专题03 期中真题百炼通关69题23大压轴题型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题03 期中真题百炼通关（69题23大压轴题型） 拔高·压轴破难 题型1 换元法解一元二次方程 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数压轴 题型3 一元二次方程根与系数的关系压轴 题型4 一元二次方程的新定义问题 题型5 反比例函数的图象与性质综合 题型6 反比例函数与一次函数综合 题型7 反比例函数与几何问题综合 题型8 圆中的最值问题（含隐圆） 题型9 圆的综合性质 题型10 圆的相关计算 题型11 圆与函数综合 题型12 二次函数的图象与性质压轴 题型13 二次函数的平移问题 题型14 二次函数的翻折问题 题型15 二次函数的45度角问题 题型16 二次函数的面积问题 题型17 二次函数的新定义问题 题型18 二次函数的存在性问题 题型19 相似三角形的判定与性质压轴 题型20 相似三角形的动点问题 题型21 相似三角形与函数综合 题型22 相似三角形的模型问题 题型23 相似三角形的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 换元法解一元二次方程（共3小题） 【易错】整体换元简化高次 / 复合方程，换元后回代，检验增根与取值限制 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，其中为实数且，，则____________． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 3．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数压轴（共3小题） 【易错】结合二次项系数、判别式，分类讨论，结合不等式组确定参数范围 4．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 5．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 6．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）一元二次方程的判别式，当的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．若该全整根方程的“关爱码”是，求的值． (2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，求该方程的“关爱码”． (3)已知一元二次方程是“全整根方程”．若方程是它的“全整根伴侣方程”，且均为正整数，请直接写出的值． 题型3 一元二次方程根与系数的关系压轴（共3小题） 【易错】韦达定理整体代换，先验证 Δ≥0，结合代数式变形求参数最值 7．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则___________； (2)已知实数m，n满足求的值； (3)若a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 8．（26-27九年级上·福建三明·期中）关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 9．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数满足，则的值是___________． 题型4 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 【易错】读懂自定义规则，转化为方程，分类讨论，检验结果是否符合定义 10．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，则m可取的值有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．（26-27九年级上·河南许昌·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的“镜像值”是___________； (2)判断代数式是否有“镜像值”，若有，求出此代数式的“镜像值”；若没有，则说明理由； (3)若关于的代数式有两个“镜像值”，且两个“镜像值”的差的绝对值为整数，求正整数的值． 12．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 题型5 反比例函数的图象与性质综合（共3小题） 【易错】利用 k 几何意义，结合图像分区间比较函数值，分析参数取值范围 13．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 15．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 题型6 反比例函数与一次函数综合（共3小题） 【易错】联立求交点，图像法比较函数大小，结合线段、面积求参数 16．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于第二、四象限内的，两点，与轴正半轴交于点，过点作轴，垂足为点，的面积为，点的横坐标为，． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，使，请直接写出点的坐标． 17．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． (2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． (3)如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 题型7 反比例函数与几何问题综合（共3小题） 【易错】结合坐标、面积模型，构造相似，利用 k 不变，设点进行代数计算 19．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，分别与，交于点、，若，，则点的坐标为_______． 20．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结，若的面积为18，则的值为__________． 21．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型8 圆中的最值问题（含隐圆）（共3小题） 【易错】定点定长识别隐圆，利用点圆、线圆距离，求线段长最值 22．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，为上一点，，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为，则的取值范围是__________． 23．（26-27九年级上·山东日照·期中）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 24．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型9 圆的综合性质（共3小题） 【易错】整合垂径、圆周角、切线性质，导角证相似，结合勾股定理计算 25．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 26．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 27．（2026·四川内江·模拟预测）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 题型10 圆的相关计算（共3小题） 【易错】弧长扇形面积、线段计算，构造直角三角形，结合三角函数求值 28．（2026·江苏泰州·二模）如图，过外一点作圆的切线，切点为，弦，垂足为，与相交于点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 29．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 30．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 题型11 圆与函数综合（共3小题） 【易错】坐标结合圆性质，利用半径相等列方程，求交点、线段最值 31．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）如图，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点（在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点”，把的值称为关于直线的“远离数”． (1)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为的与两坐标轴交于点、、、． ①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点______（填“”、“”、“”或“D”），关于直线的“远离数”为______； 若直线的函数表达式为．求关于直线的“远离数”； (2)在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”．且关于直线的“远离数”是，求直线的函数表达式． 32．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、． (1)若、，求的坐标； (2)在轴上取一点，连接、，若直线的函数表达式为，求直线的函数表达式； (3)当时，过、、三点的圆交轴于点，连接、，当最小时，请直接写出的值和的最小值． 33．（2026·江苏连云港·模拟预测）在四边形中，，，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，使点在轴上． (1)求过三点的抛物线的函数表达式； (2)求的外接圆的圆心的坐标，并求的半径； (3)过的顶点作一条直线，将分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则这样的直线最多可以画___________条； (4)设为射线上任意一点，点为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则说明理由． 题型12 二次函数的图象与性质压轴（共3小题） 【易错】由图像判断系数符号，利用对称轴、顶点，数形结合求参数范围 34．（2026·江苏南京·三模）已知二次函数（为常数，且）的图象为． (1)图象必经过两个定点的坐标分别是__________，__________； (2)若图象经过点，其与轴的交点的纵坐标为． （I）当时，的取值范围是__________； （Ⅱ）下列关于随变化趋势的描述：①当时，随的增大而减小；②当时，随的增大而增大；③当时，随的增大先增大后减小；④当时，随的增大先增大后减小．其中所有正确结论的序号是__________． 35．（2026·江苏泰州·三模）已知抛物线（为常数）是由抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的． (1)求，的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①用含与的式子表示； ②若（为常数），且，随的增大而增大，求的最小值． 36．（2026·江苏盐城·一模）定义：在平面直角坐标系中，点在某函数图象上，且满足，（是常数，），则称点是该函数图象的“距点”． 例如：点是函数图象的一个“距点”． (1)①在点，，中，是反比例函数图象的“距点”的是点______； ②在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是______； (2)已知一次函数的图象上有且只有一个“距点”，求的值； (3)已知二次函数图象上存在“距点”，请直接写出的取值范围． 题型13 二次函数的平移问题（共3小题） 【易错】顶点式分析平移，抓住 a 不变，平移后解析式，结合存在性求解 37．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，将抛物线向下平移4个单位长度得到新的抛物线，点，和点，分别在抛物线和抛物线上．若点的横坐标均为4，点的横坐标均为，则线段与两条抛物线围成的阴影部分的面积是___________． 38．（2026·江苏淮安·二模）在平面直角坐标系中，对“中值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的和的一半称为点的“中值”记为．函数图象上所有点的中值中最大值称为函数的“美中值”，最小值称为函数的“弱中值”．例如：点在函数（）的图象上，点的“中值”为，函数（）图象上所有点的“中值”可以表示为，当时，最大值为，最小值为，所以函数（）的“美中值”为6，“弱中值”为3． (1)点的“中值”为_______． (2)已知二次函数， ①当时，求二次函数的“美中值”和“弱中值”． ②已知线段，点，点，若以为横坐标，二次函数图象上所有点的中值为纵坐标的点形成的图形，沿轴上下平移后与线段只有一个交点，直接写出的取值范围或所有可能的值． (3)若二次函数（）的图象顶点在“中值”为2的函数图象上．当时，设二次函数（）的“美中值”为，“弱中值”为，且，则的值为_______． 39．（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 题型14 二次函数的翻折问题（共3小题） 【易错】翻折前后对称，求翻折后解析式，分段函数，结合图像讨论交点 40．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（a为常数，且）． (1)证明：抛物线C与x轴一定有两个公共点； (2)若抛物线C与直线相交于A，B两点，且，求抛物线C的解析式； (3)将抛物线C在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的图象记为．若直线与始终有3个公共点，请直接写出a的取值范围． 41．（2025·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)______； (2)是该二次函数的图像上一点，若，求点的横坐标． (3)若将该抛物线在间的部分记为图像，并将图像在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图像，记这个函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 42．（2026·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线（，，为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线(为常数，)下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”． (1)求该抛物线的表达式； (2)若时，直线与图象有三个交点，求的值； (3)若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围． 