是； 故答案为：； ②当时，由得或， 直线与函数有两个交点和， 同一直角坐标系中画直线，如图， 由图可知，当时，由得或， 直线与函数有两个交点和， 故当或时，函数的图象位于直线的下方， ∴不等式的解集是或． 题型六 待定系数法求二次函数解析式（共5小题） 52．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故选：D． 53．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，平面直角坐标系中四个点：，，，．经过这四个点中的三个点的二次函数，其中a的值最小为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意得到当时，开口小的那个最小，再利用待定系数法求出答案即可． 【详解】解：∵a的值最小， ∴抛物线开口向下， 又∵越大，开口越小， ∴当时，开口小的那个最小， 由图可知，过点的三点的二次函数的最小， 把，，代入得到 解得，， 故选：B 54．（24-25九年级上·河南郑州·期末）请你写一个图象过点的二次函数： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，设二次函数为，代入点即可求解． 【详解】解：设二次函数为， 代入点得， ∴过点的二次函数可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 55．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设平移后新抛物线的解析式为，将和代入求出、，即可求解． 【详解】解：设平移后新抛物线的解析式为， 将和代入得： ， 解得：， 平移后新抛物线的解析式是， 故答案为：． 56．（24-25九年级上·四川泸州·期末） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求二次函数解析式； (2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式． （1）把，代入，解方程组求出b，c的值； （2）由（1）得出抛物线解析式为，设点P坐标为，根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得； 二次函数解析式为； （2）解：由（1）知，二次函数解析式为， 设点P坐标为， 的面积为6，， ∴， ∴， 即或， 解得：或， ∴或． 题型七 二次函数与实际问题的应用（共17小题） 57．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期末）在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当时，该物体经过的路程为（    ） A．88米 B．68米 C．48米 D．28米 【答案】A 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，直接把代入对应的函数解析式中求出对应的路程即可． 【详解】解：当时，路程米． 故选：A． 58．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）日渐强大的祖国给了我们安静样和的学习环境．我国某集团军在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y（米）与飞行时间x（秒）之间的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．10秒 B．25秒 C．50秒 D．100秒 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，正确代入数据进行计算是解题关键． 令，代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：令， 则， 解得：，， 一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为50秒， 故选：C． 59．（24-25九年级上·河南郑州·期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选B． 60．（24-25九年级上·天津南开·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（   ） A．m B．2m C．m D．1m 【答案】A 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，把代入，求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入抛物线解析式得：， ∴， ∴， ∴当时，， 即：水管的长为m； 故选A． 61．（24-25九年级上·全国·期末）如图，中，，cm，cm，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、图形运动问题(实际问题与二次函数)、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理．需要根据点的不同位置分情况讨论的面积与时间的函数关系．先求出不同时间段内的长度，再通过相似三角形等知识求出相应的高，进而得到面积表达式，最后根据函数表达式判断函数图象。分两种情况讨论：当时，点在上，过作交于点，当时，点在上，两种情况求出函数解析式即可求解； 【详解】解：①当时，点在上， ∴，， 过作交于点， ∵中，，，， ∴， ∵，， 又∵ ∴， ∴，即 ∴， ， 此时 是关于的二次函数，且二次项系数，图象开口向上； ②当时，点在上，如图， ， 此时是关于的二次函数，二次项系数，图象开口向下，对称轴为 综上所述，正确的图象是C． 故选：C． 62．（22-23九年级上·广西梧州·期末）一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是： ． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数表达式，解题的关键是找到相应的等量关系． 根据正方形的面积公式列出函数表达式即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 63．（24-25九年级上·河南郑州·期末）从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ． 【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，可令h=25，则，求出后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴令，则． ∴或． ∴小球高于地面的时长为 故答案为：． 64．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 m． 【答案】/ 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 根据题意，运用待定系数法，建立适当的平面直角坐标系，求得函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为轴，左边树为轴建立平面直角坐标系， 由题意可得，， 设函数解析式为 把、、三点分别代入得： 解得． ． 当时，米． 故答案为：． 65．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶 碰到水柱．（填“能”或“不能”）        【答案】不能 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 根据顶点，得出抛物线的表达式，令，求得的值，与比较即可求解． 【详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系， 则抛物线的解析式为， 令，则， 故她的头顶不能碰到水柱． 故答案为：不能． 66．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 【答案】/ 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 67．（23-24九年级上·全国·期末）如图，一块矩形场地的长为，宽为．现将这块地划分成四块，分别种植：A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花．    (1)求这块场地中种植菊花的面积关于B场地的长的函数表达式，并求出此函数与x轴的交点坐标及自变量x的取值范围． (2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？在如图坐标系中画出此函数图象的草图（提示：找三点描出图象即可）．    【答案】(1)；和； (2)当时，种植菊花的面积最大，最大面积为；图见解析 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， （1）根据题意可得场地的宽度为：，从而列出，化简即可得到函数关系式，令当，即可得到交点坐标；从而得到自变量x的取值范围． （2）将一般式转化成顶点式，利用二次函数的性质可得当时，种植菊花的面积最大，最大面积为，再利用三点画图法即可得到函数图象． 【详解】（1）解：由题可得：场地的宽度为：， ∴， 当时，即， 解得：，， ∴函数与x轴的交点坐标为：和，自变量的取值范围为：． （2）解：由（1）知， ， ∴当时，种植菊花的面积最大，最大面积为， 函数图象如下图：    68．（24-25九年级上·河南开封·期末）掷实心球是中招体育考试素质类选考项目中的一项．体育模拟测试时，小亮同学掷实心球，实心球离地面的高度满足关系式，其中是实心球离手的时间，是实心球被投掷时竖直方向上的速度．已知实心球离手时与抛出时高度一致． (1)求出的值． (2)实心球离手多长时间时，离地面的高度最大，最大高度为多少？ 【答案】(1) (2)实心球离手时，离地面的高度最大，最大高度为 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据实心球离手时与抛出时高度一致，得到和时的函数值相同，进而得到对称轴为直线，利用对称轴公式求出的值即可； （2）求出时的函数值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵已知实心球离手时与抛出时高度一致， ∴和时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， 解得：； （2）由（1）可知：， ∴当时，的值最大为； 答：实心球离手时，离地面的高度最大，最大高度为． 69．（25-26九年级上·河南安阳·期末）悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【答案】(1) (2)28米 (3)3.8米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键． （1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式； （2）结合（1），当时，求出x的值即可得解． （3）依据题意，由桥长70米，每两根悬吊钢缆间的距离是 (米)，再结合（1），当时求出y的值即可； 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数的解析式为； （2）解：由题意得， 当时，， 解得或， ∴之间的水平距离为米；． （3）解：若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，则每两根悬吊钢缆距离为（米）， 即离桥头最近的悬吊钢缆位置距桥头为米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的悬吊钢缆的长度为米． 70．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)该函数为二次函数，； (2)小龙滑完整个赛道需要耗时10秒 (3)能，此时小游的滑雪时间为 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、画y=ax²+bx+c的图象、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了描点法画函数图象，二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据图象判断函数类型，再根据待定系数法求解； （2）根据列方程求解； （3）根据题意列方程求解． 【详解】（1）图象如下：由图象得该函数为二次函数，设， 把代入得：， 解得：， ； （2）当时，， 解得：或不合题意，舍去， 答：小龙滑完整个赛道需要耗时10分钟； （3）当时， 解得：或不合题意，舍去， ∵， 小游能追上小龙，此时小游的滑雪时间为 71．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 72．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】(1)； (2)野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）代入计算出函数值，比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知，当和时，， ∴对称轴为直线， 由表格知，抛物线经过， 设野兔某次跳跃的抛物线为， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∵， ∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 73．（25-26九年级上·河南·期末）综合与实践 【问题背景】 我们在初学二次函数时，遇到这样一个问题：用总长为的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．怎样围才能使花圃的面积最大？ 【尝试探究】 （1）如图，设围成的矩形花圃为．我们先列举一些不同的围法，观察矩形花圃的面积是怎样变化的．请补充完整如表格： 的长（） 的长（） 面积（） 【观察发现】 （2）设的长为，矩形的面积为，我们发现：是的函数． ①请写出与的函数关系式为：_______________（整理成一般形式）； ②自变量的取值范围是：_______________； 【问题解决】 （3）请将与的函数关系式配成顶点式，求出矩形面积的最大值； 【拓展探究】 （4）用总长为米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃．当与墙垂直的一边长度为___________时，围成的花圃的面积最大，最大面积为___________． 【答案】（1）表格见详解；（2）①；②；（3），最大值为；（4）． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用、解题的关键是明确题意，建立二次函数模型再利用二次函数的性质． （1）根据矩形的面积公式解析计算完成填表即可求解； （2）①根据矩形的面积公式可以得到y与x的函数关系式 ②根据矩形即可求出自变量的取值范围； （3）根据题意化为顶点式，根据二次函数的性质求得最大值； （4）根据（2）的方法列出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）列表如下， 的长（） 的长（） 面积（） 42 （2）①； 故答案为： ②∵， ∴， 故答案为：． （3）， ∵， ∴当时，最大值为； （4）设与墙垂直的一边长度为，围成的花圃的面积为， 依题意，， ∴当时，最大值为； 故答案为：． 题型八 二次函数的综合应用（共12小题） 74．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与几何综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 75．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，求出直线的解析式，求出抛物线与线段只有一个交点时的值，以及求抛物线过点时的的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点坐标为点坐标为． 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴， 如图所示，当抛物线在线段上方，且与只有1个交点时， 联立 ∴，即 ∴ 解得：， 当抛物线经过点时， 解得：； ∴当抛物线与线段有两个公共点时，． 故选C． 76．（24-25九年级上·福建泉州·期末）抛物线的顶点为，点，点为抛物线上的点．若是底角为的等腰三角形，且，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解直角三角函数，求得点的坐标是解题的关键．设抛物线的对称轴为轴，则抛物线为，，设，则，解直角三角形求得即可求得把的坐标代入求得的值，从而把求得和，利用三角形面积公式求得即可． 【详解】解：设抛物线的对称轴为轴，则， ， 设，则，如图，   是底角为的等腰三角形， , 即 把的坐标代入得， 解得，舍去， ，， 的面积为：． 故答案为：． 77．（24-25九年级上·湖南常德·期末）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点、的线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查“友好点”的新定义，函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键．设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“友好该二次函数”的解析式为，确定，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【详解】解：设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上运动， 设直线与“友好二次函数”交于点， 当时，， ∴， ∵二次函数的顶点为， ∵， ∴当点的坐标为时，此时点、与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即； 当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即； ∴当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 故答案为：或． 78．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，根据抛物线经过点A、B，求出A、B点坐标，长，由勾股定理得出长，得点D的坐标，从而可以求得点C的坐标． 【详解】解：对于 ，令，得， 解得，， ∴, ∴ ∵四边形是菱形， ∴;; ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 79．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．已知点，若线段与抛物线只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示： 在上， 令， ∵， ∴或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ， 故答案为：． 80．（23-24九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 【答案】(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法、翻折、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 81．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标； （2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2）为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 82．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y (2)，的最小值为3 (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）作轴于E，交于F，先直线的解析式为，设，，则，利用二次函数的性质可求得，作轴，作于G，作于H，利用平行线的性质和锐角三角函数可得到，进而由可求解； （3）作轴于W，先根据题意和图象的平移规则得到平移后的抛物线解析式为，设，证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求得x值，进而可求得Q的坐标． 【详解】（1）解：（1）当时，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：y； （2）解：如图1，作轴于E，交于F， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴，设，则 ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴， 作轴，作于G，作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为3； （3）解：如图2，作轴于W， 由题意，抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位后， 则平移后的抛物线解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去），，（舍去）， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数图象的平移，二次函数与图形面积，线段和的最小值问题，角度问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 83．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 84．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标． (3)在（）的条件下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)当的面积最大时，点的坐标为； (3)或或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）求出抛物线与两坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求得直线表达式； （）过点作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，　，由，利用二次函数的性质即可求得点的坐标； （）设点的坐标，分三种情况考虑：为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；利用平行四边形性质即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，则， 解得，， ∵点在点的右侧， ∴，， 令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得 ， ∴直线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， 当时，， ∴当的面积最大时，点的坐标为； （3）解：点的坐标为或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴点的横坐标为， 由（）知，由（）知点的横坐标为， 设点的坐标为， 分三种情况： 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∵， 解得， ∴点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的性质，中点坐标公式，待定系数法求函数解析式，割补法求图形的面积等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 85．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出新抛物线表达式及所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，则此时最小，即可求解； （3），则，则直线的表达式为：，即可求解；当点在上方时，同理可解． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， ， ， ， 即点， 由题意得， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点、、的坐标分别为：、、，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 当时，取得最大值，则点、，则， 将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接， 则四边形为平行四边形，则， 则此时为最小； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移，当向左平移个单位时，则向下平移了个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则新抛物线的表达式为：， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当点在下方时， ，则， 则直线和表达式中的值相同， 而过点， 则直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当点在上方时， 同理可得，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 综上，点的坐标为：或． 题型九 二次函数与一元二次方程（共15小题） 86．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标是． 故选：D． 87．（24-25九年级上·河南新乡·期末）若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数和一次函数和x轴交点问题，根据题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与x轴只有一个交点，可得，从而解出a值；②函数为一次函数，此时，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 88．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ，，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得的值，比较大小即可． 【详解】解：∵点 ，，在抛物线上， ∴ ∴ 故选C 89．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的对称轴为直线，若关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由对称轴可得，得到二次函数，顶点坐标为，可得当时，；当时，，进而由方程（为实数）在的范围内有实数解，可得的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即可求解，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数，顶点坐标为， 当时，；当时，， ∵关于的方程（为实数）在的范围内有实数解， ∴的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即， 故选：． 90．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则方程的解为，，由于关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程，所以或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：由二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为， 即抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 即方程的解为，， ∵关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得，， 即关于的一元二次方程的解为，， 故选：D． 91．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 92．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求出时，的值即可得到抛物线与轴的交点坐标，根据轴上点的横坐标为求出交点的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 93．（23-24九年级上·天津和平·期末）抛物线与轴交于，两点，则的长为 ． 【答案】7 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程中的抛物线与轴交点的知识，掌握以上知识，是解答本题的关键； 本题先把代入，求得，在求得，然后即可求解； 【详解】解：把代入， 解得：， ∴， ∴令，解得：，， ∴， ∵， ∴的长为， 故答案为：7； 94．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知二次函数与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为 ． 【答案】4 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，理解题意得，故，即可列式得出A、B两点之间的距离． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于A、B两点， ∴令，则 解得： 即A、B两点之间的距离为， 故答案为：4 95．（23-24九年级上·广东茂名·期末）根据下面的表格请你写出方程（为常数）的一个近似解： ．（精确到0.1） 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.0725 0.19 1 【答案】 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系．根据在与之间可得方程有一个解的取值范围为，由此即可得． 【详解】解：由表可知，在与之间， 方程有一个解的取值范围为， ， 故答案为：． 96．（24-25九年级上·山东德州·期末）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点问题．令，（表示与轴平行的直线）结合二次函数的图象即可求解． 【详解】解：有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， 令，（表示与轴平行的直线）， 与有两个交点， ， ， 是整数， 整数的最小值为2 故答案为：2． 97．（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求函数图像与坐标轴交点坐标． 【答案】(1) (2)函数图像与x轴交点坐标为，，与y轴的交点坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将点代入求出，即得答案； （2）令，得，求解方程得，，即得函数图像与x轴交点坐标，令，则，图像与y轴的交点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将点代入中，得， 解得， 函数解析式解析式为； （2）解：令，则， 得，， 函数图像与x轴交点坐标为，； 令，则， 函数图像与y轴的交点坐标为． 98．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、利用二次根式的性质化简、求x轴与抛物线的截线长 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点等知识点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点求解方法． （1）将点代入即可求解． （2）联立和，结合，解出，即可解答． （3）分别求出，结合即可证明． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：． （2）解：由题意得， ， ， ∴解得：． 当时，， 与的交点坐标为． （3）证明：当时，， 解得：， ； 当时，，解得：， ， ， ， 即， ， 则有：， ， ． 99．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线的顶点为D，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，对称轴与x轴正半轴交于点A，． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)点D坐标为，求点C的坐标．（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据，点B在x轴的负半轴，可以得到点B的坐标和顶点的横坐标，然后代入函数解析式，即可得到b、c的值，从而可以写出二次函数的表达式； （2）根据点D坐标为，．可以得到点A和点B的坐标，从而可以得到c与n的关系，然后即可写出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵，点B在x轴的负半轴， ∴点B的坐标为，点D的横坐标为1， ∴， 解得， 即二次函数的表达式为； （2）解：点D坐标为，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 解得， ∴点C的坐标为． 100．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 【答案】(1)；， (2) (3)或 (4)或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）利用的图象过点，，结合二次函数图象的对称性即可求出抛物线的对称轴，方程的解即为与直线的交点的横坐标，即可求解； （2）抛物线在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大，利用对称性求出点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为，利用函数增减性结合图象即可求解； （3）先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论； （4）先求出和对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，，其中，， ∴抛物线的对称轴为直线，与直线的交点为，， ∴方程的解为，， 故答案为：；，； （2）解：由图可知，又因为抛物线的对称轴为直线， ∴在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大， ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为， 又∵， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：由图可知当时，或， 由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． （4）解：由上知，当时，对应的自变量的值为或；当时，对应的自变量的值为或， 由图可知当时，对应的x的取值范围为或． 故答案为：或. $