专题04 双曲线（3知识&12题型&3易错）（期中知识清单）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题04 双曲线 （3知识&12题型&3易错） 【清单01】双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 3、对双曲线定义的理解 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【清单02】双曲线的标准方程与几何性质 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 【清单03】直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 3、中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 【题型一 双曲线的定义及辨析】 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 【例1】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 【变式1-1】（24-25高二上·云南丽江·月考）如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-2】（24-25高二上·新疆·月考）动点到点的距离之差等于，则动点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 【变式1-3】（24-25高二上·宁夏·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【题型二 利用定义解决焦点三角形问题】 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【例2】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知，为双曲线的左，右焦点， O为坐标原点， M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【变式2-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 【变式2-2】（24-25高二下·广东东莞·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为 . 【变式2-3】（24-25高二下·湖南·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【题型三 利用定义解决线段和差的最值问题】 双曲线中距离和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 【例3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．11 B．9 C． D．5 【变式3-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【变式3-2】（24-25高二上·福建浦城·期中）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【变式3-3】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【题型四 求双曲线的标准方程】 待定系数法求双曲线标准方程 【例4】（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式4-1】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·黑龙江黑河·月考）以和为渐近线，且经过点的双曲线标准方程是 . 【变式4-3】（24-25高二上·江西南昌·期中）求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 【题型五 双曲线方程的参数问题】 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 【例5】（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·湖北孝感·月考）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二下·重庆渝中·月考）（多选）若方程表示的曲线为．给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【题型六 与双曲线有关的轨迹问题】 与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义． 【例6】（24-25高二上·辽宁大连·期末）与两圆和都外切的圆的圆心在（    ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．两支双曲线上 D．一条抛物线上 【变式6-1】（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【变式6-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·陕西西安·月考）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【题型七 由双曲线的方程研究几何性质】 先将方程化为标准形式，再根据标准方程确定“定位参数”（焦点位置）和“定量参数”（），最后代入公式计算离心率、渐近线等几何性质，关键是避免参数混淆和符号错误． 【例7】（24-25高二下·重庆·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·广东汕头·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式7-2】．（24-25高二上·湖南·期中）已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．21 B．19 C．13 D．11 【变式7-3】（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【题型八 求双曲线离心率的值或范围】 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 【例8】（24-25高二下·广西贵港·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·安徽怀宁·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【变式8-2】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二下·云南昭通·期中）记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为 ．（请用区间表示） 【题型九 直线与双曲线的位置关系】 直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志． 【例9】（25-26高二上·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【变式9-1】（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【变式9-2】（24-25高二上·广东深圳·月考）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【变式9-3】（24-25高二下·安徽安庆·月考）（多选）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【题型十 直线与双曲线的交点及弦长】 “先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况． 【例10】（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二下·广西南宁·月考）焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有 条. 【变式10-2】（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长. 【变式10-3】（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为4. (1)求的方程； (2)直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程. 【题型十一 双曲线的中点弦问题】 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 【例11】（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高三下·湖南永州·月考）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【变式11-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【题型十二 双曲线的综合应用】 【例12】（25-26高三上·河北保定·月考）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【变式12-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知点，为双曲线C：（，）上两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围. 【变式12-2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【变式12-3】（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，它的一条渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，直线与交于点，证明：点在定直线上. 【易错1】定义应用时忽略“绝对值”致错 点拨：双曲线的定义是“平面内与两焦点距离之差的绝对值等于”，若漏掉“绝对值”，轨迹会变成双曲线的一支，而非完整双曲线． 【典例】（2025高二上·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（    ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 【变式】（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【易错2】忽略双曲线方程“标准”的前提致错 点拨：遇到非标准形式时，直接套用顶点在原点的性质，忘记焦点、顶点等坐标需要结合“中心平移”来计算，导致位置偏差． 【典例】（24-25高二上·浙江杭州·期中）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25高二下·浙江杭州·月考）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【易错3】与直线联立求解时漏判特殊情况致错 点拨：联立双曲线与直线方程时，只关注一元二次方程的判别式，忽略直线与渐近线平行的情况——此时方程退化为一元一次方程，仅有一个交点（并非相切，而是“相交于一点”），容易误判为相切或无交点． 【典例】（24-25高二下·陕西西安·月考）已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 . 【变式】（23-24高二上·吉林长春·期中）设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点 (1)求双曲线的方程； (2)，斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线 （3知识&12题型&3易错） 【清单01】双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 3、对双曲线定义的理解 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【清单02】双曲线的标准方程与几何性质 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 【清单03】直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 3、中点弦问题 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 【题型一 双曲线的定义及辨析】 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 【例1】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 【答案】B 【解析】，，，， 由，由得或10， 又，所以.故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·云南丽江·月考）如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】依题意，双曲线实半轴长，虚半轴长，令半焦距为c， 设是双曲线的右焦点，连接， 由分别为的中点，得，由双曲线定义，得， 由切圆于点，得， 所以.故选：D 【变式1-2】（24-25高二上·新疆·月考）动点到点的距离之差等于，则动点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 【答案】D 【解析】由题意可知，, 故动点的轨迹是以为端点，以轴正方向的一条射线，故选：D 【变式1-3】（24-25高二上·宁夏·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【解析】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 【题型二 利用定义解决焦点三角形问题】 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 【例2】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知，为双曲线的左，右焦点， O为坐标原点， M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】双曲线的焦点，， 在中，由余弦定理， 得， 即，解得，又， 令M到x轴的距离为，则， 即，解得，所以M到x轴的距离为2.故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 【答案】4 【解析】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 【变式2-2】（24-25高二下·广东东莞·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为 . 【答案】 【解析】如图，记与轴交于点， 由题意得，，，故，. ∵，为中点， ∴为的中位线， ∴，， 由得与相似，∴， ∴，， ∵的角平分线为， ∴由角平分线定理得，， 由双曲线的定义得，， ∴， ∴，故为直角三角形， ∴的面积为. 【变式2-3】（24-25高二下·湖南·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【答案】 【解析】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由， 得， 又， 所以， 可得， 所以. 【题型三 利用定义解决线段和差的最值问题】 双曲线中距离和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 【例3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【解析】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9． 故选：B． 【变式3-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 【变式3-2】（24-25高二上·福建浦城·期中）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设右焦点为，则，则， 依题意有， ， （当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9. 【变式3-3】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 【题型四 求双曲线的标准方程】 待定系数法求双曲线标准方程 【例4】（24-25高二上·河南郑州·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为.故选：A. 【变式4-1】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和，解得， 故双曲线方程为，故选：A 【变式4-2】（24-25高二上·黑龙江黑河·月考）以和为渐近线，且经过点的双曲线标准方程是 . 【答案】 【解析】渐近线为的双曲线可设为， 又双曲线经过点，代入曲线解得. 所以，双曲线的标准方程为. 【变式4-3】（24-25高二上·江西南昌·期中）求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中） 则，∴， 且离心率为，∴ ∴ 故所求的椭圆的标准方程为 （2）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且. 设双曲线的标准方程为， 则有，，解得，. 故所求双曲线的标准方程为. 【题型五 双曲线方程的参数问题】 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 【例5】（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为．故选：B. 【变式5-1】（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则，解得， 所以实数m的取值范围是故选：C 【变式5-2】（24-25高二上·湖北孝感·月考）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得解得，故选：B． 【变式5-3】（24-25高二下·重庆渝中·月考）（多选）若方程表示的曲线为．给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BD 【解析】当时曲线表示圆，A选项错误. 若曲线表示双曲线，则或 所以当或时，曲线表示双曲线，B选项正确. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，∴C选项错误. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则D选项正确.故选：BD. 【题型六 与双曲线有关的轨迹问题】 与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义． 【例6】（24-25高二上·辽宁大连·期末）与两圆和都外切的圆的圆心在（    ） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．两支双曲线上 D．一条抛物线上 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 方程可化为 圆的圆心为，半径， 设与圆和圆都外切的圆的圆心为，该圆的半径为， 则，， 所以，且， 所以点的轨迹为以，为焦点的双曲线左支，故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与圆的位置关系可得，， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支，故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为.故选：A. 【变式6-3】（25-26高二上·陕西西安·月考）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 【题型七 由双曲线的方程研究几何性质】 先将方程化为标准形式，再根据标准方程确定“定位参数”（焦点位置）和“定量参数”（），最后代入公式计算离心率、渐近线等几何性质，关键是避免参数混淆和符号错误． 【例7】（24-25高二下·重庆·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线，则，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：B. 【变式7-1】（24-25高二下·广东汕头·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意，又，所以，故，所以， 所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为， 则焦点到渐近线的距离为.故选：B. 【变式7-2】．（24-25高二上·湖南·期中）已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．21 B．19 C．13 D．11 【答案】B 【解析】由题意，解得， 所以.故选：B. 【变式7-3】（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线定义知，又，则，， 在中，，，则， 所以，可得，则， 所以的渐近线方程为.故选：C. 【题型八 求双曲线离心率的值或范围】 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 【例8】（24-25高二下·广西贵港·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得得， 在中，由余弦定理得， 得，则， 得（负值舍去）．故选：C 【变式8-1】（24-25高二下·安徽怀宁·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设内切圆圆心为，三个切点分别为， 如图，由切线长定理可得， 即 ，圆与轴切于左端点．内切圆半径． 设，， ， •， ，，， 由勾股定理，整理得， 所以，解得，即或（舍去）， 所以.故选：D. 【变式8-2】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ，即 或 ， 又 ，所以，故选：D 【变式8-3】（24-25高二下·云南昭通·期中）记双曲线的离心率为e，若直线与双曲线C有公共点，则离心率的取值范围为 ．（请用区间表示） 【答案】 【解析】双曲线的渐近线的斜率， 若过原点的直线与双曲线C有公共点， 则直线的斜率小于，即，则， 所以离心率的取值范围是. 【题型九 直线与双曲线的位置关系】 直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志． 【例9】（25-26高二上·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【答案】0或1 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 【变式9-1】（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【解析】因为双曲线的离心率为，且右焦点为， 所以，所以，， 所以的坐标为，且双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以直线与双曲线的交点个数为2个．故选：C 【变式9-2】（24-25高二上·广东深圳·月考）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【解析】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限， 和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图： 所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条： 一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线.故选：C 【变式9-3】（24-25高二下·安徽安庆·月考）（多选）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】联立，消去得. 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以方程有一正一负根，设这两根分别为、， 所以，整理得，解得. 所以的取值范围为，故选：BCD. 【题型十 直线与双曲线的交点及弦长】 “先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况． 【例10】（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， .故选：B 【变式10-1】（24-25高二下·广西南宁·月考）焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有 条. 【答案】5 【解析】因为实轴长为，虚轴长为，所以， 双曲线为，右焦点 设直线与双曲线交于， 当直线斜率不存在时，直线方程的方程为， 令，则，得，此时弦长为，不符合题目； 当直线斜率存在时，设直线方程为 联立，可得， ，解得且 ， 解得或， 过右焦点共有3条直线符合条件； 所以根据对称性可知过左焦点与相交所得弦长为4的直线有条. 综上，总共有5条直线符合条件 【变式10-2】（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为双曲线的焦距为，所以，即， 又，所以，解得， 则双曲线的方程为. （2）由题意，直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 设，，此时， 由韦达定理得，， 所以. 【变式10-3】（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的离心率为，虚轴长为4. (1)求的方程； (2)直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由题意可得，解得， 故； （2）设，， 由，可得， 则有，解得且， ，， ， 化简得，即， 解得或， 故直线的方程为或. 【题型十一 双曲线的中点弦问题】 与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 【例11】（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）.故选：B 【变式11-1】（24-25高三下·湖南永州·月考）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，则中点坐标为 ∴，则， ∴， A选项知，则，则直线， 则整理得， 此时，这样的点不存在，舍去； B选项知，则， 则直线，则整理得， 此时，这样的点不存在，舍去. C选项知，则，则直线， 则整理得， 此时，这样的点存在. A选项知，则，则直线， 因为，所以直线是曲线的一条渐近线， 故这样的点不存在，舍去.故选：C. 【变式11-2】（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析；(2) 【解析】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即， 验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 【变式11-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可设椭圆方程，焦距为， 易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即， 又椭圆C经过点， 根据椭圆的定义可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为； （2）易知点在椭圆内部，设，则 ，作差得， 则， 所以，则直线l的斜率为， 由点斜式可知直线l的方程为 所以直线l的方程为：. 【题型十二 双曲线的综合应用】 【例12】（25-26高三上·河北保定·月考）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则，所以. 【变式12-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知点，为双曲线C：（，）上两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）将，的坐标代入双曲线C的方程，可得，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设，，线段的中点， 联立，消去整理得， 所以，即且①， 所以，， 所以，. 因为，所以， 所以， 所以②. 又③， 由①②③得或， 所以实数m的取值范围是. 【变式12-2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）由题意可设双曲线方程为，双曲线右焦点为， 双曲线过点，且焦点到渐近线的距离为1， 根据题意可知渐近线方程为， 根据右焦点为到直线距离， 又因点在双曲线上，所以代入可得，解之可得， 故双曲线方程为. （2）设，则， 将直线与双曲线联立可得，消去可得 根据韦达定理可知，， 所以， 则， ，所以 解之可得， 直线方程为， 将已知代入， 化简可得，所以直线过定点，定点为. 【变式12-3】（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，它的一条渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，直线与交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，所以， 所以的标准方程为. （2）由题意知，点的直线斜率必不为， 设直线方程为，，， 联立方程，消去得，， ， 由韦达定理得，， 由题意知，，，， 所以，解得， 设直线方程为，直线方程为， 联立直线方程，消去得， 即， 又， 所以， 所以点在定直线上. 【易错1】定义应用时忽略“绝对值”致错 点拨：双曲线的定义是“平面内与两焦点距离之差的绝对值等于”，若漏掉“绝对值”，轨迹会变成双曲线的一支，而非完整双曲线． 【典例】（2025高二上·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（    ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 【答案】B 【解析】因, 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支.故选：B． 【变式】（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为，故选：D. 【易错2】忽略双曲线方程“标准”的前提致错 点拨：遇到非标准形式时，直接套用顶点在原点的性质，忘记焦点、顶点等坐标需要结合“中心平移”来计算，导致位置偏差． 【典例】（24-25高二上·浙江杭州·期中）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知双曲线标准方程为，则， 则双曲线的焦点坐标为.故选：C 【变式】（24-25高二下·浙江杭州·月考）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件.故选：A 【易错3】与直线联立求解时漏判特殊情况致错 点拨：联立双曲线与直线方程时，只关注一元二次方程的判别式，忽略直线与渐近线平行的情况——此时方程退化为一元一次方程，仅有一个交点（并非相切，而是“相交于一点”），容易误判为相切或无交点． 【典例】（24-25高二下·陕西西安·月考）已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 . 【答案】 【解析】联立与，解得，这表明满足题意的直线斜率一定存在， 设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为， 联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 【变式】（23-24高二上·吉林长春·期中）设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．若，点 (1)求双曲线的方程； (2)，斜率为的直线过点，直线与双曲线只有一个交点，求的值 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为． （2）（i）令，解得，所以的值可以是， （ii）当时，过点的斜率为的直线的方程为， 联立双曲线方程与直线方程得，化简得， 因为直线与双曲线只有一个交点， 所以，解得； 综上所述，的值为或. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $