专题04 双曲线（6知识&8考点&9公式&9高频&4易错&3重难&6模型，期中知识清单）高二数学上学期人教A版

专题04 双曲线 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(8类) 公式清单(9类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 双曲线定义 1.定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 2、双曲线的集合表示：． 3、对双曲线定义的理解 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 关键：绝对值、两个条件同时满足，才是完整双曲线。 知识点02 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 焦距 的关系 焦点判断 看、哪一项系数为正，焦点就在对应坐标轴 补充： 1.焦点位置不确定时，可设一般式：；系数为正的一项对应焦点所在坐标轴。 2.和共渐近线双曲线；设为：焦点落在 轴 ：焦点落在 轴。 3.等轴双曲线：a=b，渐近线y=±x，离心率e= 知识点03 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 准线方程 渐近线 y＝±x y＝±x 小技巧求渐近线：把标准方程右侧1改为0，因式分解直接得到渐近线，避免a,b写反。 知识点04 直线与双曲线的位置关系 联立双曲线方程与直线方程消去得到关于的一元二次方程， （1）当二次项系数，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当二次项系数，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 知识点05 弦长与中点弦 1. 弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点，直线斜率为 则或（），其中。 通径（过焦点垂直实轴）：最短焦点弦，长度 2.中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解。 重要提醒：双曲线点差法求出直线后必须检验判别式△＞0，检验弦是否真实存在，警惕虚弦。 知识点06 焦点三角形 设是双曲线双曲线（，）上任意一点，为双曲线的左、右焦点，，叫做双曲线的焦点三角形。 研究焦点三角形，本质就是把双曲线的性质和解三角形结合在一起综合解题。这个三角形的三条边里面：底边就是两焦点之间的距离 ，两条侧边是动点 到两个焦点的距离 、。题目一般不会直接告诉我们 与 各自的长度，但是我们可以利用双曲线定义、余弦定理建立关系，完成计算。 1. 双曲线定义 双曲线上任意一点，到两焦点距离之差的绝对值等于实轴长； 两焦点之间的距离：； 2. 余弦定理 知道三角形的顶角，就可以在这个焦点三角形中使用余弦定理，把 、、顶角 、焦距全部关联起来。 ； 联立双曲线定义，就可以求出 。 3. 面积公式 求出 之后，利用三角形通用面积公式 ； 经过化简，可以得到双曲线焦点三角形面积的二级结论： 。 这个二级结论选择、填空题可以直接使用；解答大题不能直接套用，需要写出上面的推导过程。 考点01 双曲线定义辨析与简单应用 考点内容：掌握双曲线完整定义；理解去掉绝对值之后对应的轨迹变化；与大小关系，判断对应的不同轨迹；利用双曲线定义求解焦半径与线段长度。 常见考法： ①判断动点轨迹是双曲线、双曲线的其中一支、射线，还是不存在轨迹； ②已知双曲线上一点和一个焦半径，求出另外一个焦半径的长度； ③结合中位线、圆切线等几何条件，借助双曲线定义转化线段进行计算。 易错提醒：求出焦半径之后，一定要判断该点落在哪一支，舍去不符合条件的解。 考点02 求双曲线标准方程 考点内容：使用待定系数法求解双曲线的标准方程；判断双曲线焦点所在位置；掌握共渐近线双曲线的方程设法；会使用一般式设方程解题。 常见考法： ①已知焦点坐标、并且双曲线经过定点，求双曲线的标准方程； ②已知渐近线方程、同时双曲线过定点，求双曲线方程； ③已知离心率、焦距等相关条件，求双曲线方程； 易错提醒：若题目没有说明焦点位置，不能直接默认焦点在x轴，需要分类讨论求解；选用一般式时，要牢记mn＜0。 考点03 由双曲线方程研究几何性质 考点内容：由标准或者非标准方程求出参数；进一步求解双曲线的焦点、顶点、渐近线、离心率；计算焦点到渐近线的距离。 常见考法： ①将双曲线的非标准方程化为标准方程，再求对应的渐近线与焦点坐标； ②根据所给双曲线的方程，计算双曲线的离心率； ③求解焦点到渐近线的距离（该距离恒等于虚半轴长b）； 考点04 离心率求值与离心率范围 考点内容：结合焦点三角形的角度、边长关系、构造关于a,c的齐次等式，求解离心率； 结合直线与双曲线的公共点、渐近线夹角，求离心率的取值范围。 常见考法： ①根据焦点三角形角度、边长关系，构造齐次等式求离心率； ②根据直线和双曲线有公共点、渐近线夹角，求离心率取值范围； 易错提醒：注意，求出解要舍去小于等于1的根。 考点05 直线和双曲线位置关系 考点内容：联立直线与双曲线方程，结合判别式判断交点个数；注意直线与渐近线平行这一类特殊情形；求解过定点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数。 常见考法： ①判断直线和双曲线的交点个数； ②求过定点且与双曲线仅有一个公共点的直线； ③已知直线与双曲线交于双曲线的左右两支，利用韦达定理两根异号的特点列出不等式求解参数范围。 易错提醒：切勿只依靠判别式判断交点，容易忽略二次项系数为0（直线与渐近线平行）的特殊情况。 考点06 弦长、中点弦与韦达定理综合 考点内容：运用弦长公式计算弦长；利用点差法处理中点弦问题；联立直线与双曲线方程，结合韦达定理进行计算；求出中点弦之后，需要检验判别式，判断弦是否真实存在。 常见考法： ①已知直线方程求双曲线弦长；已知弦长反求参数； ②已知弦的中点坐标，求对应弦所在直线方程； ③判断给定的点能否作为双曲线某条弦的中点。 考点07焦点三角形综合 考点内容：结合双曲线定义与余弦定理进行计算；求解焦点三角形的面积；完成三角形角度、边长相关计算。 常见考法： ①已知焦点三角形的顶角，求三角形面积；已知焦点三角形面积，反求顶角或双曲线上点的纵坐标； ②结合勾股定理、三角形为直角的条件，求解双曲线离心率。 ③根据焦点三角形的三边关系，利用双曲线定义建立齐次关系式求解离心率。 考点08轨迹问题（双曲线定义法求轨迹） 考点内容：将两圆相切的条件转化为距离之差；根据动点满足的距离差条件求解轨迹；利用斜率乘积相关条件求解轨迹。 常见考法： ①动圆与两定圆外切或者内切，求动圆圆心的轨迹； ②已知两条直线斜率的乘积，求对应动点的轨迹； ③求出轨迹之后，判断轨迹是完整双曲线还是双曲线其中的一支。 易错提醒：利用距离之差求轨迹时，一定要比较距离差与两定点之间距离的大小，注意判断是否要去掉部分点。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 双曲线定义 （） 判断完整双曲线、单支、射线或无轨迹 2 关系 区别椭圆，不要记混 3 离心率定义 或 双曲线 4 焦点在轴方程、渐近线 －＝1(a>0，b>0)； 由标准方程令右边为0直接得到 5 焦点在轴方程、渐近线 －＝1(a>0，b>0)； 焦点在y轴时，a、b顺序和焦点在x轴时相反，避免写反渐近线 6 弦长公式 。 知道两根就用；不好求横坐标、适合纵坐标就用 7 焦点三角形面积 ，小题直接用，大题需要推导 8 点差法核心式子 （焦点x轴） 中点，直线斜率；求出务必检验 9 焦点到渐近线距离 任意焦点到任意一条渐近线距离等于虚半轴 辨析01 双曲线定义中“绝对值”不能丢 表示完整的双曲线；若去掉绝对值，式子只表示双曲线的一支。审题时要留意，若题干没有绝对值，则对应的轨迹只能是双曲线的单支。 辨析02 2a与2c的大小关系决定轨迹类型 设平面内动点到两定点距离之差的绝对值为2a,两定点之间距离为2c 1. 当：动点轨迹为双曲线； 2. 当：动点轨迹为两条射线； 3. 当：满足条件的轨迹不存在； 4. 当：动点轨迹是两定点连线的垂直平分线。 辨析03 a ,b,c的关系式用来区分为椭圆与双曲线 椭圆满足，其中是三者之中最大的； 双曲线满足，其中是三者之中最大的。 很多计算失分，都是把这两个公式相互记混。 辨析04 “直线与双曲线只有1个公共点”并不等价于相切 联立之后判别式 ，此时直线与双曲线相切； 若化简之后二次项系数等于 ，说明直线平行于双曲线的渐近线，此时属于相交，仅有一个交点，并不是相切。 遇到“过定点，求与双曲线只有一个公共点的直线条数”这类题目，一定要把这两条平行渐近线的直线计入总数，很容易漏算。 辨析05 双曲线使用点差法解题之后，必须检验判别式 利用点差法求出中点弦对应的直线方程之后，一定要将直线代回双曲线检验判别式，判断这条弦是否真实存在，避免出现增根。 辨析06 渐近线不要搞混 顺序 当双曲线的焦点在 轴上时，它的标准方程为 ，对应的渐近线方程是 ； 当双曲线的焦点在 轴上时，它的标准方程为 ，对应的渐近线方程是 。 可以使用快速求渐近线的技巧：直接把双曲线标准方程等式右侧的常数 改写为 ，再对方程进行因式分解，就可以直接写出渐近线，避免把 的顺序记反。 辨析07 方程 表示双曲线的条件 对于二元二次方程 ，若该方程能够表示双曲线，则必须满足 ，也就是 与 一个为正数、另一个为负数。其中，系数为正的那一项，它所对应的坐标轴就是双曲线焦点所在的坐标轴。 辨析08 双曲线没有“长轴、短轴”，称为实轴、虚轴 椭圆才有长轴与短轴，双曲线对应的是实轴与虚轴，不可混用概念。在双曲线标准方程中，正项下面的分母为 ，对应双曲线的实轴；带负号那一项下面的分母为 ，对应双曲线的虚轴。虚轴只是几何上用来辅助作图的线段，虚轴上面的点并不在双曲线上。 辨析09 离心率范围：双曲线 双曲线离心率定义为 ，由双曲线里面 ，可以得到双曲线离心率的取值范围是 。如果通过列式求解算出离心率的结果小于或者等于 ，这个解不符合双曲线离心率的范围，必须全部舍去。 辨析10 焦点三角形面积二级结论大题不能直接写 双曲线焦点三角形面积公式为二级结论，只适合填空选择直接使用；解答题需要先后利用双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式完整推导。 【题型一】双曲线的定义及辨析 【例1】（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】由即可判断. 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·重庆巫山·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】由双曲线的定义可得答案. 【详解】因为，，所以，若动点Р满足，则动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线. 而题目中动点Р只满足，有，所以动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支. 故选：D 【变式1-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为(    ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【分析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得. 【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D. 故选：D 【变式1-3】（25-26高二上·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 【答案】D 【分析】根据动点满足的几何性质判断即可. 【详解】因为、，所以， 而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线. 故选：D 【题型二】求双曲线标准方程 【例2-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 【变式2-1】（25-26）高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 【变式2-2】（25-26高三上·吉林长春·期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求椭圆的焦点坐标，设双曲线方程，结合题意列式求解即可； （2）结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程． 【详解】（1）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为． 【变式2-3】（25-26高二·全国·课堂例题）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，求出结合焦点位置得出双曲线方程； （2）由焦点坐标及双曲线上点，利用双曲线定义求出，即可得出双曲线方程. 【详解】（1）由已知得5，．因此，且． 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是． （2）由已知得双曲线的焦点在y轴上，且，所以另一个焦点坐标为. 因为点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 ， 因此，从而． 因此，所求双曲线的标准方程是． 【题型三】双曲线的渐近线相关问题 【例3】（2026·河南许昌·三模）若直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线中，则渐近线方程为， 已知直线是该双曲线的一条渐近线，则，解得． 【变式3-1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线相同可设所求为，将点代入求得即可得解. 【详解】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 则双曲线方程为. 故选：B． 【变式3-2】（25-26高二下·江西宜春·期中）等轴双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出等轴双曲线方程，根据方程即可求出其渐近线方程. 【详解】由题意，若等轴双曲线方程为， 则，则其渐近线方程为； 若等轴双曲线方程为， 则，则其渐近线方程为， 综上，等轴双曲线的渐近线方程为. 故选：C 【变式3-3】（25-26高三上·广东·阶段检测）是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的右焦点F到直线的距离为______. 【答案】4 【分析】首先根据渐近线求出，进而得出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】双曲线（）的渐近线方程为，故， 所以右焦点F的坐标为，F到直线的距离. 故答案为：4. 【题型四】双曲线离心率问题 【例4-1】（25-26高三上·浙江·开学考试）若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的离心率为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，从而可求解. 【详解】由题意双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则，解得，故A 正确. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用离心率公式结合渐近线方程可解. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为. 故选：D 【变式4-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系转化为关于的齐次方程，再转化为关于离心率的方程，即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线的通径长为，如图所示， 则，若，所以，所以， 由于，所以，解得，因为，所以． 故选：C 【变式4-3】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知双曲线的通径为线段，到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，求出点的坐标，利用点到直线的距离公式以及题意可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 联立可得，即点， 双曲线的渐近线方程为，即， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意可得，即，可得， 故，故该双曲线的离心率为， 故选：D. 【题型五】焦点三角形问题 【例5-1】（25-26高二下·四川内江·阶段检测）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为____________. 【答案】3 【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可. 【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 【变式5-1】（25-26高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为________． 【答案】 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高二·全国·课堂例题）设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于__________. 【答案】22 【分析】根据双曲线方程可求得，结合双曲线定义以及可求得，即可得答案. 【详解】由题意知，， 又， ∴，， 故的周长为， 故答案为：22 【变式5-3】（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. 【详解】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 【题型六】直线与双曲线位置关系 【例6-1】（25-26高二上·北京·期末）若直线与双曲线只有一个公共点，则的取值为__________；若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，则的取值范围为__________. 【答案】 ，； 【分析】联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和判别式计算. 【详解】联立，消去整理得， 若直线与双曲线只有一个公共点，则或， 解得或； 若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，设，， 则，解得. 故答案为：或；. 【变式6-1】（25-26高二上·上海金山·期中）双曲线与直线的交点个数为___________ 【答案】1个 【分析】根据题意把直线方程带入双曲线即可判断交点个数． 【详解】根据直线可得，带入双曲线得．因此交点个数为1个． 故答案为1 【变式6-2】（25-26高二上·山东滨州·阶段检测）已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为______． 【答案】3 【分析】联立方程解之可判断只有一个公共点时的直线条数. 【详解】解：联立， 消去得， 当，即时， 直线和直线分别与双曲线的渐近线平行， 故只有一个交点； 当时，由， 可得，此时直线与双曲线相切，故只有一个公共点. 故答案为：3 【变式6-3】（25-26高二·全国·课后作业）若直线与双曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是_______. 【答案】或 【分析】联立直线与双曲线方程可得关于x的一元二次方程，求解当方程有两个解时m的取值范围. 【详解】联立消去y得， 依题意有，即，解得或. 故答案为：或 【题型七】直线与双曲线的交点与弦长 【例7-1】（25-26高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义，求得，即可求得的周长. 【详解】根据题意，作图如下：    由双曲线定义可知：，， 故， 故的周长为. 故答案为：12. 【变式7-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 【变式7-2】（25-26高二·全国·随堂练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，如果，求． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可得，，两式相交结合条件可得答案. 【详解】由双曲线的定义可得， 两式相加可得，即 即，又 所以，即 【变式7-3】（25-26高二·全国·课后作业）已知直线与双曲线交于，两点，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】联立直线与双曲线方程消，由二次项系数不等于且判别式即可求解. 【详解】由得， 因为直线与双曲线相交于两点， 所以解得：且 所以的取值范围是：且， 故答案为：且. 【题型八】双曲线的中点弦问题 【例8-1】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用点差法可求的关系，从而可求双曲线的离心率. 【详解】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以， 故选：A. 【变式8-1】（2026·河南·三模）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得. 【详解】因为直线，所以， 由题可知的垂直平分线的方程为， 将与联立可得，即的中点坐标为． 设，，则，且，， 两式作差可得， 即，所以， 则双曲线的离心率为． 故选：D 【变式8-2】（25-26高二上·上海·课堂例题）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】设点渐近线上，直线的方程为，联立求得,由，求得，代入双曲线方程化简即可得出结果. 【详解】 设左焦点，假设点渐近线上，则直线的方程为， 联立，即， 又因为，所以为的中点，所以， 因为Q在双曲线上，所以，化简得， 则双曲线的离心率为， 故答案为：. 【变式8-3】（2026·天津河东·二模）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由点差法即可求解． 【详解】由双曲线方程得，渐近线方程为，则直线的斜率， 设，代入双曲线方程得， 两式相减得，， 所以， 因为弦中点为，所以， 当时，， 当时，， 又因为点在第一象限，所以， 所以． 【题型九】双曲线的轨迹问题 【例9-1】（25-26高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 【变式9-1】（25-26高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程. 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 【变式9-2】（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由可知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线上支， 设双曲线的方程为，可知，， 所以，，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 【变式9-3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 【题型一】定义忽略绝对值，忽略2a与2c大小关系 【例1】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案. 【详解】由双曲线的方程可得，则， 解得， 由双曲线的定义可知， 因为，所以或13. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 故选：C 易错警示 题目不给绝对值，双曲线轨迹只能是一支；算出焦半径，要检验该支对应的焦半径取值范围，舍去不合理的解。 【变式1-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】先由双曲线方程求出，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果. 【详解】双曲线中，得，则， 由双曲线的定义可得， 因为，所以，解得， 故选：B 【变式1-2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项平方化简可得答案. 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得， 可化简为. 故选：D. 【题型二】直线与双曲线一个公共点，误把渐近线平行当成相切 【例2】（25-26高二上·北京·期中）双曲线的渐近线为__________；若直线与双曲线仅有一个公共点，则__________． 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程可得，结合渐近线的概念计算即可； 将直线方程联立双曲线方程，消y得到关于x的方程，分类讨论二次项的系数，当系数为0，方程为一元一次方程；当系数不为0，方程为一元二次方程，结合根的判别式计算即可. 【详解】由双曲线的方程，得， 所以其渐近线方程为：； 由，消y，得， 因为直线与双曲线仅有一个交点， 当即时，方程有一个解， 当即时，，方程无解. 所以 故答案为：； 易错警示 直线与双曲线仅有一个公共点分为两类：一是直线与双曲线相切，联立得到一元二次方程，满足；而是联立后二次项系数为0，直线平行于双曲线的渐近线，属于相交不是相切；求过定点满足条件的直线条数，两种情形都不能漏掉。 【变式2-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）双曲线与直线的公共点个数_______； 【答案】0或1 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得已知直线与之重合或平行，即得结论. 【详解】由，可得双曲线的渐近线方程为：， 对于 直线，当时，直线与渐近线重合，两者无交点； 当时，因此时直线与双曲线渐近线平行，故只有一个公共点. 综上可得，双曲线与直线的公共点个数为0或1. 故答案为：0或1. 【变式2-2】（25-26高二·全国·课后作业）直线与双曲线的交点个数为______． 【答案】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立即可求得交点个数. 【详解】由得：，直线与双曲线有且仅有个交点. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高二上·山东滨州·阶段检测）已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为______． 【答案】3 【分析】联立方程解之可判断只有一个公共点时的直线条数. 【详解】解：联立， 消去得， 当，即时， 直线和直线分别与双曲线的渐近线平行， 故只有一个交点； 当时，由， 可得，此时直线与双曲线相切，故只有一个公共点. 故答案为：3 【题型三】点差法算中点弦，忘记检验判别式 【例3】（25-26高二·全国·课后作业）已知直线与双曲线交于，两点，则的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】联立直线与双曲线方程消，由二次项系数不等于且判别式即可求解. 【详解】由得， 因为直线与双曲线相交于两点， 所以解得：且 所以的取值范围是：且， 故答案为：且. 易错警示 椭圆中点弦用点差法求出之后一般是成立的，但双曲线用点差算出斜率，仅仅只是必要条件，不是充分条件，必须联立双曲线检验，很多时候得到的直线是虚弦，不存在真实交点。 【变式3-1】（25-26高二·全国·课后作业）若直线与双曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是_______. 【答案】或 【分析】联立直线与双曲线方程可得关于x的一元二次方程，求解当方程有两个解时m的取值范围. 【详解】联立消去y得， 依题意有，即，解得或. 故答案为：或 【变式3-2】（25-26高二上·北京·期末）若直线与双曲线只有一个公共点，则的取值为__________；若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，则的取值范围为__________. 【答案】 ，； 【分析】联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和判别式计算. 【详解】联立，消去整理得， 若直线与双曲线只有一个公共点，则或， 解得或； 若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，设，， 则，解得. 故答案为：或；. 【变式3-3】（多选）（25-26高三上·全国·阶段检测）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（    ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的离心率 C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则 D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则 【答案】BCD 【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误. 【详解】解：由题意知的渐近线方程为，所以，因为，则， 所以双曲线的实轴长为，故A错误； ，所以，故B正确； 设，则，，故C正确； 设、，则，两式作差得， 所以，，D对. 故选：BCD. 【题型四】混淆椭圆、双曲线a,b,c关系式 【例4】（2026·福建）已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝． 易错警示 椭圆满足，其中是三者之中最大的；双曲线满足，其中是三者之中最大的。 很多离心率计算错误根源都是把这两个公式相互记混。 【变式4-1】（25-26高二·全国·课堂例题）下列有关双曲线与的说法正确的是（    ） A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 【答案】B 【分析】求出两双曲线的顶点坐标、渐近线方程、焦点坐标以及离心率，可出结论. 【详解】对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为， 离心率为， 对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为， 离心率为， 因此，这两个双曲线有相同的渐近线， 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·河北衡水·期末）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为__________. 【答案】 【分析】将离心率用含的式子表示，解方程即可得解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，解得，所以. 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【变式4-3】(多选）（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 【答案】ACD 【分析】由实轴长求，由离心率求，再由求，进而判断各选项. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线方程为，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B错误； 焦点坐标为，故C正确； 将点代入方程：，成立，所以点在双曲线上，故D正确. 【题型一】离心率范围综合 【例1】（2026·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为， 设点，则可取， 则，整理得， 解得，即，可得，则， 所以该双曲线离心率的取值范围是． 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况，结合双曲线的定义以及通径分析求解即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，则或或， 结合对称性可知：，结果是相同的， 所以只需讨论或即可，则有： 若，可知直线与轴垂直，则，即， 整理得，解得或（舍去）； 若，设，则， 因为，即，可得， 且，即，解得， 又因为，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率为； 综上所述：双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 【变式1-2】（25-26高二·全国·课堂例题）已知双曲线C的两条渐近线为，，过右焦点作直线∥且交于点B，过点B作且交于点A，若轴，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长AF交于点，由题意可得为等边三角形，从而得OA与x轴的夹角为30°，，从而可得的关系，再根据离心率的公式计算即可. 【详解】解：如图，延长AF交于点， 则，所以.    在中，F为的中点，而∥， 所以B为的中点. 又，于是中边上的高线与中线重合， 从而为等边三角形，所以边OA与x轴的夹角为30°， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 【题型二】直线与双曲线综合大题 【例2-1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明:显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）证明:设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 【分析】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【详解】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）略； （ii）证明略，定点为. 【变式2-1】（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，它们在轴上有共同焦点，且都经过点. (1)求抛物线和双曲线的标准方程； (2)动直线过点，交抛物线于、两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； 【答案】(1)抛物线，双曲线 (2) 设点，则，线段的中点为，， 故以线段为直径的圆的方程为， 假设存在满足题设条件的直线，使得直线被圆截得的弦长为定值， 圆心到直线的距离为， 则直线被圆截得的弦长为 对任意的为定值， 所以，解得，此时. 【详解】（1）根据题意，设抛物线的标准方程为，则，解得， 故抛物线的标准方程为，其焦点为， 设双曲线的标准方程为， 由双曲线的定义可得，即， 又因为，故， 故双曲线的标准方程为. （2）略 【变式2-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程． 【答案】或； 【分析】根据双曲线的焦点位置、渐近线，结合双曲线参数的关系求双曲线的标准方程． 【详解】 ① 若双曲线的焦点在x轴上，则可设双曲线的标准方程为 (a>0, b>0)， 所以渐近线方程为，即，即， 又，可得， 故双曲线的方程为. ② 若双曲线的焦点在y轴上，则可设双曲线的标准方程为 (a>0, b>0)， 所以渐近线方程为，即，即， 又，可得， 故双曲线的方程为. 综上，所求双曲线的方程为或. 【题型三】焦点三角形与几何综合 【例3】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【答案】(1)10或22 (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）由双曲线的定义和余弦定理得得解. 【详解】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 【变式3-1】（25-26高二·全国·随堂练习）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    【答案】48 【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积. 【详解】如图，    由可得，， ， ， ， 过点作边上的高，则， ， 所以的面积为. 【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________. 【答案】16或20 【分析】根据条件首先可得或，然后可得，即可求出周长. 【详解】双曲线的标准方程为，所以， 因为是等腰三角形，不妨设在双曲线的右支上，则或， 当时，，所以的周长为6+6+4=16； 当时，，所以的周长为6+6+8=20； 故答案为：或20. 【题型一】双曲线定义转化模型 【模型解读】 如图，为双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，可利用双曲线定义实现两条焦半径的线段转化；常结合中位线、圆切线等几何性质，把未知线段换成；求距离最值时，将焦半径改写为，借助两点之间线段最短求解距离和差最值。注意区分点落在左支还是右支。 【结论】 1.若在双曲线右支： 2.若在双曲线左支： 【例1】（25-26高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选： 【变式1-1】（25-26高二·全国·课后作业）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________. 【答案】 【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可. 【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线， 设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是. 故答案为：. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为： 【变式1-3】（25-26高二·全国·课堂例题）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为__________.    【答案】 【分析】利用点在双曲线上及直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解. 【详解】设，，则，解得， ∴. 在中，，则①. 由双曲线的定义，得②. 由①②得. ∵， ∴，即. ∴. ∴双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 【题型二】渐近线相关模型 【模型解读】 针对渐近线高频考题：求渐近线方程、已知渐近线求双曲线方程、求焦点到渐近线距离。是选择填空题高频模型。 【结论】 1.焦点在轴双曲线，渐近线：； 2.焦点在轴双曲线，渐近线：； 3.与共渐近线双曲线可设：； 焦点在轴，焦点在轴； 5. 双曲线焦点到任意一条渐近线的距离恒等于虚半轴长。 说明：大题如需直接使用，需要简单证明。 证明 ∵双曲线一个焦点，一条渐近线， 由点到直线距离公式： 又∵，即， ∴，得证。 【例2】（2026·江西抚州·模拟预测）已知双曲线C：的左焦点为为左支上一点，与关于原点对称，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的数量积可知，根据对称性有，由双曲线的定义、勾股定理有，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】由，即，与关于原点对称， ∴，又且，即 ∴， 在Rt△中，，则， ∴，故双曲线的渐近线为. 故选：B 【变式2-1】（2026·广东中山·模拟预测）点到直线：和：的距离之积为4，记的轨迹为曲线，则（    ） A．是两条互相垂直的直线 B．是焦点在轴上的双曲线 C．是两条离心率均为的双曲线 D．上的点与原点之间的距离不小于 【答案】D 【分析】设点的坐标，按题干条件写出等量关系，得到点的轨迹方程，逐个分析选项即可. 【详解】设点，由题干条件和点到直线的距离公式得，即， 去绝对值得点的轨迹为和， 这两个方程分别表示焦点在轴和轴的双曲线，且离心率分别为和，故A、B、C均错误， 因为双曲线上的点到原点的距离不小于双曲线上最靠近原点的顶点到原点的距离， 两个方程最靠近原点的顶点坐标分别为和， 所以上的点与原点之间的距离不小于，故D正确， 故选：D． 【变式2-2】（2026·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 依题意，解得. 故答案为： 【变式2-3】（2026·上海静安·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________． 【答案】 【分析】根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线中三者之间的关系即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即. 由圆的方程为，得圆心为，半径为. 因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为. 又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切， 所以，即，解得.所以, 所以该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 【题型三】焦点三角形模型 【模型解读】 定义：设点 在双曲线上， 是双曲线的左右两个焦点，则 就叫做双曲线的焦点三角形。结合双曲线定义、余弦定理求解边长、角度、三角形面积。小题可直接套面积二级结论；解答大题不能直接用结论，必须完整推导。 【结论】记 ，则焦点三角形面积： 证明： 在双曲线上 两边平方： 在 中，由余弦定理 又 ： 由二倍角公式：， ，得证。 【例3】（25-26高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为________且________． 【答案】 4 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 【变式3-1】（2026·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则______ 【答案】 【分析】利用双曲线的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 【详解】因为①， 则由余弦定理得， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线基本量关系求解即可； （2）设，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1），得，，所以双曲线． （2）设，则， 在中，由余弦定理得， ，解得或（舍）， 故，故． 【题型四】离心率齐次式模型 【模型解读】 题干不给具体数值，给出角度、边长、垂直等条件；通过关系式消去，构造只含齐次等式或者不等式，求解离心率或者离心率范围，期中选填压轴高频。 【结论】 1.双曲线，且； 2.利用消去；等式两边同除以，转化为关于的方程（不等式）； 3.算出结果后，舍去的解。 【例4】（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系转化为关于的齐次方程，再转化为关于离心率的方程，即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线的通径长为，如图所示， 则，若，所以，所以， 由于，所以，解得，因为，所以． 故选：C 【变式4-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】运用数量积的定义,长度角度全部用表示，构造之间的一个等式,运用离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线的几何性质知道，，， ∵， ∴，∴离心率. 故选：D. 【变式4-2】（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算再来求数量积，可得，再利用底边为的焦半径三角面积，可求出高为，从而可得一条渐近线的斜率，则即可解得离心率. 【详解】 不妨设点在第一象限内，为坐标原点， 由，得. 由的面积为，结合三角形面积公式得：点到轴的距离为， 所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率为， 因此的离心率. 故选：B. 【变式4-3】（2026·全国I卷·高考真题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 【答案】2 【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】如图，    由，得又得是三角形的中位线，即 由,得则,得， 又与都是渐近线，得又，得 又渐近线的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【题型五】直线与双曲线相交弦、弦长面积模型 【模型解读】 解答大题核心模型，直线和双曲线交于两个不同点，求解弦长、三角形面积、参数取值范围。务必警惕直线平行渐近线（二次项系数为0）的特殊情况。 【结论】 设直线斜率为，交点 1.弦长公式：； 2.三角形面积：，为定点到该直线的距离； 3.解题流程：联立方程→检验二次项系数→保证两实交点→韦达定理得到→代入弦长、面积公式计算。 【例5】（25-26高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义，求得，即可求得的周长. 【详解】根据题意，作图如下：    由双曲线定义可知：，， 故， 故的周长为. 故答案为：12. 【变式5-1】（25-26高二·全国·随堂练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，如果，求． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可得，，两式相交结合条件可得答案. 【详解】由双曲线的定义可得， 两式相加可得，即 即，又 所以，即 【变式5-2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明:显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）证明:设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 【分析】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【详解】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）略； （ii）证明略，定点为. 【题型六】中点弦点差模型 【模型解读】 已知双曲线 ，直线与双曲线交于 、 两点，弦 的中点为 。 点差法思路：将交点坐标代入双曲线方程，两式作差，利用平方差公式化简，结合中点坐标公式、直线斜率公式，快速建立中点坐标与直线斜率的关系，无需联立直线与曲线方程，快速秒杀中点弦题型。双曲线中点弦点差法得到的结果只是必要条件，必须检验判别式，排除虚弦。 【结论】双曲线，弦中点，直线斜率，则 证明： 点、 在双曲线上 两式相减，得 平方差公式展开，得 弦AB的中点 ， 直线斜率 化简，得 【例6】（25-26高二·全国·课堂例题）已知双曲线C的顶点为，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求双曲线C的离心率． 【答案】2 【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】， 由是等边三角形可知，因此， 又因为， 所以，从而． 【变式6-1】（25-26高二·全国·随堂练习）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，求C的离心率. 【答案】2 【分析】根据直线被圆截得的弦长公式和双曲线离心率的公式求解. 【详解】由于对称性，不妨设渐近线方程为， 设圆心到渐近线的距离为， 则有，解得， 即，所以， 所以离心率. 【变式6-2】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，双曲线的离心率. 【答案】 【分析】设出点坐标，根据坐标关系以及几何关系，结合点的坐标满足渐近线方程，即可求得离心率. 【详解】如图，因为，故为的中点，又为的中点，则为的中位线， 又，则，. 设，， 因为点在渐近线上，则，解得， 又为的中点，则， 又在渐近线上，故，整理得：， 故双曲线的离心率. 【变式6-3】（25-26高二·全国·课堂例题）根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： ，是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且，，且离心率为2. 【答案】 【分析】方法一：根据双曲线的定义，结合余弦定理求解即可； 方法二：直接根据双曲线焦点三角形的面积公式，结合基本量的关系求解即可. 【详解】方法一  设双曲线的标准方程为，由题意知，， 由双曲线的定义，得. 由余弦定理得 ， ∴. 又， ∴，∴，∴，∴，. 故所求双曲线的标准方程为. 方法二  由题可得 解得 故所求双曲线的标准方程为. 技巧 一句话要点 判断是否为双曲线：定义三要素法 同时满足距离差为定值、定值小于焦距、带绝对值三个条件，才可判定为双曲线轨迹。 求焦点三角形面积：二级结论公式法 已知顶角θ直接套双曲线面积公式，无需联立余弦定理复杂计算。 已知中点求弦斜率：点差秒杀法 直接套用中点弦结论，跳过联立方程，快速求出直线斜率，务必检验判别式。 求离心率及范围：消b找ac法 利用关系消去b，只保留a、c构造方程或不等式，结合e＞1求解。 求渐近线方程：定轴改0法 标准方程把常数项改为0，因式分解直接读出渐近线，避免a、b写反。 判断直线交点情况：联立检验法 联立方程用Δ判断交点个数，必须额外检验交点是否在双曲线有效支上，杜绝增根。 求动点到焦点距离：焦半径公式法 根据动点所在左右支，对应代入不同焦半径公式，区分正负，快速求距离。 求焦点类最值：轨迹转化法 利用双曲线定义将折线距离转化为直线距离，依托三点共线原理求取最值。 求参数取值范围：多重约束法 结合曲线定义域、判别式、离心率范围多重条件列不等式，求出参数范围。 椭圆双曲线公式区分：对比记忆法 椭圆是距离和为2a、面积含正切；双曲线是距离差为2a、面积含余切，严格区分。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(8类) 公式清单(9类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 双曲线定义 1. 定义：平面内与两个定点的_______________等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点叫做双曲线的_______________，两焦点的距离叫做双曲线的______。 2、双曲线的集合表示：． 3、对双曲线定义的理解 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的______； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的______； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的_______________； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹_______________； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的_______________． 关键：绝对值、两个条件同时满足，才是完整双曲线。 知识点02 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 焦距 的关系 焦点判断 看、哪一项系数为正，焦点就在对应坐标轴 补充： 1.焦点位置不确定时，可设一般式：；系数为正的一项对应焦点所在坐标轴。 2.和共渐近线双曲线；设为：焦点落在 轴 ：焦点落在 轴。 3.等轴双曲线：a=b，渐近线y=±x，离心率e= 知识点03 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 关于_______________对称，关于_______________中心对称 顶点 A1______，A2______ A1______，A2______ 轴 实轴：线段______，长：______；虚轴：线段______，长：______； 半实轴长：______，半虚轴长：______ 离心率 准线方程 渐近线 ____________ ____________ 小技巧求渐近线：把标准方程右侧1改为0，因式分解直接得到渐近线，避免a,b写反。 知识点04 直线与双曲线的位置关系 联立双曲线方程与直线方程消去得到关于的____________， （1）当二次项系数，即，直线与双曲线的____________，直线与双曲线____________交点； （2）当二次项系数，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线____________，有____________公共点； 若，直线与双曲线____________，有____________公共点； 若，直线与双曲线____________，____________公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 知识点05 弦长与中点弦 1. 弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点，直线斜率为 则或（），其中。 通径（过焦点垂直实轴）：最短焦点弦，长度 2.中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解。 重要提醒：双曲线点差法求出直线后必须检验判别式△＞0，检验弦是否真实存在，警惕虚弦。 知识点06 焦点三角形 设是双曲线双曲线（，）上任意一点，为双曲线的左、右焦点，，叫做双曲线的焦点三角形。 研究焦点三角形，本质就是把双曲线的性质和解三角形结合在一起综合解题。这个三角形的三条边里面：底边就是两焦点之间的距离 ，两条侧边是动点 到两个焦点的距离 、。题目一般不会直接告诉我们 与 各自的长度，但是我们可以利用双曲线定义、余弦定理建立关系，完成计算。 1. 双曲线定义 双曲线上任意一点，到两焦点距离之差的绝对值等于实轴长； 两焦点之间的距离：； 2. 余弦定理 知道三角形的顶角，就可以在这个焦点三角形中使用余弦定理，把 、、顶角 、焦距全部关联起来。 ； 联立双曲线定义，就可以求出 。 3. 面积公式 求出 之后，利用三角形通用面积公式 ； 经过化简，可以得到双曲线焦点三角形面积的二级结论： 。 这个二级结论选择、填空题可以直接使用；解答大题不能直接套用，需要写出上面的推导过程。 考点01 双曲线定义辨析与简单应用 考点内容：掌握双曲线完整定义；理解去掉绝对值之后对应的轨迹变化；与大小关系，判断对应的不同轨迹；利用双曲线定义求解焦半径与线段长度。 常见考法： ①判断动点轨迹是双曲线、双曲线的其中一支、射线，还是不存在轨迹； ②已知双曲线上一点和一个焦半径，求出另外一个焦半径的长度； ③结合中位线、圆切线等几何条件，借助双曲线定义转化线段进行计算。 易错提醒：求出焦半径之后，一定要判断该点落在哪一支，舍去不符合条件的解。 考点02 求双曲线标准方程 考点内容：使用待定系数法求解双曲线的标准方程；判断双曲线焦点所在位置；掌握共渐近线双曲线的方程设法；会使用一般式设方程解题。 常见考法： ①已知焦点坐标、并且双曲线经过定点，求双曲线的标准方程； ②已知渐近线方程、同时双曲线过定点，求双曲线方程； ③已知离心率、焦距等相关条件，求双曲线方程； 易错提醒：若题目没有说明焦点位置，不能直接默认焦点在x轴，需要分类讨论求解；选用一般式时，要牢记mn＜0。 考点03 由双曲线方程研究几何性质 考点内容：由标准或者非标准方程求出参数；进一步求解双曲线的焦点、顶点、渐近线、离心率；计算焦点到渐近线的距离。 常见考法： ①将双曲线的非标准方程化为标准方程，再求对应的渐近线与焦点坐标； ②根据所给双曲线的方程，计算双曲线的离心率； ③求解焦点到渐近线的距离（该距离恒等于虚半轴长b）； 考点04 离心率求值与离心率范围 考点内容：结合焦点三角形的角度、边长关系、构造关于a,c的齐次等式，求解离心率； 结合直线与双曲线的公共点、渐近线夹角，求离心率的取值范围。 常见考法： ①根据焦点三角形角度、边长关系，构造齐次等式求离心率； ②根据直线和双曲线有公共点、渐近线夹角，求离心率取值范围； 易错提醒：注意，求出解要舍去小于等于1的根。 考点05 直线和双曲线位置关系 考点内容：联立直线与双曲线方程，结合判别式判断交点个数；注意直线与渐近线平行这一类特殊情形；求解过定点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数。 常见考法： ①判断直线和双曲线的交点个数； ②求过定点且与双曲线仅有一个公共点的直线； ③已知直线与双曲线交于双曲线的左右两支，利用韦达定理两根异号的特点列出不等式求解参数范围。 易错提醒：切勿只依靠判别式判断交点，容易忽略二次项系数为0（直线与渐近线平行）的特殊情况。 考点06 弦长、中点弦与韦达定理综合 考点内容：运用弦长公式计算弦长；利用点差法处理中点弦问题；联立直线与双曲线方程，结合韦达定理进行计算；求出中点弦之后，需要检验判别式，判断弦是否真实存在。 常见考法： ①已知直线方程求双曲线弦长；已知弦长反求参数； ②已知弦的中点坐标，求对应弦所在直线方程； ③判断给定的点能否作为双曲线某条弦的中点。 考点07焦点三角形综合 考点内容：结合双曲线定义与余弦定理进行计算；求解焦点三角形的面积；完成三角形角度、边长相关计算。 常见考法： ①已知焦点三角形的顶角，求三角形面积；已知焦点三角形面积，反求顶角或双曲线上点的纵坐标； ②结合勾股定理、三角形为直角的条件，求解双曲线离心率。 ③根据焦点三角形的三边关系，利用双曲线定义建立齐次关系式求解离心率。 考点08轨迹问题（双曲线定义法求轨迹） 考点内容：将两圆相切的条件转化为距离之差；根据动点满足的距离差条件求解轨迹；利用斜率乘积相关条件求解轨迹。 常见考法： ①动圆与两定圆外切或者内切，求动圆圆心的轨迹； ②已知两条直线斜率的乘积，求对应动点的轨迹； ③求出轨迹之后，判断轨迹是完整双曲线还是双曲线其中的一支。 易错提醒：利用距离之差求轨迹时，一定要比较距离差与两定点之间距离的大小，注意判断是否要去掉部分点。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 双曲线定义 （） 判断完整双曲线、单支、射线或无轨迹 2 关系 区别椭圆，不要记混 3 离心率定义 或 双曲线 4 焦点在轴方程、渐近线 －＝1(a>0，b>0)； 由标准方程令右边为0直接得到 5 焦点在轴方程、渐近线 －＝1(a>0，b>0)； 焦点在y轴时，a、b顺序和焦点在x轴时相反，避免写反渐近线 6 弦长公式 。 知道两根就用；不好求横坐标、适合纵坐标就用 7 焦点三角形面积 ，小题直接用，大题需要推导 8 点差法核心式子 （焦点x轴） 中点，直线斜率；求出务必检验 9 焦点到渐近线距离 任意焦点到任意一条渐近线距离等于虚半轴 辨析01 双曲线定义中“绝对值”不能丢 表示完整的双曲线；若去掉绝对值，式子只表示双曲线的一支。审题时要留意，若题干没有绝对值，则对应的轨迹只能是双曲线的单支。 辨析02 2a与2c的大小关系决定轨迹类型 设平面内动点到两定点距离之差的绝对值为2a,两定点之间距离为2c 1. 当：动点轨迹为双曲线； 2. 当：动点轨迹为两条射线； 3. 当：满足条件的轨迹不存在； 4. 当：动点轨迹是两定点连线的垂直平分线。 辨析03 a ,b,c的关系式用来区分为椭圆与双曲线 椭圆满足，其中是三者之中最大的； 双曲线满足，其中是三者之中最大的。 很多计算失分，都是把这两个公式相互记混。 辨析04 “直线与双曲线只有1个公共点”并不等价于相切 联立之后判别式 ，此时直线与双曲线相切； 若化简之后二次项系数等于 ，说明直线平行于双曲线的渐近线，此时属于相交，仅有一个交点，并不是相切。 遇到“过定点，求与双曲线只有一个公共点的直线条数”这类题目，一定要把这两条平行渐近线的直线计入总数，很容易漏算。 辨析05 双曲线使用点差法解题之后，必须检验判别式 利用点差法求出中点弦对应的直线方程之后，一定要将直线代回双曲线检验判别式，判断这条弦是否真实存在，避免出现增根。 辨析06 渐近线不要搞混 顺序 当双曲线的焦点在 轴上时，它的标准方程为 ，对应的渐近线方程是 ； 当双曲线的焦点在 轴上时，它的标准方程为 ，对应的渐近线方程是 。 可以使用快速求渐近线的技巧：直接把双曲线标准方程等式右侧的常数 改写为 ，再对方程进行因式分解，就可以直接写出渐近线，避免把 的顺序记反。 辨析07 方程 表示双曲线的条件 对于二元二次方程 ，若该方程能够表示双曲线，则必须满足 ，也就是 与 一个为正数、另一个为负数。其中，系数为正的那一项，它所对应的坐标轴就是双曲线焦点所在的坐标轴。 辨析08 双曲线没有“长轴、短轴”，称为实轴、虚轴 椭圆才有长轴与短轴，双曲线对应的是实轴与虚轴，不可混用概念。在双曲线标准方程中，正项下面的分母为 ，对应双曲线的实轴；带负号那一项下面的分母为 ，对应双曲线的虚轴。虚轴只是几何上用来辅助作图的线段，虚轴上面的点并不在双曲线上。 辨析09 离心率范围：双曲线 双曲线离心率定义为 ，由双曲线里面 ，可以得到双曲线离心率的取值范围是 。如果通过列式求解算出离心率的结果小于或者等于 ，这个解不符合双曲线离心率的范围，必须全部舍去。 辨析10 焦点三角形面积二级结论大题不能直接写 双曲线焦点三角形面积公式为二级结论，只适合填空选择直接使用；解答题需要先后利用双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式完整推导。 【题型一】双曲线的定义及辨析 【例1】（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 【变式1-1】（25-26高二上·重庆巫山·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支 【变式1-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为(    ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【变式1-3】（25-26高二上·湖北武汉·期中）平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 【题型二】求双曲线标准方程 【例2-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26）高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【变式2-2】（25-26高三上·吉林长春·期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【变式2-3】（25-26高二·全国·课堂例题）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 【题型三】双曲线的渐近线相关问题 【例3】（2026·河南许昌·三模）若直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．4 C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·江西宜春·期中）等轴双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三上·广东·阶段检测）是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的右焦点F到直线的距离为______. 【题型四】双曲线离心率问题 【例4-1】（25-26高三上·浙江·开学考试）若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的离心率为（     ） A．3 B． C．2 D． 【变式4-1】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知双曲线的通径为线段，到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【题型五】焦点三角形问题 【例5-1】（25-26高二下·四川内江·阶段检测）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为____________. 【变式5-1】（25-26高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为________． 【变式5-2】（25-26高二·全国·课堂例题）设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于__________. 【变式5-3】（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【题型六】直线与双曲线位置关系 【例6-1】（25-26高二上·北京·期末）若直线与双曲线只有一个公共点，则的取值为__________；若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，则的取值范围为__________. 【变式6-1】（25-26高二上·上海金山·期中）双曲线与直线的交点个数为___________ 【变式6-2】（25-26高二上·山东滨州·阶段检测）已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为______． 【变式6-3】（25-26高二·全国·课后作业）若直线与双曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是_______. 【题型七】直线与双曲线的交点与弦长 【例7-1】（25-26高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 【变式7-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二·全国·随堂练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，如果，求． 【变式7-3】（25-26高二·全国·课后作业）已知直线与双曲线交于，两点，则的取值范围是____________． 【题型八】双曲线的中点弦问题 【例8-1】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式8-1】（2026·河南·三模）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·上海·课堂例题）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为______． 【变式8-3】（2026·天津河东·二模）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【题型九】双曲线的轨迹问题 【例9-1】（25-26高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型一】定义忽略绝对值，忽略2a与2c大小关系 【例1】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 易错警示 题目不给绝对值，双曲线轨迹只能是一支；算出焦半径，要检验该支对应的焦半径取值范围，舍去不合理的解。 【变式1-1】（25-26高二上·全国·课后作业）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式1-2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【题型二】直线与双曲线一个公共点，误把渐近线平行当成相切 【例2】（25-26高二上·北京·期中）双曲线的渐近线为__________；若直线与双曲线仅有一个公共点，则__________． 易错警示 直线与双曲线仅有一个公共点分为两类：一是直线与双曲线相切，联立得到一元二次方程，满足；而是联立后二次项系数为0，直线平行于双曲线的渐近线，属于相交不是相切；求过定点满足条件的直线条数，两种情形都不能漏掉。 【变式2-1】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）双曲线与直线的公共点个数_______； 【变式2-2】（25-26高二·全国·课后作业）直线与双曲线的交点个数为______． 【变式2-3】（25-26高二上·山东滨州·阶段检测）已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为______． 【题型三】点差法算中点弦，忘记检验判别式 【例3】（25-26高二·全国·课后作业）已知直线与双曲线交于，两点，则的取值范围是____________． 易错警示 椭圆中点弦用点差法求出之后一般是成立的，但双曲线用点差算出斜率，仅仅只是必要条件，不是充分条件，必须联立双曲线检验，很多时候得到的直线是虚弦，不存在真实交点。 【变式3-1】（25-26高二·全国·课后作业）若直线与双曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是_______. 【变式3-2】（25-26高二上·北京·期末）若直线与双曲线只有一个公共点，则的取值为__________；若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，则的取值范围为__________. 【变式3-3】（多选）（25-26高三上·全国·阶段检测）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（    ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的离心率 C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则 D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则 【题型四】混淆椭圆、双曲线a,b,c关系式 【例4】（2026·福建）已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A． B． C． D． 易错警示 椭圆满足，其中是三者之中最大的；双曲线满足，其中是三者之中最大的。 很多离心率计算错误根源都是把这两个公式相互记混。 【变式4-1】（25-26高二·全国·课堂例题）下列有关双曲线与的说法正确的是（    ） A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 【变式4-2】（25-26高二上·河北衡水·期末）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为__________. 【变式4-3】(多选）（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 【题型一】离心率范围综合 【例1】（2026·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______． 【变式1-2】（25-26高二·全国·课堂例题）已知双曲线C的两条渐近线为，，过右焦点作直线∥且交于点B，过点B作且交于点A，若轴，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【题型二】直线与双曲线综合大题 【例2-1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【变式2-1】（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，它们在轴上有共同焦点，且都经过点. (1)求抛物线和双曲线的标准方程； (2)动直线过点，交抛物线于、两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； 【变式2-2】86．（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程． 【题型三】焦点三角形与几何综合 【例3】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【变式3-1】（25-26高二·全国·随堂练习）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________. 【题型一】双曲线定义转化模型 【模型解读】 如图，为双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，可利用双曲线定义实现两条焦半径的线段转化；常结合中位线、圆切线等几何性质，把未知线段换成；求距离最值时，将焦半径改写为，借助两点之间线段最短求解距离和差最值。注意区分点落在左支还是右支。 【结论】 1.若在双曲线右支： 2.若在双曲线左支： 【例1】（25-26高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【变式1-1】（25-26高二·全国·课后作业）已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为______． 【变式1-3】（25-26高二·全国·课堂例题）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为__________.    【题型二】渐近线相关模型 【模型解读】 针对渐近线高频考题：求渐近线方程、已知渐近线求双曲线方程、求焦点到渐近线距离。是选择填空题高频模型。 【结论】 1.焦点在轴双曲线，渐近线：； 2.焦点在轴双曲线，渐近线：； 3.与共渐近线双曲线可设：； 焦点在轴，焦点在轴； 5. 双曲线焦点到任意一条渐近线的距离恒等于虚半轴长。 说明：大题如需直接使用，需要简单证明。 证明 ∵双曲线一个焦点，一条渐近线， 由点到直线距离公式： 又∵，即， ∴，得证。 【例2】（2026·江西抚州·模拟预测）已知双曲线C：的左焦点为为左支上一点，与关于原点对称，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·广东中山·模拟预测）点到直线：和：的距离之积为4，记的轨迹为曲线，则（    ） A．是两条互相垂直的直线 B．是焦点在轴上的双曲线 C．是两条离心率均为的双曲线 D．上的点与原点之间的距离不小于 【变式2-2】（2026·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 【变式2-3】（2026·上海静安·模拟预测）已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________． 【题型三】焦点三角形模型 【模型解读】 定义：设点 在双曲线上， 是双曲线的左右两个焦点，则 就叫做双曲线的焦点三角形。结合双曲线定义、余弦定理求解边长、角度、三角形面积。小题可直接套面积二级结论；解答大题不能直接用结论，必须完整推导。 【结论】记 ，则焦点三角形面积： 证明： 在双曲线上 两边平方： 在 中，由余弦定理 又 ： 由二倍角公式：， ，得证。 【例3】（25-26高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为________且________． 【变式3-1】（2026·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则______ 【变式3-2】（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． 【题型四】离心率齐次式模型 【模型解读】 题干不给具体数值，给出角度、边长、垂直等条件；通过关系式消去，构造只含齐次等式或者不等式，求解离心率或者离心率范围，期中选填压轴高频。 【结论】 1.双曲线，且； 2.利用消去；等式两边同除以，转化为关于的方程（不等式）； 3.算出结果后，舍去的解。 【例4】（25-26高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于轴的弦为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【变式4-2】（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-3】（2026·全国I卷·高考真题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 【题型五】直线与双曲线相交弦、弦长面积模型 【模型解读】 解答大题核心模型，直线和双曲线交于两个不同点，求解弦长、三角形面积、参数取值范围。务必警惕直线平行渐近线（二次项系数为0）的特殊情况。 【结论】 设直线斜率为，交点 1.弦长公式：； 2.三角形面积：，为定点到该直线的距离； 3.解题流程：联立方程→检验二次项系数→保证两实交点→韦达定理得到→代入弦长、面积公式计算。 【例5】（25-26高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________. 【变式5-1】（25-26高二·全国·随堂练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，如果，求． 【变式5-2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【题型六】中点弦点差模型 【模型解读】 已知双曲线 ，直线与双曲线交于 、 两点，弦 的中点为 。 点差法思路：将交点坐标代入双曲线方程，两式作差，利用平方差公式化简，结合中点坐标公式、直线斜率公式，快速建立中点坐标与直线斜率的关系，无需联立直线与曲线方程，快速秒杀中点弦题型。双曲线中点弦点差法得到的结果只是必要条件，必须检验判别式，排除虚弦。 【结论】双曲线，弦中点，直线斜率，则 证明： 点、 在双曲线上 两式相减，得 平方差公式展开，得 弦AB的中点 ， 直线斜率 化简，得 【例6】（25-26高二·全国·课堂例题）已知双曲线C的顶点为，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求双曲线C的离心率． 【变式6-1】（25-26高二·全国·随堂练习）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，求C的离心率. 【变式6-2】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，双曲线的离心率. 【变式6-3】（25-26高二·全国·课堂例题）根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： ，是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且，，且离心率为2. 技巧 一句话要点 判断是否为双曲线：定义三要素法 同时满足距离差为定值、定值小于焦距、带绝对值三个条件，才可判定为双曲线轨迹。 求焦点三角形面积：二级结论公式法 已知顶角θ直接套双曲线面积公式，无需联立余弦定理复杂计算。 已知中点求弦斜率：点差秒杀法 直接套用中点弦结论，跳过联立方程，快速求出直线斜率，务必检验判别式。 求离心率及范围：消b找ac法 利用关系消去b，只保留a、c构造方程或不等式，结合e＞1求解。 求渐近线方程：定轴改0法 标准方程把常数项改为0，因式分解直接读出渐近线，避免a、b写反。 判断直线交点情况：联立检验法 联立方程用Δ判断交点个数，必须额外检验交点是否在双曲线有效支上，杜绝增根。 求动点到焦点距离：焦半径公式法 根据动点所在左右支，对应代入不同焦半径公式，区分正负，快速求距离。 求焦点类最值：轨迹转化法 利用双曲线定义将折线距离转化为直线距离，依托三点共线原理求取最值。 求参数取值范围：多重约束法 结合曲线定义域、判别式、离心率范围多重条件列不等式，求出参数范围。 椭圆双曲线公式区分：对比记忆法 椭圆是距离和为2a、面积含正切；双曲线是距离差为2a、面积含余切，严格区分。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $