15.3.2 第2课时 含 30° 直角三角形的性质与判定(Word导学案)-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦含30°角的直角三角形的边角性质，课堂导入通过表格对比等腰与等边三角形的边、角、三线合一及对称性，搭建知识支架，衔接旧知引出新知。 资料以合作探究（三角尺拼图）和问题链引导学生经历性质推导过程，提升推理能力，结合屋架设计、航海等情境例题强化应用意识，分层练习与当堂反馈助力知识巩固，培养几何直观与创新意识。

第15章 轴对称 15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 【素养目标】 1. 掌握含 30°角的直角三角形的边角性质。 （重点） 2. 经历探究含 角的直角三角形性质的过程，提升推理能力。（重点） 3. 合理应用含 角的直角三角形的性质，强化应用意识。 （难点） 【情境导入】 根据之前的知识完成下表。 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称 性 如图是屋架设计图的一部分，点 是斜梁 的中点， 立柱 垂直于横梁 , 立柱 的长是多少？ 在 的直角三角形中， 探究边长之间的关系。 【合作探究】 探究点： 含 30° 角的直角三角形的性质 【情境探究】如图，将两个含 角的全等的三角尺摆放在一起。 你能借助这个图形，找到 的直角边 与斜边 之间的数量关系吗？ 问题1: 两个三角尺构成的图案，是一个三角形吗？ 问题2: 是不是等边三角形？ 问题3: 你能说说 与 的长度关系吗？ 思考： 如何证明上面的结论呢？ 证法1 如图，在Rt 中， , . 求证： . 证法 2: 含 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言 在 , , . 例1 如图是屋架设计图的一部分，点 是斜梁 的中点，立柱 垂直于横梁 , ，立柱 的长是多少？ 例2 如图，灯塔 在海岛 的北偏东 方向，某天上午 8 点，一条船从海岛 出发，以 15 n mile/h 的速度由西向东航行，上午 10 时整到达 处，此时测得灯塔 在 处的北偏东 方向。 (1) 求 处到灯塔 的距离； (2) 已知在以灯塔 为中心，周围 mile 的范围内均有暗礁， 若该船继续由西向东航行， 是否有触礁的危险？ 请你说明理由。 【练一练】1. 如图，在Rt 中， ，线段 的垂直平分线分别交 于点 ，连接 , 则 ，则 的长为 _____. 当堂反馈 1. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为 , 则斜边的长为 ( ) A. 2cm B. C. 6cm D. 8 cm 2. 如图，在 中， , , 平分 . 若 ，则 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 第2题图 第3题图 第4题图 3. 如图，在 中， , ，则底边上的中线 的长为 _________. 4. 如图，在Rt 中， , , 是 的高，且 ，则 的长为________. 5. 如图，在等边三角形 中，点 、 分别在边 、 上，将 沿着 折叠，使点 落在边 上的点 处，且 ，求证： . 参考答案 复习导入 根据前面的探究结果完成下表。 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 两条边相等 三条边都相等 角 两个底角相等 三个角都相等，且都是 三线 合一 底边上的中线、高和顶 角的平分线互相重合 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合 对称 性 1 条对称轴 3 条对称轴 探究点： 含 30°角的直角三角形的性质 问题1: 是的。 , 所以点 在一条直线上。 所以两个三角尺构成一个图案是一个三角形。 问题2：是。 因为两个三角形尺全等，所以 . 因为 ，所以 . 所以 是等边三角形。 问题3: 理由： 因为 ，所以 因为 是等边三角形，所以 . 所以 . 思考： 证法1 在 边上截取 ，连接 . 在Rt 中， , . 又 , 是等边三角形。 . . 而 , . . 证法2：延长 到 ，使 ，连接 , 则 是 的垂直平分线，所以 . 又因为 , 所以 是等边三角形，所以 , 又 ，所以 . 例1 解： , .又 , . 答： 立柱 的长是 的长是 . 例2 解： (1) 根据题意得 , , (n mile), . . mile. 答： 处到灯塔 的距离为 mile. (2) 会有触礁的危险。理由： 如图，过点 作 于点 . mile, mile. , 该船继续由西向东航行会有触礁的危险 . 【练一练】1. 2. 当堂反馈 1. D. 2. A 3. 6 4. 3. 5. 证明： 沿着 折叠，得到 , . , . . . 学科网（北京）股份有限公司 $