题型15 二次函数的45度角问题（共3小题） 【易错】遇 45° 构造等腰直角三角形，作垂线，转化坐标或构造相似求解 43．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若此抛物线上有一动点，其横坐标为，当在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为 时，求的值； (3)设此抛物线与轴正半轴的交点为，点为抛物线顶点，连接，若点在线段上运动，连接，点为点关于直线的对称点，射线与抛物线交于点，当直线与直线所夹锐角为时，求点的横坐标． 44．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图1，抛物线与直线交于两点，． (1)求抛物线与直线的函数表达式； (2)将直线沿着轴向上平移个单位，与轴、轴分别交于点，．直线对应的函数表达式记作．若有且仅有唯一的的值，使得，求的值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型16 二次函数的面积问题（共3小题） 【易错】割补法表示图形面积，铅锤高模型，求面积最值或面积定值 46．（2026·江苏镇江·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； (3)如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 47．（2026·江苏苏州·一模）已知抛物线（为常数，且）与轴交于，两点，其中点的坐标是，与轴交于点，点的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，连接，，． ①如图1，若，求的值． ②如图2，延长交轴于点，连接，若线段与轴交于点．记，，，的面积分别为，，，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 48．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求此时点的坐标； (4)若点在抛物线上，在（3）的条件下，当是直角三角形时，直接写出点的横坐标___________． 题型17 二次函数的新定义问题（共3小题） 【易错】理解新概念，转化为函数不等式，数形结合分类讨论检验解 49．（2026·江苏扬州·三模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 50．（2026·江苏南通·一模）定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 51．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”． (1)如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上； (2)已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由； (3)抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (4)已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________． 题型18 二次函数的存在性问题（共3小题） 【易错】探究特殊三角形、四边形存在，设点坐标，列方程并检验取舍 52．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________． 53．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 54．（26-27九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 题型19 相似三角形的判定与性质压轴（共3小题） 【易错】挖掘等角证明相似，利用比例线段，结合勾股、三角函数计算 55．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，点M在边上，将沿翻折至处，延长交边于点N，连接．对角线分别交，于E，F两点． (1)________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 56．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）如图，已知中，，，，是线段上的一点，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接； (1)当为何值时，？ (2)在（1）的条件下，若点是上的一点，且，求的最小值． 57．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）正方形边长为6，若点为边上一动点，连结，将沿翻折得到，连结并延长交射线于点． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当经过中点时，连结．求证：； (3)当、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点时，求的长． 题型20 相似三角形的动点问题（共3小题） 【易错】动点产生分类讨论，找不变角，设时间表示边长，列比例方程 58．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，中，，，，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点，移动的时间为秒． (1)当为何值时，与相似？ (2)当为何值时，的面积为个平方单位？ 59．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，两点同时出发，设运动时间为，是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与边的位置关系是 ． (2)连接，则长的取值范围是 ． (3)如图2，连接，当与线段相切时，求t的值． 60．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，连接，，．设点运动的时间为． (1)若，． ①当时，则___________ ②当时，求的值； (2)当时，在，两点运动过程中，若是以为一腰的等腰三角形，且，求的值． 题型21 相似三角形与函数综合（共3小题） 【易错】坐标背景下找相似，用点坐标表示线段，建立函数求参数范围 61．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，连接． (1)填空：点A坐标为__________，点B坐标为__________； (2)如图1，点P为线段上一点，连接，若，且点C的横坐标为，求线段的长； (3)如图2，若点P为直线上一点，记的面积为，的面积为，的面积为．若，求点的坐标． 62．（2026·江苏常州·模拟预测）【阅读理解】对于任意正实数a、b， ∵， ∴只有当时，等号成立． 【数学认识】： 在（a、b均为正实数）中，若ab为定值，则，只有当时，有最小值． 【解决问图】： (1)若时，当 时，有最小值为 ． (2)如图，已知点A是反比例函数的图象在第一象限上的一动点，连接并延长交另一支于点B．以为边作等边，点C在第四象限，记点C的运动轨迹为l．过点A作轴交l于点D，过点A作轴于点M，过点D作轴于点N，求四边形周长的最小值． 63．（2026·江苏盐城·三模）如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点在直线AC上方的抛物线上时，连接、，交于点， 过点作轴的垂线交于点，求的最大值； 若 ，则的取值范围__________； (3)如图2，将抛物线的顶点平移到（0，1），此时新抛物线交轴于、两点（在的左侧），若点为轴上方新抛物线上任意一点，过作直线（直线不与轴垂直）与新抛物线仅有一个公共点，在点的上方是否存在一点，使得直线与、分别交于点、，且为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 题型22 相似三角形的模型问题（共3小题） 【易错】识别一线三等角、母子型等模型，导角，利用相似比转化线段 64．（2026·江苏无锡·二模）在矩形中，点为中点，点为中点，连接交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 65．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 66．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 题型23 相似三角形的新定义问题（共3小题） 【易错】读懂新定义，转化为相似判定条件，多情况分类，验证合理性 67．（2026·江苏无锡·二模）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，则 ； (2)如图，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图所示，在中，，，交于点E，请画出所有以为边的垂中平行四边形，要求：点C在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； 若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点P，连接，请直接写出的值． 68．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： (1)已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； (2)如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； (3)如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； (4)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 69．（24-25九年级上·四川成都·期中）【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题03 期中真题百炼通关（69题23大压轴题型） 拔高·压轴破难 题型1 换元法解一元二次方程 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数压轴 题型3 一元二次方程根与系数的关系压轴 题型4 一元二次方程的新定义问题 题型5 反比例函数的图象与性质综合 题型6 反比例函数与一次函数综合 题型7 反比例函数与几何问题综合 题型8 圆中的最值问题（含隐圆） 题型9 圆的综合性质 题型10 圆的相关计算 题型11 圆与函数综合 题型12 二次函数的图象与性质压轴 题型13 二次函数的平移问题 题型14 二次函数的翻折问题 题型15 二次函数的45度角问题 题型16 二次函数的面积问题 题型17 二次函数的新定义问题 题型18 二次函数的存在性问题 题型19 相似三角形的判定与性质压轴 题型20 相似三角形的动点问题 题型21 相似三角形与函数综合 题型22 相似三角形的模型问题 题型23 相似三角形的新定义问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错·固本强基 题型1 换元法解一元二次方程（共3小题） 【易错】整体换元简化高次 / 复合方程，换元后回代，检验增根与取值限制 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程求解即可； （3）将所求方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得， 化简，得； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得； （3）解：将所求方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大2， ∴的两个实数根分别是，． 3．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根______，______；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为______，请证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)，（两空顺序可互换）；特殊关系为：一元二次方程（，）的两根与其“友好方程”的两根互为倒数. 证明：设是方程的根. ∵， ∴. 将两边同时除以，得 ， ∴是方程的根. 同理可证，“友好方程”的任意一个根的倒数也是原方程的根. ∴两方程的两根互为倒数. (3)方程的两根为，. 【分析】（1）根据“友好方程”的定义，互换原方程的二次项系数与常数项，保持一次项系数不变即可得到结果； （2）先求解“友好方程”的两根，对比原方程根的特征得到倒数关系的猜想，再利用方程根的定义证明结论； （3）将待求方程变形为“友好方程”的结构，通过换元结合（2）的倒数关系求解． 【详解】（1）解：根据“友好方程”的定义，方程中，，， 互换与的值，保持不变，得到其“友好方程”为； （2）解：方程的“友好方程”为， 整理得， 因式分解得， 解得，； 证明部分略； （3）解：整理方程，得 ， 设，则方程变为， 两边乘得， ∵方程的两根为，，且是的“友好方程”， 根据（2）的结论，“友好方程”的两根是原方程两根的倒数， ∴，， 当时，，解得； 当时，， 解得， 综上所述，方程的两根为，． 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数压轴（共3小题） 【易错】结合二次项系数、判别式，分类讨论，结合不等式组确定参数范围 4．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的两个一元二次方程和有且只有一个公共根，则m的值为________． 【答案】或 【分析】设公共根代入两个方程，消去的相关项求出公共根，回代求，再验证条件即可． 【详解】解：设两个方程的公共根为，∵同时满足两个一元二次方程， ∴， 由②①得， 解得：或． 当时，代入得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为两个相等的，两方程只有一个公共根，符合条件． 当时，代入得， 整理得，解得． 验证：当时，变为， 解得：方程根为和， 变成， 解得：方程根为和，两方程只有一个公共根，符合条件． ∴的值为或． 5．（26-27九年级上·江苏淮安·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1)①0；②5或 (2)或 (3)4 【分析】（1）①当时，方程为，再根据“全整根方程”的“关爱码”的定义求解即可；②根据“全整根方程”的“关爱码”的定义以及该全整根方程的“关爱码”为列关于m的方程求解即可； （2）先根据“全整根方程”的定义可得是完全平方数，再结合确定m的值，再根据“关爱码”的定义求解即可； （3）先分别求出两个方程的“关爱码”，再根据“关爱码”相等得到，然后代入所求代数式化简即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为，则该全整根方程的“关爱码”为； ②关于x的一元二次方程的“关爱码”为， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”， ∴根的判别式是完全平方数， ∵， ∴当时，是完全平方数，符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，是完全平方数，符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，原方程为，此时“关爱码”为； 当时，原方程为，此时“关爱码”为； 综上，该方程的“关爱码”为或． （3）解：关于x的一元二次方程的“关爱码”为； 关于x的一元二次方程的“关爱码”为； 所以，整理得， ． 6．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）一元二次方程的判别式，当的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是当一元二次方程的根都为整数时，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”．若该全整根方程的“关爱码”是，求的值． (2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，求该方程的“关爱码”． (3)已知一元二次方程是“全整根方程”．若方程是它的“全整根伴侣方程”，且均为正整数，请直接写出的值． 【答案】(1)或5 (2) (3)2 【分析】（1）根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程中， 由题意得， 解得：， 则当或5时，该全整根方程的“关爱码”是； （2）解：∵， ， ， ， 其中完全平方数只有， 当时，， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为； （3）解：方程的“关爱码”， 方程的“关爱码”， ∵方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ， 或， ∵均为正整数， ∴不合题意， ． 题型3 一元二次方程根与系数的关系压轴（共3小题） 【易错】韦达定理整体代换，先验证 Δ≥0，结合代数式变形求参数最值 7．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则___________； (2)已知实数m，n满足求的值； (3)若a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________． 【答案】(1)3， (2)或2 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得，，可得出或，再根据根的判别式可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知：； （2）解：当时， ∵实数m、n满足， ∴m、n可看作方程的两根， ∴， ∴； 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：∵a，b是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得或， 又 当时，，方程无实根，舍去； 当时，，符合题意， ∴． 8．（26-27九年级上·福建三明·期中）关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 【答案】1，2 【分析】根据题意得出，整理得，设方程的两个根为s，t，根据根与系数的关系可得出，，表示出两个不动值的差的平方，根据整数，a为正整数求得合适的a的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 设方程的两个根为s，t， 则，， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴或． 9．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数满足，则的值是___________． 【答案】 【分析】将第二个方程整理得到和满足同一个一元二次方程，结合得到和是该方程的两个不等实根，利用根与系数的关系代入化简即可得结果． 【详解】解：∵ 代入，得左边， ∴ ， 对两边同时除以， 得， ∵ ，且，即， ∴ 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， 拆分所求式子：． 题型4 一元二次方程的新定义问题（共3小题） 【易错】读懂自定义规则，转化为方程，分类讨论，检验结果是否符合定义 10．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，则m可取的值有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】设两方程的公共根为 ，由方程 左边因式分解，得公共根只能是 或 ；分两类把公共根代入方程 求出 的值，再逐一检验两方程是否恰有一个公共根，从而确定 可取值的个数． 【详解】解：设公共根为 ， 由 ，得 ，即 ， 或 ． ①当 时，代入 ，得 ，即 ，解得 或 ； 当 时，方程 的根为 ，，方程 的根为 ，，两方程有且只有一个公共根； 当 时，方程 的根为 ，，方程 的根为 ，，两方程有且只有一个公共根； ②当 时，代入 ，得 ，即 ， 分解因式得 ，解得 或 ； 当 时，，方程 的根为 ，， 不是它的根，两方程有且只有一个公共根； 当 时，，方程 的根为 ，， 不是它的根，两方程有且只有一个公共根； 综上， 可取的值有 ，，，，共 个． 11．（26-27九年级上·河南许昌·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的“镜像值”是___________； (2)判断代数式是否有“镜像值”，若有，求出此代数式的“镜像值”；若没有，则说明理由； (3)若关于的代数式有两个“镜像值”，且两个“镜像值”的差的绝对值为整数，求正整数的值． 【答案】(1)2 (2)代数式没有“镜像值” 理由如下： 假设代数式的“镜像值”为， 则． 整理得． 这里， ． 该方程没有实数根． 代数式没有“镜像值” (3) 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）假设代数式的“镜像值”为，根据题意列方程，进而结合根的判别式作答即可； （3）设代数式的“镜像值”为，得到，求解后计算的值，根据两个“镜像值”的差的绝对值为整数得到的取值范围，进而取使为完全平方数的值，求解后检验即可． 【详解】（1）解：由题意可知代数式的“镜像值”使得成立， 解得：； （2）略 （3）解：设代数式的“镜像值”为， 则． 整理得． 为正整数，代数式有两个“镜像值”， ，方程是一元二次方程，且， 解得：， 方程的两个根即为代数式的“镜像值”． 设这个方程的两个根为， 则 ． 两个“镜像值”的差的绝对值为整数， 是整数． 为正整数， ，即． ． 解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． 12．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 【答案】1 【分析】利用公式法解方程得到或，根据“邻根方程”的定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的方程是“邻根方程”， ∴关于的方程有两个实数根， 解方程得或， 由“邻根方程”的定义可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴t的最大值为． 题型5 反比例函数的图象与性质综合（共3小题） 【易错】利用 k 几何意义，结合图像分区间比较函数值，分析参数取值范围 13．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)或； (4)或或． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数解析式，然后联立解方程即可； 根据列出方程，然后解方程即可； 根据点，的坐标，然后结合图象即可求解； 分为边及为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为； （2）解：设直线与轴的交点为，如图， 令时，， 解得， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的坐标为，， ∴由图象可知，不等式的解集是或； （4）解：设点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况考虑： 为边，如图， 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 为对角线，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述：当，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点的坐标为或或． 15．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 【答案】4 【分析】过A作于E，作轴于F，延长交x轴于G，根据三角形的面积可求出，根据三角形内角和定理、等角对等边等得出，根据平行四边形的性质、平行线的性质以及可证明，得出，则可设，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：过A作交的延长线于E，作轴于F，延长交x轴于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与x轴平行， ∴， ∴， ∵与y轴平行，x轴轴， ∴轴， 又与x轴平行， ∴， 又轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， 设，则， ∵反比例函数的图像经过A、D两点， ∴， 解得， ∴． 题型6 反比例函数与一次函数综合（共3小题） 【易错】联立求交点，图像法比较函数大小，结合线段、面积求参数 16．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于第二、四象限内的，两点，与轴正半轴交于点，过点作轴，垂足为点，的面积为，点的横坐标为，． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标或 【分析】（1）根据，得到，则反比例函数解析式为；再求出和，代入计算即可； （2）先求出，再设，则，，，由，得到，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，轴，的面积为，点在第二象限， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为； ∵点的横坐标为，且在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 把，代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：直线交轴于点，则， ∵过点作直线轴，直线上存在点， ∴设，则，，， ∵， ∴， ∴， 整理得 解得， ∴点的坐标或． 17．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2)存在满足条件的，坐标为 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答． （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （2）解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． （3）解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 18．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点A，B是“p瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号） ①点与； ②点与； ③点与． (2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点A，B是“瞬移点”． ①k的值为________；②若的面积为4，求m的值． (3)如图2，已知，D为反比例函数上一点．若且，E为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出m的值． 【答案】(1)②③ (2)①；② (3)存在，或 【分析】（1）根据新定义逐个验证，即可求解． （2）①设，根据，在直线上得出，根据，是“瞬移点”得出，即可得出； ②联立，根据根与系数的关系可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，得出，即可建立方程求解． （3）根据新定义求得，根据正方形的性质以及全等三角形的性质得出的坐标，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ①，②，③， ∴是“2瞬移点”的有②③； （2）解：①设， ∵，在直线上， ∴ ∴， ∵，是“瞬移点”， ∴， ∴， ②联立 消去y得，， ，， ， ∵有两个交点A，B， ∴，即， 又∵B在A的右侧，则， ， 如图所示，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D， ∵A，B在第一象限，则， ， ； 所以， ， 经检验是原方程的解， ∴m的值为3； （3）解：存在， ∵，， ①当时，解得：，满足， 此时， 当在第三象限时，如图所示， 过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在第四象限时， 设，则与关于对称， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②当时，解得：，满足，结论同①， ∵不能为对角线，且，不存在其他情形， 综上所述，或． 题型7 反比例函数与几何问题综合（共3小题） 【易错】结合坐标、面积模型，构造相似，利用 k 不变，设点进行代数计算 19．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，分别与，交于点、，若，，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】设，利用矩形性质写出坐标，根据、在反比例函数上列方程求出与；再由点纵坐标等于长，代入反比例解析式求横坐标，得到坐标． 【详解】解：四边形是矩形，，设， ，，， ， ，， 是中点， ， 两点都在上， ， ， ， ， 点在上，的纵坐标为， ， ， ∴点的坐标为 20．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结，若的面积为18，则的值为__________． 【答案】 【分析】设，根据矩形性质和证明是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，得到；设，用表示出和的长，根据的面积公式建立关于的方程求解 ． 【详解】设． ∵四边形是矩形， ∴，轴． ∵， ∴是等腰直角三角形 ， ∴． ∵轴 ， ∴， ∵点在同一直线上， ∴． 在中，， ∴， ∴． 设，其中， ∵点在反比例函数图象上 ， ∴． ∵在轴负半轴上，轴， ∴，，， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 21．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 题型8 圆中的最值问题（含隐圆）（共3小题） 【易错】定点定长识别隐圆，利用点圆、线圆距离，求线段长最值 22．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，为上一点，，为圆上一动点，为的中点，连接，若的半径为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，，由中位线的性质可得，则点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的圆，再根据圆外一点到圆上一点最大距离、最小距离进行计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴为定值，， ∴点的移动轨迹为以点为圆心，为半径的圆， ∴当点在线段上时，最小；当点在线段的延长线上时，最大； ∵， ∴， 在中，， ∴最大为，最小为， ∴． 23．（26-27九年级上·山东日照·期中）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，得出，点D在以为直径的圆上运动，当点D在与的交点处时，最短，求出，进而求出结论． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示， ， ， ， ， ， ∴的最小值为2． 24．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 题型9 圆的综合性质（共3小题） 【易错】整合垂径、圆周角、切线性质，导角证相似，结合勾股定理计算 25．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； (2)6 【分析】（1）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （2）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 26．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 27．（2026·四川内江·模拟预测）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【答案】(1)证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． (3) 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． 题型10 圆的相关计算（共3小题） 【易错】弧长扇形面积、线段计算，构造直角三角形，结合三角函数求值 28．（2026·江苏泰州·二模）如图，过外一点作圆的切线，切点为，弦，垂足为，与相交于点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：是的切线， ． ∵弦，， ． 在与中， ， ， ． 是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据垂径定理得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵弦， ． ， ． ． ． ． ． ， ∴，解得（负值舍去）． ∴的长为． 29．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵为直径作， ∴， ∴，即， 又是的直径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据等式性质得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据三角形外角的性质求出，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，则，证明是等边三角形，得出，进而求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 30．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线． (2)． 【分析】本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1)连接，利用得，结合平分得，从而推出，再由得进而推出即可． (2) 要求阴影部分面积，需先求扇形的面积和的面积，再用扇形面积减去三角形面积即可．利用，得，，进而求出，，算出，再求出半径，分别计算，，最后求出阴影面积即可． 【详解】（1）略 （2）是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ． 题型11 圆与函数综合（共3小题） 【易错】坐标结合圆性质，利用半径相等列方程，求交点、线段最值 31．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）如图，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点（在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点”，把的值称为关于直线的“远离数”． (1)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为的与两坐标轴交于点、、、． ①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点______（填“”、“”、“”或“D”），关于直线的“远离数”为______； 若直线的函数表达式为．求关于直线的“远离数”； (2)在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”．且关于直线的“远离数”是，求直线的函数表达式． 【答案】(1)①；；②关于直线的“远离数”为 (2) 【分析】（1）①利用“远点“和“远离数”的定义解答即可； 利用函数的解析式求得与坐标轴的交点坐标，再利用直角三角形的边角关系定理和含角的直角三角形的性质求得线段，进而得到线段，的长度，用“远离数”的定义解答即可； （2）设直线的函数表达式为，利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：当时，过点作于点，过点作轴于点，利用“远离数”的定义求得线段的长度，得到为等腰直角三角形，过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，设，利用全等三角形的判定与性质得到，，进而得到，，列出关于，的方程组，解方程组得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可得出结论；当时，利用中的方法解答即可． 【详解】（1）解：①由题意得：关于直线的“远点”是点， 点的坐标为，的半径为， ，，， ， ， 关于直线的“远离数”为． 故答案为：；； 设直线分别交轴，轴于点，， 令，则， ， ． 令，则， 解得：， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 关于直线的“远离数”为； （2）设直线的函数表达式为， 当时， 由题意得：，，， ． 过点作于点，过点作轴于点，如图， ，， ，，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． 过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，设， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，． ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， ， ， 直线的函数表达式为； 当时， 由题意得：，，， ． 由知：， ， ， 为等腰直角三角形． 过点作轴于点，过点作轴于点，的延长线交的延长线于点，过点作轴于点，则，，，设， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，，，． ． ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 直线的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解决此类问题常用的方法． 32．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、． (1)若、，求的坐标； (2)在轴上取一点，连接、，若直线的函数表达式为，求直线的函数表达式； (3)当时，过、、三点的圆交轴于点，连接、，当最小时，请直接写出的值和的最小值． 【答案】(1)； (2)直线的表达式为； (3)；的最小值为． 【分析】待定系数法求解即可； 先利用直线解析式和抛物线解析式求出、两点的坐标，再求直线的解析式即可； 先求出，，设外接圆圆心，根据求点坐标，根据轴对称求最短值方法，设关于直线的对称点，当、、三点共线时，即值最小，据此求出直线解析式，将点坐标代入可求得的值，最后将的值代入、坐标即可求得即的最小值． 【详解】（1）解：将、代入， 得， ， ， ． （2）解：把代入， 得， ， 将其代入， 得， 解得， ， 将代入， 得， ， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入可得， ， 解得， 直线的解析式为． （3）解：当时，， ， 当时，可得， ， ，， 设的外接圆圆心为， 根据三角形外接圆性质可得，一定在的垂直平分线上， 可设， ， ， 解得， ， 设， ， ， 解得或（舍）， ， 设关于直线的对称点为，则， 且， 则当、、三点共线时，即的值最小， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的直线解析式为， 将代入得， ， ，，， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数与二次函数综合、二次函数的图像与性质、三角形外接圆性质、轴对称求最短距离，解题关键是根据三角形外接圆性质确定的坐标． 33．（2026·江苏连云港·模拟预测）在四边形中，，，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，使点在轴上． (1)求过三点的抛物线的函数表达式； (2)求的外接圆的圆心的坐标，并求的半径； (3)过的顶点作一条直线，将分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，则这样的直线最多可以画___________条； (4)设为射线上任意一点，点为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2)；的半径为 (3)7 (4)存在；，或；，或； ，或；，或 【分析】（1）过点D作轴于点I，由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为．再根据交点式即可求出过A、D、C三点的抛物线的解析式； （2）由外接圆知识知M为对称轴与中垂线的交点．由等腰直角三角形性质可得M点的坐标，连接，根据两点间距离公式求出，即为半径； （3）根据题意画出图形，即可得出答案； （4）分四种情况：当，点P在轴下方时，当，点P在x轴上方时，当，点P在x轴下方时，当，点P在x轴上方时，分别画出图形，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图1，过点D作轴于点I， ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴为：直线， ∴抛物线与x轴另一交点为， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵M为的外接圆的圆心 ∴M为对称轴与中垂线的交点， 过点O作于点N，如图1所示： ∵， ∴，平分， ∴垂直平分，， ∴与抛物线对称轴的交点即为点M， 如图1，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． （3）解：如图2，以D为顶角的顶点可以画等腰和；以A为顶角的顶点可以画等腰；以C为顶角的顶点可以画等腰；以为底边可以画等腰；以为底边可以画等腰；以为底边画等腰；因此这样的直线最多可以画7条； （4）解：在中，， ， ， ∵轴， ∴， 假设存在，显然，则或． 如图3，当，点P在轴下方时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则R点坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令， 解得：，（舍去）， ∴此时， ∴， 设， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 同理，当，点P在x轴上方时，直线解析式为：， 令， 解得：，， ∴此时P与A重合，即此时点P的坐标为， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 如图4，当，点P在x轴下方时， 设交y轴于H，抛物线的对称轴交于点E，连接， ∵点A与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 同理，根据，可得，此时直线的解析式为：， 联立， 解得： 或（舍去）， ∴， ∴， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当，点P在x轴上方时， 同理可得此时点H的坐标为， 根据点，可得，的解析式为， 联立， 解得： 或（舍去）， ∴， ∴， 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 即， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上所述，，或；，或； ，或；，或． 题型12 二次函数的图象与性质压轴（共3小题） 【易错】由图像判断系数符号，利用对称轴、顶点，数形结合求参数范围 34．（2026·江苏南京·三模）已知二次函数（为常数，且）的图象为． (1)图象必经过两个定点的坐标分别是__________，__________； (2)若图象经过点，其与轴的交点的纵坐标为． （I）当时，的取值范围是__________； （Ⅱ）下列关于随变化趋势的描述：①当时，随的增大而减小；②当时，随的增大而增大；③当时，随的增大先增大后减小；④当时，随的增大先增大后减小．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】(1)， (2)（I）；（Ⅱ） 【分析】（1）令的系数为，求得的值，进而求得定点坐标； （2）（I）求得临界值，代入求得二次函数解析式，进而令，求得的值，即可求解； （Ⅱ）分段讨论的范围，画出函数图象，根据抛物线的开口大小与的关系，得出的变化趋势，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴令，即，解得，， ∴，， ∴图象必经过两个定点的坐标分别是，； （2）解：（I）∵图象经过点，在反比例函数上，图象在第一、三象限 ∴当时，， ∵图象过定点、； ∴抛物线开口向上， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴当时，的取值范围是； （Ⅱ）二次函数， ∴对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点为， ∴， 由（1）可得当时，，抛物线的对称轴为轴， 对称轴， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴当时，抛物线开口变大，变小， 即随着的增大而减小， 又， ∴随的增大而减小，故正确； 如图，图像过定点、，以及， ∴抛物线开口向下，且随着的增大开口变小，对称轴， ∴， ∴当时，随着的增大而减小， 又， ∴当时，随的增大而减小，故错误； ∵图像过定点、， 当时，不在上，故错误； 如图，抛物线与双曲线在交于点，两点，点在点的左侧， ∵当时，， ∴在，之间， ∵，开口越小， 越小，开口越大，越大， 随着的增大，在范围内，在双曲线上从左往右运动， 当抛物线开口变大，点从点往右运动，即随着的增大，增大，此时增大， 当抛物线开口变小时，点从往右运动，即随着的增大，减小，此时减小， ∴随的增大先增大后减小，故正确． 35．（2026·江苏泰州·三模）已知抛物线（为常数）是由抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的． (1)求，的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①用含与的式子表示； ②若（为常数），且，随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1) ， (2) ① ；② 的最小值为 【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式，再根据平移规律得到平移后的函数解析式，由此 即可求解； （2）①根据题意，分别把点P，Q代入计算即可； ②根据题意得到，代入解析式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位， ∴， ∴； （2）解：①点在抛物线上， ∴， 点在抛物线上，且， ∴， ∴， 整理得，； ②∵， ∴， ∴， 整理得：， 该二次函数二次项系数，开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且对称轴为， ∵时，随增大而增大， ∴， 解得，， ∴的最小值为． 36．（2026·江苏盐城·一模）定义：在平面直角坐标系中，点在某函数图象上，且满足，（是常数，），则称点是该函数图象的“距点”． 例如：点是函数图象的一个“距点”． (1)①在点，，中，是反比例函数图象的“距点”的是点______； ②在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是______； (2)已知一次函数的图象上有且只有一个“距点”，求的值； (3)已知二次函数图象上存在“距点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②16 (2)或 (3) 【分析】（1）①如图，由反比例函数图象的“距点”在图中边长为的正方形的内部或边上，同时在反比例函数图象上，结合图象求解即可. ②在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是边长为的正方形的面积. （2）在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是边长为的正方形，（包含边界），而一次函数的图象上有且只有一个“距点”，可得过或，再进一步求解即可. （3）在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形在边长为的正方形内（含边界）或原点，结合图象分两种情况：当过时，如图，当过时，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：①如图， ∵反比例函数图象的“距点”在图中边长为的正方形的内部或边上，同时在反比例函数图象上， ∴是反比例函数图象的“距点”， 不是反比例函数图象的“距点”. ②在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是边长为的正方形的面积，面积为. （2）解：∵在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是边长为的正方形，（包含边界）， 而一次函数的图象上有且只有一个“距点”，      ∴过或， ∴或， 解得：或. （3）解：在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形在边长为的正方形内（含边界）或原点， ∵二次函数的对称轴为直线， 当过时， ∴， 解得：， 如图，当过时， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上：二次函数图象上存在“距点”，的取值范围为. 题型13 二次函数的平移问题（共3小题） 【易错】顶点式分析平移，抓住 a 不变，平移后解析式，结合存在性求解 37．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，将抛物线向下平移4个单位长度得到新的抛物线，点，和点，分别在抛物线和抛物线上．若点的横坐标均为4，点的横坐标均为，则线段与两条抛物线围成的阴影部分的面积是___________． 【答案】28 【分析】本题考查二次函数图象的平移，平行四边形的判定和性质．连接，，可得 轴，，推出四边形为平行四边形，，由平移可得下方阴影部分的面积等于四边形内部空白部分的面积，则阴影部分的面积． 【详解】解：如图，分别连接，． 点的横坐标均为4，点的横坐标均为， 轴， 将抛物线向下平移4个单位长度得到新的抛物线， ， 四边形为平行四边形， ， 由平移得下方阴影部分的面积等于四边形内部空白部分的面积， 阴影部分的面积， 故答案为：28． 38．（2026·江苏淮安·二模）在平面直角坐标系中，对“中值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的和的一半称为点的“中值”记为．函数图象上所有点的中值中最大值称为函数的“美中值”，最小值称为函数的“弱中值”．例如：点在函数（）的图象上，点的“中值”为，函数（）图象上所有点的“中值”可以表示为，当时，最大值为，最小值为，所以函数（）的“美中值”为6，“弱中值”为3． (1)点的“中值”为_______． (2)已知二次函数， ①当时，求二次函数的“美中值”和“弱中值”． ②已知线段，点，点，若以为横坐标，二次函数图象上所有点的中值为纵坐标的点形成的图形，沿轴上下平移后与线段只有一个交点，直接写出的取值范围或所有可能的值． (3)若二次函数（）的图象顶点在“中值”为2的函数图象上．当时，设二次函数（）的“美中值”为，“弱中值”为，且，则的值为_______． 【答案】(1) (2)“美中值”为4，“弱中值”为；②或 (3)或 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）①根据定义可得二次函数图象上所有点的“中值”可以表示为，即可求解； ②先可得平移后的解析式为，再根据与线段只有一个交点，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求得二次函数的顶点坐标，再由顶点在“中值”为2的函数图象上，可得，再根据二次函数图象上所有点的“中值”可以表示为，代入可得，可得对称轴为，的最大值为6，再分，，，即可求解． 【详解】（1）解：点的“中值”为． （2）解：①二次函数图象上所有点的“中值”可以表示为， ∵，对称轴为， ∴当时，取得最大值为4， ∵时，， 时，， ∴的最小值为－12， ∴二次函数的“美中值”为4，“弱中值”为． ②由①可知，二次函数图象上所有点的中值为纵坐标的点形成的图形的函数解析式为，则平移后的解析式为， ∵， ∴开口向下，图象的对称轴为，顶点坐标为， ∵，， ∴当，即时，顶点在线段上，即与线段只有一个交点； 当时，，的顶点在线段的下方， ∵，的图象开口向下， ∴与直线无交点，即与线段无交点； 当时，，的顶点在线段的上方， ∴与直线有两个交点， 当经过点时，， 解得，此时， 当时，， 解得，， ∴与的交点为，，即与线段有两个交点， ∴当时，与线段有两个交点； 当经过点时，， 解得，此时， 当时，， 解得，， ∴与的交点为，， ∴与线段只有一个交点， ∴当与线段只有一个交点时，； 当时， 当时，，即， 解得， ∵， ∴，， ∴与线段无交点； 综上所述，或． （3）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， 由题意得，“中值”为2的函数图象满足，即， ∴把代入，得，即， ∵二次函数图象上所有点的“中值”可以表示为， 把代入，得， ∵，对称轴为，的最大值为6， 当，即时，在对称轴的左边， ∴“美中值”，“弱中值”， ∵， ∴， 解得，符合； 当时，在对称轴的右边， ∴“美中值”，“弱中值”， ∵， ∴， 解得，符合； 当，即时， ∴“美中值”， ∵当时，，当时，， ∴， 当时，，则，即， ∴“弱中值”， ∵， ∴， 解得，不符合，舍去； 当时，，则，即， ∴“弱中值”， ∵， ∴， 解得，不符合，舍去； 当时，则，即， ∴“弱中值”， ∵， ∴， 解得，不符合，舍去； 综上所述，的值为或． 39．（2025·河北石家庄·二模）如图，抛物线图象与轴相交于、两点，与轴交于点．现将抛物线图象向上平移7个单位长度，再向左平移个单位长度，所得新抛物线的顶点在内（不含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出平移后的解析式为，得出顶点坐标为，然后分当顶点在上时，当顶点在上时，求出的值，从而求出范围； 本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象的几何变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴顶点坐标为， ∴向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度的抛物线解析式为， ∴新线顶点为， ∵与轴相交于点和点，与轴交于点， ∴当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 当顶点在上时，， 解得：， 当顶点在上时，， 解得：， ∴新拋物线的顶点在内（不含边界），的取值范围为； 故选C. 题型14 二次函数的翻折问题（共3小题） 【易错】翻折前后对称，求翻折后解析式，分段函数，结合图像讨论交点 40．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（a为常数，且）． (1)证明：抛物线C与x轴一定有两个公共点； (2)若抛物线C与直线相交于A，B两点，且，求抛物线C的解析式； (3)将抛物线C在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的图象记为．若直线与始终有3个公共点，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) 证明：设， 则抛物线与x轴交点的横坐标满足方程： ， ， ∵a为常数，且， ∴， 即， ∴抛物线C与x轴一定有两个公共点； (2)或 (3) 【分析】（1）设，可得出抛物线与x轴交点的横坐标满足方程，计算判别式，根据其符号得出结论； （2）根据抛物线C与直线相交于A，B两点，可得方程有两个不相等的实数根，设方程的两根为，（对应点A，B的横坐标），从而可得，，再根据两点，在直线上，可得纵坐标差为，从而可表示出，结合，可求，解得：或，再分别求得抛物线的解析式即可； （3）先得到直线与抛物线都经过的点的坐标，再分当时与当或时，分别求解，求出符合条件的a的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线C与直线相交于A，B两点， ∴方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，（对应点A，B的横坐标）， ∴，， ∵两点，在直线上， ∴纵坐标差为， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，抛物线C的解析式为或； （3）解：∵直线为， ∴直线过点， 抛物线C为： ， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口向上， 当（即）时，x轴下方部分的范围为； 当（即）时，x轴下方部分的范围为， 翻折后图像的解析式为： 联立翻折部分与直线可得， ∴(∗∗∗) 该方程的根需满足在翻折部分x的取值范围内，且与定点共同构成3个不同交点． 当时， 中间部分图象的范围为， 方程(∗∗∗)的根为和， ∵， ∴， ∴在范围内， ∴是翻折部分的交点， ∴总交点：、（在原抛物线上）、（在翻折部分），共3个不同点． 当或时， 当时，不在中间部分的范围内， 当时，抛物线为，直线为，有两个交点，不符合； 当时， 方程(∗∗∗)的另一根，不在中间部分的范围内，仅1个交点． 当时， 方程(∗∗∗)有两个相等的根， 交点重合， ∴仅2个不同点． 当时， 若，则， 翻折部分对应的范围是， 方程(∗∗∗)的另一根， 不在范围内， ∴仅有2个交点， 若，则， 翻折部分对应的范围是， 方程(∗∗∗)的另一根， 不在范围内， ∴仅有2个交点， 综上所述，直线与始终有3个公共点的a的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，其他问题(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 41．（2025·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)______； (2)是该二次函数的图像上一点，若，求点的横坐标． (3)若将该抛物线在间的部分记为图像，并将图像在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图像，记这个函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将代入解析式，即可求解； （2）由待定系数法得直线的解析为，①当在轴是上方时， 过作轴交于，交于，交轴于，设，，同理可求直线的解析式为， 由即可求解；②当在轴是下方时， 交轴于，交轴于，同理可求直线的解析式为，由，即可求解． （3）、为关于直线对称，可求，①当在的上方时，，可求，此时，，即可求解；②当在的下方时，，解得，此时，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 解得：， 故答案为：； （2）解：由（1）得， 当时，， 当时， ， 解得：，， ，， 设直线的解析为，则有 ， 解得：， 直线的解析为， ①当在轴是上方时， 如图，过作轴交于，交于，交轴于， 设， ， ， 同理可求直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 整理得：，（舍去）， 点的横坐标； ②当在轴是下方时， 如图， 交轴于，交轴于， 同理可求直线的解析式为， 当时， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：，（舍去）， 点的横坐标； 综上所述：点的横坐标或． （3）解：、为关于直线对称， ， ， ， 解得：， ①当在的上方时， ， 解得：， ， ， 当时， ， ，， ， ， 解得：， ； ②当在的下方时， ， 解得：， ， ， ，， ， ， 解得：， ； 综上所述：的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数综合中的面积问题，待定系数法，能熟练利用割补法求面积，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 42．（2026·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线（，，为常数，）交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线(为常数，)下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”． (1)求该抛物线的表达式； (2)若时，直线与图象有三个交点，求的值； (3)若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)的值是或； (3)的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）利用数形结合找出当经过点A或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；②当与相切时，联立一次函数表达式和抛物线表达式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论； （3）求得直线与的交点，以及当与相切时的值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，得，解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：时，由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况： ①当直线过点A时，与图象有三个交点，此时； ②当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时， ， 整理，得， ， ∴， 综上，的值是或； （3）解：将该抛物线位于直线(为常数，)下方的部分沿直线翻折，得到， 令，则， ， ∴， 由，解得， ∴若直线与图象有四个交点，的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用数形结合找出直线与新图象恰好有三个不同的交点的情况；（3）找出直线与新图象恰好有三个不同的交点以及直线与的交点是关键． 题型15 二次函数的45度角问题（共3小题） 【易错】遇 45° 构造等腰直角三角形，作垂线，转化坐标或构造相似求解 43．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若此抛物线上有一动点，其横坐标为，当在点右侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为 时，求的值； (3)设此抛物线与轴正半轴的交点为，点为抛物线顶点，连接，若点在线段上运动，连接，点为点关于直线的对称点，射线与抛物线交于点，当直线与直线所夹锐角为时，求点的横坐标． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为 (2)的值为或 (3)点的横坐标为 【分析】（1）根据对称轴得的值，由点得的值，即可得出结果； （2）根据函数最值情况，对的范围进行分类讨论，即可得出的值； （3）令与交于点，过点作轴，过点作轴，交轴与点，根据题意情况判断出 轴，令点坐标为，则点，由对称的性质，得 ，，得出方程，求解出、的值，得出直线的函数表达式为，结合，即可求出点的横坐标． 【详解】（1）解：∵对称轴与轴交于点， 即抛物线对称轴为直线， 故 ， ∴， ∴， 将点代入 ， 得 ， 解得， 故抛物线对应的函数表达式为． （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 对的取值范围进行分类讨论， ①当时，当时，函数值最小， 故 ， 解得； ②当时，当时，函数值最小， 故 ， 化简得 ， 解得或（不满足，舍去）； 综上，的值为或． （3）解：令与交于点，过点作轴，过点作轴，交轴与点，如下图所示： 当时，得， 解得或， 故点， 当时， ， ∴点， ∵，，轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵轴， ∴， 若直线与直线所夹锐角为， 则 ， ∴ 轴， 令直线表达式为， 将点，代入 ， 得，解得， ∴直线表达式为， 令点坐标为，则点， 由对称的性质，得 ，， ∴，解得， 故， 求得直线的函数表达式为，结合， 得 ， 解得或（舍去）， ∴点的横坐标为． 44．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 45．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图1，抛物线与直线交于两点，． (1)求抛物线与直线的函数表达式； (2)将直线沿着轴向上平移个单位，与轴、轴分别交于点，．直线对应的函数表达式记作．若有且仅有唯一的的值，使得，求的值； (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)4 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将直线沿着轴向上平移个单位，得到，直线对应的函数表达式记作．故，根据有且仅有唯一的的值，使得，得到方程有相等的实数根，利用判别式等于零解答即可； （3）作线段的垂直平分线交于点E，交y轴于点P，连接，则，，，设直线的表达式为，得到表达式为：．在直线上截取，设，确定或；当时，过点F作轴于点N，过点A作轴于点Q，则，解答即可． 本题考查了待定系数法，函数的平移，二次函数的其他综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于两点，， 故，， 故， 故 解得， 故抛物线的表达式为； 故，， 故， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． （2）解：根据题意，将直线沿着轴向上平移个单位，得到， 又直线对应的函数表达式记作． 故， 又有且仅有唯一的的值，使得， 故方程有两个相等的实数根， 故的判别式等于零， 故， 解得． （3）解：根据题意，得，直线的表达式为：． 设直线与y轴交于点G，交x轴于点H，交x轴于点M， 则，，， ∴， ∴， ∴作线段的垂直平分线交于点E，交y轴于点P，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将，分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 在直线上截取， 设， ∴， 整理，得， 解得或， ∴或； 当时，过点F作轴于点N，过点A作轴于点Q， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故符合题意； 当时，不符合将线段绕点顺时针旋转得到线段，故舍去， 综上所述，存在这样的点F，使得，且． 题型16 二次函数的面积问题（共3小题） 【易错】割补法表示图形面积，铅锤高模型，求面积最值或面积定值 46．（2026·江苏镇江·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； (3)如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)①；②的最小值为8． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由，得到，得到，，由题意得，据此求解即可； （3）①联立得，利用根与系数的关系即可求得； ②求得，利用不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线经过点和， 将代入，得， 将代入，得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：先求解抛物线与x轴的另一个交点A， 令，即， 解得或， 结合A在B左侧得； ∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，整理得， ∵点在第一象限， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 联立直线与抛物线方程得，， 整理得：， 该方程的两个根为点P、Q的横坐标m、n， 由一元二次方程根与系数的关系得； ②∵点，， ∴， ∵， ∴m、n异号，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴， 答：的最小值为8． 47．（2026·江苏苏州·一模）已知抛物线（为常数，且）与轴交于，两点，其中点的坐标是，与轴交于点，点的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，连接，，． ①如图1，若，求的值． ②如图2，延长交轴于点，连接，若线段与轴交于点．记，，，的面积分别为，，，，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是， 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①先求出，设，与轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，得到，再用表示出，根据比值求即可； ②根据①，用表示，利用待定系数法求出直线的解析式，得到，再求出，然后化简求值即可． 【详解】（1）解：由题可知，解得， 则抛物线的解析式为； （2）①令，解得或，则 设，与轴交于点， 则， 设直线的解析式为， ，解得， ，则，， ， ， 解得； ②由①知， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， ，则， ， ， ． 48．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求此时点的坐标； (4)若点在抛物线上，在（3）的条件下，当是直角三角形时，直接写出点的横坐标___________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点P作轴于E，先求出点B的坐标，再根据进行求解即可； （3）过点P作轴交直线于F，则，进而推出当最大时，有最大值，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则，则，据此求解点P的坐标； （4）分别以P、Q、A为直角顶点三种情况利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴于E， 令，则， 解得或， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，过点P作轴交直线于F， ∴， ∴， ∵是个定值， ∴当最大时，有最大值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时点P的坐标为； （4）解：设点Q的坐标为； 当时，如图所示， 过点P作轴于，过点Q作于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意）； 当时，如图所示，过点P作轴于，过点Q作轴于， 同理可证， ∴，即， 解得或（不符合题意）； 当时，如图所示，过点Q作轴于，过点P作于， 同理可证， ∴，即， 解得或； 综上所述，点Q的横坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型17 二次函数的新定义问题（共3小题） 【易错】理解新概念，转化为函数不等式，数形结合分类讨论检验解 49．（2026·江苏扬州·三模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ，函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点互为“伴随函数”．若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)， (2)函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为 (3)a的取值范围为或或 【分析】（1）由题意可得两个函数的点分别关于原点中心对称，设函数上的任一点为，则它的对称点为，将代入函数得函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为；同理可得，函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式； （2）画出函数图象，再结合二次函数的图象与性质计算即可得出结果； （3）分三种情况：当“伴随函数”的顶点在上时，当两个函数的交点在上时，当“伴随函数”经过点B时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”， ∴两个函数的点分别关于原点中心对称， 设函数上的任一点为，则它的对称点为， 将代入函数得， ∴． 函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为； 同理可得，函数关于原点的“伴随函数”的函数解析式为； （2）解：如图，当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大， ∵“伴随函数”的开口方向向下， ∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大， ∴，同时“伴随函数”的对称轴应与直线重合或在直线的左侧， ∴， ∴， 综上，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为； （3）解：①当“伴随函数”的顶点在上时，如图， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点为对称中心， ∴函数N的对称轴为直线， ∴函数N的顶点坐标为， ∵关于点对称的点为， ∴将代入得， ∴； ②当两个函数的交点在上时，如图， 二次函数与x轴的交点为和， ∵点为对称中心， ∴函数N与x轴的交点为和， ∴函数N的解析式为， 当时，， 解得； ③当“伴随函数”经过点B时，如图， ∵点， ∴， 解得． 综上，图形W与线段恰有2个公共点，a的取值范围为或或． 50．（2026·江苏南通·一模）定义：若实数满足（为常数，且），则在平面直角坐标系中称点为点的“级变点”．例如：为的“3级变点”． （1）若点的“级变点”的坐标为，则的值为___； （2）若点是点的“级变点”，且点在函数的图象上，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】（1）根据“级变点”的定义列出方程，整理得，即可解答； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，根据点Q在反比例函数图象上，代入后推出，再根据两点间距离公式和配方法解出最值即可． 【详解】解：（1）∵点的“级变点”的坐标为， ∴，， ∵为常数，且， ∴将两边乘以k，得， ∴， ∴； （2）设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∵点在函数的图象上， ∴， 整理得， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 51．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”． (1)如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上； (2)已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由； (3)抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (4)已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________． 【答案】(1)在 (2) 解：是抛物线的“轴点圆”， 理由如下： 当时，可得方程， 整理得：， 分解因式可得：， 方程的解为：，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标是， 点到点的距离为， 点到点的距离为， 点到点的距离为， 过抛物线与坐标轴的交点， 是抛物线的“轴点圆”； (3) 解：直线与相切， 理由如下： 如下图所示，过点作， 已知抛物线， 当时，可得：， 解方程得：，， 抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， 当时，可得：， 抛物线与轴的交点坐标为， 是抛物线的“轴点圆”， 的圆心坐标为，半径为， 当时，， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ， ， ， ， 直线与相切； (4) 【分析】(1)根据“轴点圆”的定义可知点在的垂直平分线上，因为点、是抛物线与轴的两个交点，所以抛物线的对称轴是的垂直平分线，可得点在抛物线的对称轴上； (2)根据抛物线的交点，可以求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得点到三个交点的距离相等，所以是抛物线的“轴点圆”； (3)根据抛物线的解析式可以求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据三点的坐标得到的圆心坐标，根据直线的解析式求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式求出圆心到直线的距离，即可判定直线与的位置关系； (4)根据抛物线的解析式求出抛物线与坐标轴的交点、的坐标，则“轴点圆”的圆心在的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可知当点、、三点共线时的周长最小，根据点、的坐标求出的周长最小值． 【详解】（1）解：过点、、， 点在的垂直平分线上， 点、是抛物线与轴的两个交点， 抛物线的对称轴是的垂直平分线， 点在抛物线的对称轴上； 故答案为：在； （2）略 （3）略 （4）解：如下图所示，连接，作的垂直平分线， 是抛物线的“轴点圆”， 点在的垂直平分线上， ， 已知抛物线， 当时，， 点的坐标为， ， ， 抛物线的顶点坐标为， ， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， 此时的值最小， 当点、、三点共线时的值最小， 此时， 的周长最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆的综合、切线的判定、勾股定理、平面直角坐标系中两点之间的距离公式、二次函数的图像与性质． 题型18 二次函数的存在性问题（共3小题） 【易错】探究特殊三角形、四边形存在，设点坐标，列方程并检验取舍 52．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据“级和值点”的定义将问题转化为二次函数与直线在范围内有两个不同交点，结合一元二次方程根的判别式和端点值分析即可求解． 【详解】解：设“级和值点”坐标为，由定义得，整理得， 在的范围内，二次函数的图象上存在两个“级和值点”， 二次函数的图象与直线在的范围内有两个不同交点， 联立方程， 消去整理得， 当直线与抛物线相切时，只有一个交点，此时一元二次方程的判别式， 解得， 此时交点横坐标为， 当直线经过二次函数的端点时，将代入得， 解得， 此时方程的根为，，均满足，此时存在两个交点； 当时，方程的较大根大于，只有一个根满足，不符合题意， 当时，只有一个交点或无交点，不符合题意； 因此的取值范围为． 53．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 54．（26-27九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）先求出直线，设，直线与轴交点为，当在上方时，过点作于点，可得，设直线，与抛物线表达式联立得，，得到，设，那么由韦达定理可得，则，而，则得到，解得或（舍），故；当在下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）解：存在，理由如下： 对于，当时，， ∴， 设直线 ∵点， ∴， 解得， ∴直线， 设，直线与轴交点为， 当在上方时，过点作于点，如图： ∵正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴由得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 当在下方时，过点作于点，如图： 同理可得，，， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 题型19 相似三角形的判定与性质压轴（共3小题） 【易错】挖掘等角证明相似，利用比例线段，结合勾股、三角函数计算 55．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，点M在边上，将沿翻折至处，延长交边于点N，连接．对角线分别交，于E，F两点． (1)________． (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1)45 (2)证明：∵四边形是正方形， ∴， 由（1）得：， ∴在和中，，， ∴， 由翻折知， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）由翻折的性质可得：，，，证明，即可求出； （2）利用（1）的结论可得出，再加上公共角，即可证明； （3）将绕点旋转至，使与重合，连接，证明，可得，由，可得，进而得出，再利用，，可求出，，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 由翻折的性质可得：，，， ∴，， ∵在与中， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）略 （3）解：如图，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， 由（1）得，， ∴， ∴，即， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ，， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 56．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）如图，已知中，，，，是线段上的一点，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接； (1)当为何值时，？ (2)在（1）的条件下，若点是上的一点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段的数量关系可得，可得结论： （2）由相似三角形的性质可得，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，由相似三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：沿折叠，点与重合， ， ，，， ， ， 若， 则须， ， ， 故当时，； （2）解：， ， ， 当点三点共线时，有最小值，即有最小值，如图，过点作于， 由（1）得：， ， ， ， 即， ， ， ， ， 的最小值． 57．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）正方形边长为6，若点为边上一动点，连结，将沿翻折得到，连结并延长交射线于点． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当经过中点时，连结．求证：； (3)当、、三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点时，求的长． 【答案】(1) (2)证明：由翻折的性质可知，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即； (3)2或3 【分析】（1）由翻折的性质可知，，，，为正方形的对角线，则是等腰直角三角形，，由，即可求解的长； （2）可证得， 且相似比为，则是的中点，得出，得到，，再利用三角形内角和定理即可证明； （3）分情况讨论，由三角形相似可解得的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，且边长为6， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴，， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当是的中点， 在四边形中，， ， ∴， 在正方形中，， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 当是的中点， 如图，延长，交于点， ∵，是的中点， ∴，且相似比为， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，即点为的中点， ∴； 当是的中点，此情况不存在； 综上所述，或． 题型20 相似三角形的动点问题（共3小题） 【易错】动点产生分类讨论，找不变角，设时间表示边长，列比例方程 58．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，中，，，，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点，移动的时间为秒． (1)当为何值时，与相似？ (2)当为何值时，的面积为个平方单位？ 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，动点问题，将动态问题转化为静态的代数问题是解题关键． （1）先利用勾股定理求出，再根据相似三角形的两种对应情况，分别列出比例式建立方程，求解得到的值； （2）过点作的垂线，用三角函数表示出高，再代入三角形面积公式建立一元二次方程，求解得到的值． 【详解】（1）解：，，， ， ，，， 分两种情况讨论： 当，则， 可得， 解得； 当，则， 可得， 解得． 综上，当或，与相似． 答：或． （2）解：过点作， 在中，，，，， ， ， ， ， ， ， 解得，， 故当或时，的面积为个平方单位． 答：或． 59．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，两点同时出发，设运动时间为，是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与边的位置关系是 ． (2)连接，则长的取值范围是 ． (3)如图2，连接，当与线段相切时，求t的值． 【答案】(1)；相交 (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理计算的长即可求出半径；过点作直线于，交于，求出的长与半径比较大小即可得出答案； （2）先求出、的长，然后用勾股定理求得，再根据，求的取值范围即可； （3）过点作于，如图2所示，先证，得，由此即可解出的值． 【详解】（1）解：当时，，， ，， ， 的半径 ； 过点作直线于，交于，如图1所示， 矩形中，， 是矩形， ，， ， ， ， ， 与边的位置关系：相交； 故答案为：，相交； （2）解：如图1所示，连接， 则，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，取最小值； 当时，取最大值； ； 故答案为：； （3）解：过点作于，如图2所示， ， ； 在中， ，， ， ， ，， 与线段相切， ， ， 解得，． 【点睛】此题是矩形与圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理的推论、直角三角形的性质、定点与圆上动点距离的最小值问题等知识，熟练掌握相关的性质与定理是解答此题的关键． 60．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，连接，，．设点运动的时间为． (1)若，． ①当时，则___________ ②当时，求的值； (2)当时，在，两点运动过程中，若是以为一腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】(1)①；②当时，的值为或 (2)的值为或 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，，作于，则，从而得出四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得当，，时，，，求出，再由勾股定理即可得解；②当，时，，，再分两种情况：当点未到达点时；当点到达点时，分别结合勾股定理计算即可得解； （2）由矩形的性质可得，，，作于，则，则四边形为矩形，得出，，证明，得出，由题意可得当时，，，从而得出，进而求出，由等腰三角形的性质分两种情况：当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵在矩形中，，， ∴，，， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动， ∴当，，时，，， ∴， ∴； ②∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，设点运动的时间为， ∴当，时，，， ∴当点未到达点时，，此时， ∴， 解得：； 当点到达点时，，此时秒； 综上所述，当时，的值为或； （2）解：∵在矩形中，，， ∴，，， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，设点运动的时间为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵是以为一腰的等腰三角形， ∴当时，由，， 故， 由①②解得，， 当时，，， 故， 由①③解得：，或，（负值不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 题型21 相似三角形与函数综合（共3小题） 【易错】坐标背景下找相似，用点坐标表示线段，建立函数求参数范围 61．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，连接． (1)填空：点A坐标为__________，点B坐标为__________； (2)如图1，点P为线段上一点，连接，若，且点C的横坐标为，求线段的长； (3)如图2，若点P为直线上一点，记的面积为，的面积为，的面积为．若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）先求出的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可； （3）设点的坐标为，，分三种情况：①当点在上，即时，②当点在的延长线上，即时，③当点在的延长线上，即时，根据面积之间的关系建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：， ∴点的坐标为， 将代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为． （2）解：∵点是轴负半轴上一点，且点的横坐标为， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：设点的坐标为，， ∵， ∴， ∵的面积为，且， ∴， ①如图，当点在上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在的延长线上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴， ∴此时点的坐标为； ③如图，当点在的延长线上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 这个方程根的判别式为，没有实数根，舍去； 综上，点的坐标为或． 62．（2026·江苏常州·模拟预测）【阅读理解】对于任意正实数a、b， ∵， ∴只有当时，等号成立． 【数学认识】： 在（a、b均为正实数）中，若ab为定值，则，只有当时，有最小值． 【解决问图】： (1)若时，当 时，有最小值为 ． (2)如图，已知点A是反比例函数的图象在第一象限上的一动点，连接并延长交另一支于点B．以为边作等边，点C在第四象限，记点C的运动轨迹为l．过点A作轴交l于点D，过点A作轴于点M，过点D作轴于点N，求四边形周长的最小值． 【答案】(1)1，2 (2) 【详解】（1）解：， ∴当时，有最小值为2， 即当时，有最小值为2． （2）连接，过点C作轴于点E， 根据反比例函数图象关于原点对称，可得， ∵是等边三角形， ∴，， ， ∴， ， ， ， ， 由题意得， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ， ∴， ， ∴点C在双曲线上运动， 设，则， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵轴，轴，轴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴四边形周长的最小值为． 63．（2026·江苏盐城·三模）如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点在直线AC上方的抛物线上时，连接、，交于点， 过点作轴的垂线交于点，求的最大值； 若 ，则的取值范围__________； (3)如图2，将抛物线的顶点平移到（0，1），此时新抛物线交轴于、两点（在的左侧），若点为轴上方新抛物线上任意一点，过作直线（直线不与轴垂直）与新抛物线仅有一个公共点，在点的上方是否存在一点，使得直线与、分别交于点、，且为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①先求得直线的解析式，设，则，进而表示出，根据二次函数的性质，求得最大值； ②过点作轴交于点，证明，根据相似三角形的性质，得出的表达式，进而根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求出的直线方程，联立方程消元，根据只有一个交点，利用的根的判别式建立等式求解，再过作于，分别求出，，最 【详解】（1）解：将、，代入得 解得： ∴ （2）①如图， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设，则 ∴ ∴当时，的最大值为； ②如图，过点作轴交于点， ∵ 当时，， ∴ ∴ ∵轴，轴 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ 对称轴为， 又∵， 抛物线开口向下，当时，有最大值为 ∵ ∴当或时，有最小值为 ∴的取值范围 （3）解：由题意得，新抛物线是：， 令，得，   ，， ， 设 把，代入得 ， ， 同理， 设直线，联立得 直线与抛物线只有一个公共点 ， ， ， 联立解得， 联立解得 过作于，则，， ，同理 ， 要为定值，则， ， ． 题型22 相似三角形的模型问题（共3小题） 【易错】识别一线三等角、母子型等模型，导角，利用相似比转化线段 64．（2026·江苏无锡·二模）在矩形中，点为中点，点为中点，连接交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】延长交的延长线于H，设，则，证明，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：延长交的延长线于H， ∵在矩形中，，， ∴，， ∵点F是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 65．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 66．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 【答案】 【分析】过点P作交的延长线于点H，根据矩形的性质得到，则可求出；证明，得到；设，则，由折叠的性质可得，由勾股定理得，解得或（舍去），，可得，解得． 【详解】解：如图所示，过点P作交的延长线于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 题型23 相似三角形的新定义问题（共3小题） 【易错】读懂新定义，转化为相似判定条件，多情况分类，验证合理性 67．（2026·江苏无锡·二模）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，则 ； (2)如图，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图所示，在中，，，交于点E，请画出所有以为边的垂中平行四边形，要求：点C在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； 若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点P，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）根据“垂中平行四边形”的定义求得，据此求解即可； （2）根据“垂中平行四边形”的定义求得，设，则，在中，由勾股定理求得，据此求解即可； （3）①分三种情况讨论，根据“垂中平行四边形”的定义作出图形即可； ②根据“垂中平行四边形”的定义结合相似三角形的判定和性质，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为“垂中平行四边形”， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形为“垂中平行四边形”，，且点是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，即， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①作法1：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，延长交于点，则四边形是垂中平行四边形， 由作图知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∴四边形是垂中平行四边形； 作法2：过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线，交的延长线于点，则四边形是垂中平行四边形， 由作图知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∴四边形是垂中平行四边形； 作法3：过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的平行线交直线的延长线于点，则四边形是垂中平行四边形， 由作图知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∴四边形是垂中平行四边形； ②对于作法1：作于点， 由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； 对于作法2：作于点， 由折叠的性质知，，， ∵， ∴点在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； 对于作法3：射线与垂中平行四边形的边没有交点，此情况不存在，舍去； 综上，的值为或． 68．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： (1)已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； (2)如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； (3)如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； (4)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2)点A的坐标是，点B的坐标是 (3) (4)①1；②或 【分析】（1）根据点A、B、O三点坐标即可设抛物线解析式为，再将代入计算即可； （2）根据等边三角形的性质设B点坐标，代入解析式求解即可； （3）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明∽，设点，点，根据相似比可得，再联立直线和二次函数解析式得到关于x的方程组，利用根与系数的关系即可求出点P坐标； （4）①由抛物线对称性可得点C为抛物线顶点，设，从而得到点B和点C的坐标，代入抛物线解析式即可求出a值，因而得解； ②由图象得当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，此时；当点A和点B在y轴两侧时，可讨论的临界值，因此得解． 【详解】（1）解：，， 抛物线的对称轴为直线，即y轴， 在抛物线上， 设抛物线解析式为， 将代入得， 的外接抛物线的解析式为； 故答案为：； （2）解：设与y轴交于点M， 为等边三角形， ，， ， ， 设，则， ， 将B坐标代入得，， 解得，（不合题意，舍去， 点A的坐标是，点B的坐标是； （3）解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点， 设点，点，则，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 设直线的解析式为， 由， 得， ， ， 当时，， 点P的坐标是； （4）解：①如图，设抛物线的对称轴交于点， 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得，，， 设， 对称轴为， 点B的坐标为，点C的坐标为， 将点B，C的坐标分别代入，得， 解得或（舍去），      ，， ； ②点A和点B在x轴上，点C在y轴上， 若当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形， 如图， 此时或， 抛物线开口向上， ； 若时，则可先讨论的c的值， 如图， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或舍去， 此时时，； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 69．（24-25九年级上·四川成都·期中）【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或 【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； [深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； [拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可． 【详解】[初步感知]解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴； [深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； [拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． $