九年级数学上学期期中分层模拟·巩固培优卷（新教材青岛版九上全册：一元二次方程+图形的相似+锐角三角函数+圆）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ． 2．若关于x的方程的两根为1和，则b，c的值分别为（    ） A．1， B．， C．3，2 D．，2 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，代入两根计算b与c的值． 【详解】解：∵方程的两根为和， ∴由根与系数的关系得，， ∴，． 3．如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用相似多边形的性质得到，，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 4．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，，在中可求出． 【详解】解：设， 在中，， ， ， 在中，， 解得． 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（     ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 由得，即， 由得， ∴． 7．如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行且相等的性质证明，结合中点定义得出相似比，进而推导线段与的数量关系． 【详解】解： 四边形是矩形， ，， ， ， 点是边的中点， ， ， ，即， ， ， ∴． 8．某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 9．如图，已知的直径为10，锐角内接于，于点D，，则的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过B作的直径，连接，则有，，由同角的余角相等得出，过O作于点E，则，求出，再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：过B作的直径，连接， 又， 则有，， ∴，， ． 过O作于点E， 在中，，． 由勾股定理得， ． ． 10．如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用平行四边形对边平行的性质判定，求出线段比判断①；根据两边对应成比例且夹角相等判断②；利用相似三角形周长比等于相似比判断③；通过面积比例关系计算判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 在和中，， ∵，， ∴， ∴与不相似，故②错误； ∵，且相似比为， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即为中点， 设，则， ∴， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④，共2个． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 12．如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， ，整理得， ． ，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，， 将结果代入所求式子得：． 13．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 14．如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 【答案】2.4 【分析】设正方形的边长为，证明，，求出的长，作差即可. 【详解】解：设正方形的边长为． 四边形是正方形， ， ， ． ，，正方形的边长为， ， 解得， ． 又由得， ， 即， 解得， ． 15．如图，四边形内接于，为直径，、交于点，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．若，点到的距离为2，则_________． 【答案】4 【分析】连接，作于点H，由为直径及点是的中点，结合长度求出直径及半径；利用点到的距离及中位线性质求出长，进而求出长；通过证明，利用相似比建立方程求解即可． 【详解】解：连接，作于点H， ∵为直径， ， ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ∵，则， ， 点为中点， 为中位线， ， 在中，， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】代入特殊角的三角函数值，进行混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，． 18．（7分）如图，在8×11网格图中，与是位似图形. (1)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（-1，6），点的坐标为（2，3），则点B的坐标为___________； (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：2； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为___________，计算四边形ABCP的周长为___________． 【答案】(1) (2)如图，为所作； (3)如图，点P为所作，， 【分析】（1）利用点A和的坐标画出直角坐标系，然后写出B点坐标； （2）利用网格特点，根据位似的性质取AB的中点和AC的中点，则和位似，且位似比为 1：2； （3）连接、、，它们相交于点P，再写出P点坐标，然后利用勾股定理计算AB、BC、PC和AP的长，从而可得到四边形ABCP的周长． 【详解】（1）解：如图，点B的坐标为（−5，2）； 故答案为：； （2）略 （3）如图，点P为所作，P点坐标为（1，2）， ，， ，， 所以四边形ABCP的周长． 故答案为：（1，2），． 【点睛】本题考查了作图−位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 19．（10分）已知：如图，是的直径，是上一点，，垂足为点，是的中点，连接并延长与交于点，，． (1)求的半径； (2)求的值． 【答案】(1)的半径为5； (2)． 【分析】本题考查的是圆周角定理，涉及到垂径定理，勾股定理及解直角三角形，熟知以上知识是解题的关键． （1）设，则，，由垂径定理可知，在中利用勾股定理求出的值即可； （2）根据可知，再由可知，故可得出，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：，， 设，则，， 是的中点 且， 在中，， ， 解得， 的半径为5； （2）解：， ， ， ， ， ． 20．（8分）阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， (1)已知方程的两根分别为，，求的值； (2)关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用根和系数的关系求出、的值，再利用完全平方公式和积的乘方的逆运算对代数式进行变形，最后把所得的值代入计算即可求解； （）利用根和系数的关系和相反数的定义求出的值，再代入方程进行检验即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． （2）解：设方程的两根分别为，， ∵方程的两个实数根互为相反数， ∴， ∴， 当时，方程为，方程无解，故不合，舍去； 当时，方程为，方程有解，符合题意； ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，相反数的定义，完全平方公式的变形运算，代数式求值，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 21．（10分）如图，在中，，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点方向运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点方向运动，点到达点后，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)求点停止运动时，的长． (2)在，两点运动过程中，是点关于直线的对称点，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）勾股定理求出的长，进而求出点运动到点时所用的时间，求出的长，再利用勾股定理进行求解即可； （2）根据菱形性质得到相关线段关系 ，再利用相似三角形的性质列方程求解. 【详解】（1）解：在中， ，，， ， ∴点运动到点时，， ，， 在中，； （2）解：存在；连接交于点， ∵是点关于直线的对称点， ∴， ∴当时，四边形是菱形， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ． ∴当时，四边形是菱形． 22．（11分）海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔杆顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据） (1)填空： °， 米； (2)求塔杆的长度； (3)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1) (2)塔杆的长度是90米 (3)风叶的长为59米 【分析】（1）由题意可知答案； （2）在中，利用和，计算即可； （3）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用x表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【详解】（1）解：由题意可知：米； （2）根据题意，可知， ， 米， 塔杆的长度是90米； （3）如下图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为米， ， 四边形为矩形， 米， ， ， ， ， ， 解得：， 风叶的长为59米． 23．（13分）如图，为的直径，与切于点，连接，交于点，． (1)如图1，求的正切值； (2)如图2，为的切线，为切点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接、，，，求的长． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵为的切线，为切点， ∴ ∵是的切线， ∴，即 在和中 又∵， ∴ ∴，即 在中有 ∴ ∴ (3) 【分析】(1) 由，设，，，由勾股定理得，再由正切的定义求解即可； (2) 连接，由得，再得，即，再由同弧的圆周角等于圆心角的一半得，最后由同位角相等得两直线平行； (3) 由，得，的长度；过点作于，求出；连接交于点，连接，得垂直平分；由为的中位线，得；设，由勾股定理建立方程，解方程得的长即可 . 【详解】（1） 解：设，则，， ， ∵是的切线， ∴，即 ∵在中，有 ∴ ∴； （2）略； （3）∵、为的切线， ∴， 由（1）知，即，解得， ∴，； 过点作于，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 连接交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分，即，， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，有勾股定理， 代入得：， 展开得：， 整理得：， ， 解得． 即的长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C B D C B A D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11． 12．8 13．28.2 14． 15.4 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分） 【详解】（1）解： ； ----------------------------4分 （2）解： ． ----------------------------8分 17．（8分） 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； ----------------------------4分 （2）解：， ， ， ，． ----------------------------8分 18．（7分）如图，在8×11网格图中，与是位似图形. (1)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（-1，6），点的坐标为（2，3），则点B的坐标为___________； (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：2； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为___________，计算四边形ABCP的周长为___________． 【详解】（1）解：如图，点B的坐标为（−5，2）； 故答案为：； ----------------------------1分 （2）为所作 ----------------------------3分 （3）如图，点P为所作，P点坐标为（1，2），----------------------------4分 ，， ，， 所以四边形ABCP的周长．----------------------------7分 故答案为：（1，2），． 19．（10分） 【详解】（1）解：，， 设，则，， 是的中点 且， 在中，， ， 解得， 的半径为5； ----------------------------5分 （2）解：， ， ， ， ， ．----------------------------10分 20．（8分） 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴．----------------------------4分 （2）解：设方程的两根分别为，， ∵方程的两个实数根互为相反数， ∴， ∴， 当时，方程为，方程无解，故不合，舍去； 当时，方程为，方程有解，符合题意； ∴． ----------------------------8分 【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，相反数的定义，完全平方公式的变形运算，代数式求值，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 21．（10分） 【详解】（1）解：在中， ，，， ， ∴点运动到点时，， ，， 在中，； ----------------------------4分 （2）解：存在；连接交于点， ∵是点关于直线的对称点， ∴， ∴当时，四边形是菱形， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ． ∴当时，四边形是菱形． ----------------------------10分 22．（11分） 【详解】（1）解：由题意可知：米；----------------------------2分 （2）根据题意，可知， ， 米， 塔杆的长度是90米； ----------------------------5分 （3）如下图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为米， ， 四边形为矩形， 米， ， ， ， ， ， 解得：， 风叶的长为59米． ----------------------------11分 23．（13分） 【详解】（1） 解：设，则，， ， ∵是的切线， ∴，即 ∵在中，有 ∴ ∴； ----------------------------4分 (2)证明：如图，连接， ∵为的切线，为切点， ∴ ∵是的切线， ∴，即 在和中 又∵， ∴ ∴，即 在中有 ∴ ∴ ----------------------------9分 （3）∵、为的切线， ∴， 由（1）知，即，解得， ∴，； 过点作于，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 连接交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分，即，， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，有勾股定理， 代入得：， 展开得：， 整理得：， ， 解得． 即的长为． ----------------------------13分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材青岛版九年级数学上册第全章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程的两根为1和，则b，c的值分别为（    ） A．1， B．， C．3，2 D．，2 3．如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 5．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（     ） A． B．3 C． D．不能确定 7．如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知的直径为10，锐角内接于，于点D，，则的值等于（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 12．如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 13．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 14．如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 15．如图，四边形内接于，为直径，、交于点，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．若，点到的距离为2，则_________． 2、 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）求下列各式的值： (1)； (2)． 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（7分）如图，在8×11网格图中，与是位似图形. (1)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（-1，6），点的坐标为（2，3），则点B的坐标为___________； (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：2； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为___________，计算四边形ABCP的周长为___________． 19．（10分）已知：如图，是的直径，是上一点，，垂足为点，是的中点，连接并延长与交于点，，． (1)求的半径； (2)求的值． 20．（8分）阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， (1)已知方程的两根分别为，，求的值； (2)关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 21．（10分）如图，在中，，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点方向运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点方向运动，点到达点后，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)求点停止运动时，的长． (2)在，两点运动过程中，是点关于直线的对称点，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 22．（11分）海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔杆顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据） (1)填空： °， 米； (2)求塔杆的长度； (3)求风叶的长度．（精确到1米） 23．（13分）如图，为的直径，与切于点，连接，交于点，． (1)如图1，求的正切值； (2)如图2，为的切线，为切点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接、，，，求的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材青岛版九年级数学上册全章。 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1．在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程的两根为1和，则b，c的值分别为（    ） A．1， B．， C．3，2 D．，2 3．如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 5．如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（     ） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（     ） A． B．3 C． D．不能确定 7．如图，在矩形中，点E是边的中点，连接交对角线于点F，则 （     ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知的直径为10，锐角内接于，于点D，，则的值等于（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 12．如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 13．如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 14．如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是__________． 15．如图，四边形内接于，为直径，、交于点，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．若，点到的距离为2，则_________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）求下列各式的值： (1)； (2)． 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（7分）如图，在8×11网格图中，与是位似图形. (1)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（-1，6），点的坐标为（2，3），则点B的坐标为___________； (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：2； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为___________，计算四边形ABCP的周长为___________． 19．（10分）已知：如图，是的直径，是上一点，，垂足为点，是的中点，连接并延长与交于点，，． (1)求的半径； (2)求的值． 20．（8分）阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， (1)已知方程的两根分别为，，求的值； (2)关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 21．（10分）如图，在中，，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点方向运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点方向运动，点到达点后，点也停止运动，设点，运动的时间为． (1)求点停止运动时，的长． (2)在，两点运动过程中，是点关于直线的对称点，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 22．（11分）海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔杆顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据） (1)填空： °， 米； (2)求塔杆的长度； (3)求风叶的长度．（精确到1米） 23．（13分）如图，为的直径，与切于点，连接，交于点，． (1)如图1，求的正切值； (2)如图2，为的切线，为切点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，连接、，，，求的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $