15.3.2等边三角形(第一课时 等边三角形的性质与判定)（导学案）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.3.2等边三角形（第一课时等边三角形的性质与判定）（导学案） 【学习目标】 1.理解等边三角形的定义：掌握等边三角形的性质：并能用符号语言规范表述。 2.掌握等边三角形的三种判定方法，能正确、完整地写出证明过程。 3.能运用等边三角形的性质与判定进行角的计算、线段相等的证明，并能结合全等三角形解决简单 的综合问题。 【学习重点】 等边三角形的性质（三个角都等于60°、每条边上的“三线合一”、三条对称轴）与三种判定方法， 以及它们在角的计算、线段相等证明中的初步应用；能规范、有条理地书写几何证明过程。 【学习难点】 1.性质与判定的区别与灵活选用：能从“已知什么、要证什么”出发，判断该用性质还是判定，避 免混用。 2.“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定中前提条件的把握（顶角或底角为60° 均可)，以及“有一个角是60°的三角形”不是判定的辨析。 3.在组合图形中挖掘隐含条件（平行线、公共边、共顶点且夹角为60°），通过构造全等三角形或 等边三角形完成证明，即辅助线的添加与解题思路的形成。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 图形 定义 性质 判定 【课堂探究】 导入新课 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一般三角形 等腰三角形 等边三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等 的三角形叫作等边三角形 新知讲解 图形 定义 性质 判定 探究一、性质 猜想： 已知：△ABC是等边三角形 求证：∠A=∠B=∠C=60° 等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 符号语言 2/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 探究三线合一 B 1.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的 周长是cm. 2.在等边△ABC中，BD平分∠ABC,BD=BF,则∠CDF的度数是 3.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是 A B 探究二、判定 猜想： 已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C. 求证：△ABC是等边三角形 B 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 等边三角形的判定1： 三个角都相等的三角形是等边三角形 符号语言 已知：在△ABC中，AB=AC,∠A=60°. 求证：△ABC是等边三角形 等边三角形的判定2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 符号语言 辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形 60 (3 5 (6) 典例分析 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例1.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC,延长BC到E,使得CE=CD.求证： BD=DE. A D B 例2.如图，点M,N分别在等边三角形ABC的BC,CA边上，且BM=CN,AM,BN交于点Q. (1)求证：AM=BN: (2)求∠BQM的度数. 4 B M C 例3.如图，在等边三角形ABC中，DE‖BC,求证：△ADE是等边三角形 A D C 例4.如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D,E,F,使AD=BE=CF,求证：△DEF 为等边三角形. 518 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 变式训练 1.如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD,BP=BC,∠DBP=∠DBC.求∠P的度数. D B 2.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问 △APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论. A 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB, ∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F.求证： (I)△ABD是等边三角形： (2)BE=AF. 【课堂总结】 定义◆三边都相等 三个角相等，分别为60° 性质每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” 等边三角形 轴对称图形，三条对称轴 三边都相等 判定K 三个角都相等 有一个角是60°的等腰三角形 【课堂练习】 1.如图在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= 2.如图，直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为 3.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC,DE/AB,AD=3,CE=5,则AC的 长为 7/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A b E 2 C D 4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD,E 是AB的中点，连接CE并延长交AD于F.求证：△AEF≌△BEC. F A 5.如图，△ABC为等边三角形，∠1=∠2，BD=CE,求证：△ADE是等边三角形 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 8/8函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.3.2等边三角形（第一课时等边三角形的性质与判定）（导学案） 【学习目标】 1.理解等边三角形的定义：掌握等边三角形的性质：并能用符号语言规范表述。 2.掌握等边三角形的三种判定方法，能正确、完整地写出证明过程。 3.能运用等边三角形的性质与判定进行角的计算、线段相等的证明，并能结合全等三角形解决简单 的综合问题。 【学习重点】 等边三角形的性质（三个角都等于60°、每条边上的“三线合一”、三条对称轴)与三种判定方法， 以及它们在角的计算、线段相等证明中的初步应用；能规范、有条理地书写几何证明过程。 【学习难点】 1.性质与判定的区别与灵活选用：能从“已知什么、要证什么”出发，判断该用性质还是判定，避 免混用。 2.“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定中前提条件的把握（顶角或底角为60° 均可)，以及“有一个角是60°的三角形”不是判定的辨析。 3.在组合图形中挖掘隐含条件（平行线、公共边、共顶点且夹角为60°），通过构造全等三角形或 等边三角形完成证明，即辅助线的添加与解题思路的形成。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 图形 定义 两腰相等 三边相等 等边对等角 三个角相等，分别为60° 底边上的中线、高和所对角 每条边上的中线、高和所对角的平 性质 的平分线都“三线合 分线都“三线合一” 轴对称图形， 一 条对称轴 轴对称图形，三条对称轴 ①两边相等 ①三边都相等 判定 ②等角对等边 ②三个角都相等 ③有一个角是60°的等腰三角形 【课堂探究】 导入新课 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一般三角形 等腰三角形 等边三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等 的三角形叫做等边三角形， 新知讲解 图形 定义 两腰相等 三边相等 等边对等角 底边上的中线、高和所对角 性质 的平分线都“三线合一” 轴对称图形，一条对称轴 判定 ①两边相等 ②等角对等边 探究一、性质 猜想： 性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60° 已知：△ABC是等边三角形， 求证：∠A=∠B=∠C=60° 证明：，△ABC是等边三角形， ..BC=AC,BC=AB .∠A=∠B,∠A=∠C. ∴.∠A=∠B=∠C. .∠A+∠B+∠C=180°， .∠A=60°. ∴.∠A=∠B=∠C=60° 等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 211 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 符号语言 :△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60° 探究三线合一 顶角的平分线、 底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” 1.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的 周长是_12cm. 2.在等边△ABC中，BD平分∠ABC,BD=BF,则∠CDF的度数是_15°_ 3.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是_120°_一， A B 探究二、判定 猜想： 判定：三个角都相等的三角形是等边三角形 已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C. 求证：△ABC是等边三角形 证明：∠A=∠B,∠A=∠C, ..BC=AC,BC=AB. .BC=AC=AB ∴.△ABC是等边三角形. 等边三角形的判定1： 三个角都相等的三角形是等边三角形 符号语言 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠A=∠B=∠C, .△ABC是等边三角形 已知：在△ABC中，AB=AC,∠A=60° 求证：△ABC是等边三角形 证明：AB=AC, .∠C=∠B .∠A+∠B+∠C=180°，∠A=60°， .∠C=∠B=60°， ∴.∠A=∠B=∠C=60°， ∴，△ABC是等边三角形. B 等边三角形的判定2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 符号语言 :△ABC是等腰三角形，∠A=60°， .△ABC是等边三角形， 辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. 6) 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图形 定义 两腰相等 三边相等 等边对等角 三个角相等，分别为60 底边上的中线、高和所对角 每条边上的中线、高和所对角的平 性质 的平分线都“三线合一” 分线都“三线合— 轴对称图形， 条对称轴 轴对称图形，三条对称轴 ①两边相等 ①三边都相等 判定 ②等角对等边 ②三个角都相等 ③有一个角是60°的等腰三角形 典例分析 例1.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC,延长BC到E,使得CE=CD.求证： BD=DE. 证明：，△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴.∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°， 又CE=CD, ∴.∠CDE=∠CED 又：∠BCD=∠CDE+∠CED, ∴.∠CDE=∠CED=30°， .∠DBC=∠DEC. ,DB=DE(等角对等边)· 例2.如图，点M,N分别在等边三角形ABC的BC,CA边上，且BM=CN,AM,BN交于点Q. (1)求证：AM=BN: (②)求∠BQM的度数. 5/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 W B M 证明(1)：△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC,∠ABM=∠C=60°. AB=BC 在△ABM和△BCN中，∠ABM=∠C BM=CN ∴.△ABM≌△BCN(SAS) ∴.AM=BN 解（②）：，△ABM≌△BCN, ∴.∠BAM=∠CBN .∠BQM=∠BAM+∠ABQ, .∠BQM=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°. 规律与方法： 等边三角形是个非常特殊的轴对称图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边、角的 特点又为证明线段相等、角相等提供了便利，要善于挖掘等边三角形图形中的隐含条件 例3.如图，在等边三角形ABC中，DEBC,求证：△ADE是等边三角形 D B C 证明：△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C DE//BC, ∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∴.∠A=∠ADE=∠AED. .△ADE是等边三角形 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例4如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D,E,F,使AD=BE=CF,求证：△DEF 为等边三角形. B E 证明：，△ABC为等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠C=60°， AB=BC=AC. .AD=BE=CF, “.BD=CE=AF ∴.△ADF≌△BED≌△CFE .',DF=ED=FE “.△DEF为等边三角形， 变式训练 1.如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD,BP=BC,∠DBP=∠DBC.求∠P的度数. D B 解：由题意，得AC=BC,∠ACB=60°.连接DC BP=BC 在△BPD和△BCD中， ∠DBP=∠DBC BD=BD .△BPD≌△BCD(SAS) ∠P=∠BCD 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD-BD 在△ADC和△BDC中， AC=BC DC=DC ∴.△ADC≌△BDC(SSS). 2BcD=∠ACD=3<ACB=30 ∴.∠P=∠BCD=30°. 2.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问 △APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论. ○ B 解：△APQ为等边三角形. 证明如下：，△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC BP=CQ 在△ABP和△ACQ中， ∠ABP=∠ACQ AB=AC .△ABP≌△ACQ(SAS), ∴.AP=AQ,∠BAP=∠CAQ ,∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， .∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， ∴.△APQ是等边三角形. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB, ∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F.求证： (1)△ABD是等边三角形： (②)BE=AF. 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 证明：(1)AB=AC,AD⊥BC, ·∠BAD=∠DAC=1 ∠BAC .∠BAC=120°， :.∠BAD=∠DAC=x120°=600. 又，AD=AB, .△ABD是等边三角形. (2),△ABD是等边三角形， .∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD :∠EDF=60°， ∴.∠BDE=∠ADF. ∠DBE=∠DAF 在△BDE和△ADF中， BD=AD 下 BDE=∠ADF .△BDE≌△ADF(ASA). ..BE=AF 【课堂总结】 定义 三边都相等 三个角相等，分别为60° 性质K 每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” 等边三角形 轴对称图形，三条对称轴 三边都相等 判定K 三个角都相等 有一个角是60°的等腰三角形 【课堂练习】 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=30°_一· 2.如图，直线Q∥b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为80° 3.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC,DE/AB,AD=3,CE=5,则AC的 长为8 D 4如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD,E 是AB的中点，连接CE并延长交AD于F.求证：△AEF≌△BEC, 证明：，△ABD是等边三角形，.∠DAB=60°， ∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴.∠EBC=180°-90°-30=60°， .∠FAE=∠EBC. E为AB的中点，.AE=BE. ∠AEF=ㄥBEC 在△AEF和△BEC中 AE=BE ∠FAE=∠EBC ∴.△AEF≌△BEC(ASA). 5.如图，△ABC为等边三角形，∠1=∠2，BD=CE,求证：△ADE是等边三角形 10/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，△ABC为等边三角形， .∠BAC=60°，AB=AC. BD =CE 在△ABD和△ACE中， ∠1=∠2 AB=AC ∴.△ABD≌△ACE(SAS). .AD=AE,∠BAD=∠CAE :∠BAD=60°， ∴.∠CAE=60°. :.△ADE为等边三角形， 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 11/11