精品解析：上海市徐汇中学2026-2027学年高二上学期10月阶段练习数学试题

徐汇中学高二数学10月阶段练习 班级_________ 姓名_________ 得分_________ 学号_________ 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的______________条件(选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“非充分非必要”) 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据异面直线的定义“不同在任一平面内的两条直线”，就可做出正确选择． 【详解】解：若空间中有两条直线， 则“这两条直线为异面直线”⇒“这两条直线没有公共点”； 反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”， 因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”； 故两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的必要不充分条件． 故答案为必要不充分． 【点睛】本题考查异面直线的定义，是基础题． 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 3. 在长方体中，与棱所在直线异面垂直的棱有______条． 【答案】4 【解析】 【分析】结合图形由长方体的性质求解即可 【详解】在长方体中， 因为平面，平面，平面，平面， 所以， 因为均与异面， 所以与棱所在直线异面垂直的棱有，共4条， 故答案为：4 4. 已知向量，则向量与夹角的余弦值为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，所以向量与夹角的余弦值. 故答案为： 5. 复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则将化简，再利用复数的几何意义即可得解. 【详解】， 复数在复平面内对应点的坐标为. 故答案为：. 6. 在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于______. 【答案】80 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可求解公差和首项，进而根据等差求和公式求解. 【详解】因为在等差数列中，， 所以，，所以公差，， 所以等差数列的前10项的和. 故答案为：80 7. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据斜二测画法的原则还原四边形进行求解即可. 【详解】由题设知：原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故答案为：10 8. 如图，在正方体中，，为的中点，记平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的余弦值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可利用空间向量求解直线与直线之间夹角，从而求解. 【详解】设，连接,如下图所示，则直线即为直线l． 因为平面平行于，且平面平面， 平面平面，故， 由，为的中点，得：． 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设：，则得：，，，， ，， 所以得：， 故直线l与直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 9. 如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的平行线即可延展平面，则可得到截面，再求周长即可. 【详解】取中点，连接，, ∵中点为，E是侧棱的中点， ∴,, 又在直角三角形中, ∴, ∵正方体中， ∴四边形为平行四边形, ∴ ∴, 四点共面，即为正方体的截面. 在直角三角形中, 同理,则截面周长为. 故答案为:. 10. 如图，平面的一条斜线l与交于点O，是l在上的投影，是上过点O的另一条直线，若l上一点A到平面的距离为1，l与所成的角的大小为45°，l与所成的角的大小为60°，则点A到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三垂线定理即可求解为 A到直线的距离，进而根据三角形的边角关系求解长度即可. 【详解】因为是在上的投影，所以就是与平面所成的角， 由于l与所成的角的大小为45°，故， 过作于,过作于点，连接, 依题意可得：，又所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面，所以，故为 A到直线的距离， 在中， ,,所以， 在中，,； 故答案为： 11. 如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，连接与交于点时，即为的最小值，进而求解即可. 【详解】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，如下图， 连接与交于点时，即为的最小值， 由题意，，则， 所以. 故答案为：. 12. 如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，证得，得到异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，设，利用余弦定理求得，结合换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为分别为棱的中点，可得 在正方体中，可得，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即, 设，其中， 在中，由， 由余弦定理得， 设，则，可得， 再令，则，则， 设，可得函数在上为增函数， 又由，所以，所以， 所以异面直线与所成的角余弦值的取值范围为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑 13. 如图，空间四边形ABCD四边相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 空间四边形 【答案】C 【解析】 【分析】取中点为，分别连接，利用中位线性质结合平行四边形判定证明其为平行四边形，再利用线面垂直的判定和性质即可证明其为矩形. 【详解】取中点为，分别连接，如图， 因为，且各边中点分别为E，F，G，H， 所以，，， 所以，所以四边形为平行四边形， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以，因为，所以， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 易知与不一定相等，故与不一定相等，故四边形不一定为正方形. 故选：C. 14. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 若，，则，，相交或异面，故①不正确； 若，，则，故②正确； 若，，则，故③正确； 若，，则或，故④不正确； 正确命题的个数是. 故选：. 15. 已知，，，是各项均为正数的等差数列，其公差大于零.若线段，，，的长分别为，，，，则（ ）. A. 对任意的，均存在以，，为三边的三角形 B. 对任意的，均不存在以，，为三边的三角形 C. 对任意的，均存在以，，为三边的三角形 D. 对任意的，均不存在以，，为三边的三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，即可判断出结论． 【详解】A：对任意的，假设均存在以，， 为三边的三角形，∵，，，是各项均为正数的等差数列，其公差大于零，， 而不一定大于，因此不一定存在以，，为三边的三角形，故不正确； B：由A可知：当时，存在以为，，三边的三角形，因此不正确； C：对任意的，由于 ，因此均存在以，，为三边的三角形，正确； D．由C可知不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、三角形两边之和大于第三边，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16. 已知正方体，P为中点，对于下列两个命题：（1）过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交；（2）过点P有且只有一条直线与直线AB，都成45°角．则以下判断正确的是（ ） A. （1）为真命题；（2）为真命题 B. （1）为真命题；（2）为假命题 C. （1）为假命题；（2）为真命题 D. （1）为假命题；（2）为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】作出过与两直线相交的直线判断①；通过平移直线，，结合异面直线所成角的概念判断②． 【详解】解：直线与 是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示： 取的中点，则，且，设与交于，则点、、、、共面， 直线必与 相交于某点，则过点有且只有一条直线与、都相交，故①为真命题； 分别平移，，使与均经过，则有两条互相垂直的直线与，，都成角，故②为假命题． ①为真命题，②为假命题． 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤，且不得使用空间向量的方法解题. 17. 如图，在正方体中，点，分别是，的中点． （1）求证：和共面： （2）求证：和是异面直线，并求和所成角的大小． 【答案】（1）连接，，，如图， 因为为正方体，所以. 又，分别为，的中点，所以. 所以. 所以，，，四点共面，所以和共面. （2）因为平面，平面，，平面， 所以直线与是异面直线. 连接. 因为，所以为异面直线与所成的角. 在中，，所以， 所以，即异面直线与所成的角为. 【解析】 【分析】（1）根据直线与的位置关系进行判断. （2）先利用异面直线的判定定理证明和异面，再构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求异面直线所成的角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）对递推式两边同时除以， 可得，即， 又首项，因此数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）通过对递推式两边同除以构造差为定值的形式，用等差数列定义完成证明； （2）先借助第一问的结论求出通项，代入目标数列化简后，用等差数列求和公式计算前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，等差数列的通项为， 因此，所以， 所以，即数列是首项为、公差为的等差数列， 故数列的前n项和为. 19. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）设中点为，连接，.如图， 因为为中点，所以，平面，平面，所以平面. 又为中点，四边形为矩形，所以，平面，平面，所以平面. 又，平面，，所以平面平面. 又平面，平面，所以. 又，，平面，，所以平面. 所以平面，又面，所以. 又，， 在中，，，所以. 又为中点，所以. 又，平面，，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据面面平行的判定定理证明平面平面，再证平面，从而平面，再根据线面垂直的性质证明，再证，即可得线面垂直. （2）构造直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，交于，连接，. 则为中点，所以. 又平面，所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中，，，， 所以，所以. 即直线与平面所成的角为. 20. 如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足. （1）求证：平面平面ACP； （2）平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 【答案】（1） 连接， 在中，因为， 所以，且， 又因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在中，因为，所以， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又犹豫，且平面， 所以平面平面ACP. （2）2 【解析】 【分析】（1）由线段的比例关系先证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理得到平面和平面，然后由面面平行的判定定理可得； （2）由线面平行的性质定理得到，再由比例关系可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以，又因为，所以， 所以. 21. 已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知是等边三角形． （1）求AC和PD所成角的大小； （2）求O到平面PBC的距离； （3）若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角，并说明点E此时所在的位置． 【答案】（1） （2） （3）当点E在线段AD上且时，直线PE与平面PBC所成的角最大，最大角为 【解析】 【分析】（1）依题意得底面ABCD，，建立空间直角坐标系，根据得； （2）求出平面的一个法向量为，利用点到平面距离公式求解即可； （3）设，求出，设直线PE与平面PBC所成的角为，利用求解即可. 【小问1详解】 因为ABCD是菱形，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，所以底面ABCD，，如图建立空间直角坐标系. 因为菱形ABCD边长为2，，是等边三角形， 所以， 则， 所以，则， 所以AC和PD所成角的大小为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，即， 所以O到平面PBC的距离为. 【小问3详解】 设，，因为， 所以，则，即， 由（2）知，平面的一个法向量为， 设直线PE与平面PBC所成的角为， 则，因为， 所以当时，最大，即最大，此时， 所以当点E在线段AD上且时，直线PE与平面PBC所成的角最大，最大角的为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学高二数学10月阶段练习 班级_________ 姓名_________ 得分_________ 学号_________ 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的______________条件(选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“非充分非必要”) 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 3. 在长方体中，与棱所在直线异面垂直的棱有______条． 4. 已知向量，则向量与夹角的余弦值为__________． 5. 复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 6. 在等差数列中，，，则数列的前10项的和等于______. 7. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______. 8. 如图，在正方体中，，为的中点，记平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的余弦值为_____． 9. 如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是______． 10. 如图，平面的一条斜线l与交于点O，是l在上的投影，是上过点O的另一条直线，若l上一点A到平面的距离为1，l与所成的角的大小为45°，l与所成的角的大小为60°，则点A到直线的距离为______． 11. 如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________. 12. 如图，已知正方体的棱长为2，分别为棱的中点，若点为线段上的动点，不包括端点），设异面直线与所成的角为，则的取值范围是___________. 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑 13. 如图，空间四边形ABCD四边相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 空间四边形 14. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知，，，是各项均为正数的等差数列，其公差大于零.若线段，，，的长分别为，，，，则（ ）. A. 对任意的，均存在以，，为三边的三角形 B. 对任意的，均不存在以，，为三边的三角形 C. 对任意的，均存在以，，为三边的三角形 D. 对任意的，均不存在以，，为三边的三角形 16. 已知正方体，P为中点，对于下列两个命题：（1）过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交；（2）过点P有且只有一条直线与直线AB，都成45°角．则以下判断正确的是（ ） A. （1）为真命题；（2）为真命题 B. （1）为真命题；（2）为假命题 C. （1）为假命题；（2）为真命题 D. （1）为假命题；（2）为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤，且不得使用空间向量的方法解题. 17. 如图，在正方体中，点，分别是，的中点． （1）求证：和共面： （2）求证：和是异面直线，并求和所成角的大小． 18. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和． 19. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 20. 如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足. （1）求证：平面平面ACP； （2）平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值. 21. 已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知是等边三角形． （1）求AC和PD所成角的大小； （2）求O到平面PBC的距离； （3）若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角，并说明点E此时所在的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $