九年级数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（新教材苏科版）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A B C C C B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．或4 10．/ 11． 12．或 13．5米 14．3 15．1≤a＜或a≤−2 16． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 则或， 所以；·························2分 （2）解：， ， ， 则或， 所以．························5分 18．（5分） 【答案】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得，························4分 ∴y关于x的函数关系式是．························5分 19．（6分） 【答案】(1) 证明：①四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①由、、可证得； ②利用全等的性质证，利用直角三角形两个锐角互余证明，即可解决问题； （2）利用全等的性质证，然后证，得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：①四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ；························2分 ②， ， ， ， ， ；························4分 （2），， ， ， ， ，， ， ， ， ， ．························6分 20．（6分） 【答案】(1)等边三角形 (2)解：，证明如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴是等边三角形；························2分 （2）解：，证明如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．．························6分 21．（6分） 【答案】(1)80，145 (2)补全乙模型测试准确率的箱线图如图所示： (3)选择乙模型，理由如下：乙模型的方差较小，四分位距更小，更稳定． 选择甲模型，理由如下：甲模型的平均数较高，上四分位数和中位数都要更好，整体高分较多． 【分析】（1）利用方差公式和下四分位的求解方法即可解答； （2）由表格数据画箱线图即可解； （3）根据表格中的平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【详解】（1）解：由题意，； 将乙模型的测试数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共10个数，偶数个， 方法一：前半部分数据为70，75，80，80，80，有奇数个，正中间的数为80，则，即； 方法二：的位置为，不是整数，取第3位，则，即；··············2分 (2)补全乙模型测试准确率的箱线图如图所示： ························4分 (3)选择乙模型，理由如下：乙模型的方差较小，四分位距更小，更稳定． 选择甲模型，理由如下：甲模型的平均数较高，上四分位数和中位数都要更好，整体高分较多．························6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)12 (3)4 【分析】（1）根据当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，即可得到答案； （2）设白球估计有x个，列方程求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，所以从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为；························2分 （2）解：设白球估计有x个， 根据题意，得， 解得， 白球估计有12个；························4分 （3）解：根据题意，得， 解得 经检验是方程的解．························8分 23．（8分） 【答案】(1) (2)60元 (3)当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【分析】（1）将点代入得出方程组，求出解即可； （2）先表示出每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 关于的函数解析式为；························2分 （2）解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套， 可列方程，， 解得，， 要尽可能让利于顾客， 选择较低定价． 答：每套吉祥物套装应定价60元；························5分 （3）解：设每月销售利润为元， 整理得， ，二次函数图象开口向下， 当时，取得最大值， 此时，最大利润为元． 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元．···················8分 24．（8分） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用交点坐标的意义，反比例函数的解析式，确定点和点，再利用待定系数法，求解即可； （2）不妨设，分， ， ，三种情形求解即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ， 解得， 故点和点， 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为；························3分 （2）解：由点是轴上一动点，故点P的纵坐标为0，不妨设， 的解析式为，且直线与坐标轴分别交于点C和点D， ，， ，，， 当时，如图所示， 则， ∴ ∴的横坐标相同， ∵， ∴； 当时，如图所示， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，点P位于点A的右侧，此时是锐角，不符合要求，舍去， 故， 经检验，是原方程的根， ∴； 当时，此情形显然不成立； 综上所述，符合题意的点坐标为或．························8分 25．（10分） 【答案】(1) (2)与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米． 【分析】（1）根据中心对称的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出与舞台平面之间的距离为米，符合要求；再求出时的函数值，得到，再根据，即可求出的长度． 【详解】（1）解：抛物线的顶点，抛物线与抛物线关于点O成中心对称， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将原点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为；························3分 （2）解：由题意可得，与舞台平面之间的距离为（米）， 与舞台平面之间的距离要不小于2米，且， 与舞台平面之间的距离符合要求； 与y轴之间的距离为米， ， ， ， 点E、F在边上，边与平行于x轴． ， （米）， 答：与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米．························10分 26．（10分） 【答案】(1)，． (2)． (3)或或或． 【分析】（1）作垂线构造一线三垂直全等模型，利用正方形性质求出点坐标，代入求反比例函数解析式； （2）抓住平移特点：平移后纵坐标不变，求出横坐标，得到平移距离，再对点平移得到； （3）菱形存在性问题，以，，，四个点构成菱形，没有固定顺序，要分三类讨论哪两条线段作为菱形的边或对角线，结合两点距离公式求解． 【详解】（1）解：（1）作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． ， ；························2分 （2）解：由同理可得，点， 点恰好落在反比例函数的图象上， 当时，， ， ；························4分 （3）解：当时，如图， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 当点在第二象限时，， 当时，如图， 则点与关于轴对称， ， 当时，如图，设， 则， ， 解得， ， ， 综上：或或或．························10分 【点睛】本题是正方形、反比例函数、平移、菱形存在性综合压轴题．正方形放在坐标系，出现直角，优先考虑一线三垂直全等求点坐标；左右平移只改变横坐标，纵坐标保持不变；菱形存在性问题，没有指明顶点顺序，必须分类讨论，分清是“边相等”还是“对角线互相垂直平分”，防止漏解． 27．（10分） 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）将B点坐标代入函数表达式，即可求出b； （2）①与y轴的交点为G，求出过的直线表达式，联立求出交点D的坐标；以y轴的线段为底边，表示三角形的面积，面积比就是横坐标之比，与长度无关； 面积比值取最大值，即为所求； ②先求出过的直线方程，，所以两条直线的相等，点是与抛物线交点，与抛物线解析式联立，即可求得点横坐标． 【详解】（1）解：将，代入函数表达式，得： 解得：························2分 （2）解：①已知二次函数为， 令，得，y轴交点C坐标为， 令，解方程，得到x轴两个交点， 设过的直线解析式为：， 解得： ， 设点，过直线解析式为： 解得： ， 两直线表达式联立求交点D坐标， 解得： 点D坐标： 设与y轴交点为点G，如下图： 设点A横坐标为，点P横坐标为，点D横坐标为， 时，即点P横坐标：时，取得最大值，最大值为：．························6分 ② 由①可知：, 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：，点， 则点，，如图所示： ， ， 点是与抛物线的交点，联立得方程组 解得：，（点P在第一象限，负值不符合题意，舍去）， 点的横坐标为：4．························10分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学上册全部内容+九下二次函数、图形的相似。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）一元二次方程化为一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，2， C．，，1 D．3，，1 3．（3分）某乡镇组织开展村超等群众文化赛事活动，其中参赛的七个村得分分别为55，64，51，66，50，61，55，则这组数据的下四分位数是（     ） A．51 B．55 C．58 D．64 4．（3分）一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 6．（3分）小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 7．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．（3分）如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 10．（3分）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 11．（3分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是______． 12．（3分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．当时，的取值范围是_____________ 13．（3分）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径_____． 14．（3分）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 15．（3分）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x＋上，若抛物线y＝ax2﹣x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是____． 16．（3分）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（5分）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 19．（6分）如图，正方形中，， (1)求证：①；②； (2)若，，求的长． 20．（6分）如图，是上的四个点，． (1)的形状为_________； (2)探究线段之间的等量关系，并证明． 21．（6分）智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)请补全乙模型测试准确率的箱线图； (3)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 22．（8分）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 23．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示：    【问题解决】 (1)确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． (2)计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．（8分）直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． (1)求直线的解析式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 25．（10分）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台一一安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕如图②所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点F处，左端从抛物线上的点D处拉一条绳索固定，交x轴于点G，点E、F在边上，边与平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于2米； 2．与y轴之间的距离为米，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，米，米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 26．（10分）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 27．（10分）如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． (1)填空：_________； (2)若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级数学上册全部内容+九下二次函数、图形的相似。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）一元二次方程化为一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，2， C．，，1 D．3，，1 3．（3分）某乡镇组织开展村超等群众文化赛事活动，其中参赛的七个村得分分别为55，64，51，66，50，61，55，则这组数据的下四分位数是（     ） A．51 B．55 C．58 D．64 4．（3分）一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 6．（3分）小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 7．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．（3分）如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 10．（3分）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 11．（3分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是______． 12．（3分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．当时，的取值范围是_____________ 13．（3分）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径_____． 14．（3分）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 15．（3分）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x＋上，若抛物线y＝ax2﹣x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是____． 16．（3分）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（5分）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 19．（6分）如图，正方形中，， (1)求证：①；②； (2)若，，求的长． 20．（6分）如图，是上的四个点，． (1)的形状为_________； (2)探究线段之间的等量关系，并证明． 21．（6分）智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)请补全乙模型测试准确率的箱线图； (3)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 22．（8分）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 23．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示：    【问题解决】 (1)确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． (2)计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 24．（8分）直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． (1)求直线的解析式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 25．（10分）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台一一安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕如图②所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点F处，左端从抛物线上的点D处拉一条绳索固定，交x轴于点G，点E、F在边上，边与平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于2米； 2．与y轴之间的距离为米，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，米，米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 26．（10分）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 27．（10分）如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． (1)填空：_________； (2)若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 2．（3分）一元二次方程化为一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，2， C．，，1 D．3，，1 【答案】D 【分析】将一元二次方程转化为标准形式即可判断出二次项系数，一次项系数和常数项． 【详解】解：移项得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．（3分）某乡镇组织开展村超等群众文化赛事活动，其中参赛的七个村得分分别为55，64，51，66，50，61，55，则这组数据的下四分位数是（     ） A．51 B．55 C．58 D．64 【答案】A 【分析】解题思路为先将数据从小到大排序，再计算下四分位数的位置，根据分位数的计算规则得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序：， 数据个数， 方法一：，向上取整数为，即下四分位数为排序后的第个数据，是； 方法二：这组数据的中位数是第个数据，为，下四分位数为前三个数据的中位数，即为． 4．（3分）一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式，随机事件的概率等于所求情况数除以所有可能的总情况数，代入计算即可． 【详解】解：∵布袋中有8个红球和16个黑球， ∴球的总个数为， ∴取出红球的概率为． 5．（3分）如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 【详解】解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 6．（3分）小明看到人行道上的裂缝砖块（如图1），其平面示意图（如图2）是由12个大小相同的小正方形组成的．若小正方形的边长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可证是的中位线，进而利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∵小正方形的边长为， ∴， ∴． 7．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 同理可得：，， ∵， ∴． 8．（3分）如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据函数图象确定运动停止的时间，结合直角三角形角的性质求出的长，用表示出和的长，利用三角形面积公式建立与的函数关系式，利用二次函数的性质求最大值 【详解】解：设， 在中，，， ，. 点、的速度均为1， 点到达终点需秒，点到达终点需秒. ， 点先到达终点. 由图可知，运动总时间为秒， ， ， 解得， ， 由题意得：，，则， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值， ，且， 当时，． 第二部分（非选择题 共106分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 【答案】或4 【分析】本题考查方差的性质，一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，据此判断第一组数据应为连续整数，即可确定的可能值． 【详解】解：第二组数据，，，，是个连续整数，方差为固定值， 又∵一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变， 第一组数据，，，，应为个连续整数， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 的值为或． 10．（3分）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】将交点分别代入两个函数解析式，得到和的值，将所求代数式通分后代入计算即可． 【详解】解：点是与的交点， 将代入，得，变形得， 将代入，得，变形得， ． 11．（3分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重转），则配成紫色的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，熟练掌握相关方法是解题关键．先画出树状图，则可得同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，同时转动两个转盘一次共有6种等可能的结果，其中，配成紫色的结果有1种， 则配成紫色的概率为， 故答案为：． 12．（3分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．当时，的取值范围是_____________ 【答案】 或 【分析】将代入得到的值，根据图象直接得出即可． 【详解】解：将代入得，， 解得， 由图象可知，当时，的取值范围是或． 13．（3分）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径_____． 【答案】5米 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到的长，再根据勾股定理即可求出半径． 【详解】解：根据题意，得，过圆心O，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即此圆的半径米， 故答案为：5米． 14．（3分）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】3 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 15．（3分）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x＋上，若抛物线y＝ax2﹣x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是____． 【答案】1≤a＜或a≤−2 【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2−x＋1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令x＋＝ax2−x＋1，则2ax2−3x＋1＝0， ∴△＝9−8a＞0， ∴a＜， ①a＜0时， 此时函数的对称轴在y轴左侧， 当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0， 解得a＝−2， 故a≤−2 ②当a＞0时， 此时函数的对称轴在y轴右侧， 当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：a−1＋1＝1， 解得a＝1， 即：a≥1 ∴1≤a＜ 综上所述：1≤a＜或a≤−2． 故答案是：1≤a＜或a≤−2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 16．（3分）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 【答案】 【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】解：过点作，垂足为， 由折叠得：是正方形，， ， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共11小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 则或， 所以； （2）解：， ， ， 则或， 所以． 18．（5分）已知是的正比例函数，是的反比例函数．且当时，；当时，．求关于的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握正比例和反比例的定义是解题的关键． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【详解】解：设，，则 时，；时， ， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 19．（6分）如图，正方形中，， (1)求证：①；②； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：①四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①由、、可证得； ②利用全等的性质证，利用直角三角形两个锐角互余证明，即可解决问题； （2）利用全等的性质证，然后证，得，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2），， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 20．（6分）如图，是上的四个点，． (1)的形状为_________； (2)探究线段之间的等量关系，并证明． 【答案】(1)等边三角形 (2)解：，证明如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴是等边三角形； （2）略． 21．（6分）智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)请补全乙模型测试准确率的箱线图； (3)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【答案】(1)80，145 (2)补全乙模型测试准确率的箱线图如图所示： (3)选择乙模型，理由如下：乙模型的方差较小，四分位距更小，更稳定． 选择甲模型，理由如下：甲模型的平均数较高，上四分位数和中位数都要更好，整体高分较多． 【分析】（1）利用方差公式和下四分位的求解方法即可解答； （2）由表格数据画箱线图即可解； （3）根据表格中的平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【详解】（1）解：由题意，； 将乙模型的测试数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共10个数，偶数个， 方法一：前半部分数据为70，75，80，80，80，有奇数个，正中间的数为80，则，即； 方法二：的位置为，不是整数，取第3位，则，即； （2）略 （3）略 22．（8分）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 【答案】(1) (2)12 (3)4 【分析】（1）根据当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，即可得到答案； （2）设白球估计有x个，列方程求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，所以从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为； （2）解：设白球估计有x个， 根据题意，得， 解得， 白球估计有12个； （3）解：根据题意，得， 解得 经检验是方程的解． 23．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示：    【问题解决】 (1)确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． (2)计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)60元 (3)当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【分析】（1）将点代入得出方程组，求出解即可； （2）先表示出每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套， 可列方程，， 解得，， 要尽可能让利于顾客， 选择较低定价． 答：每套吉祥物套装应定价60元； （3）解：设每月销售利润为元， 整理得， ，二次函数图象开口向下， 当时，取得最大值， 此时，最大利润为元． 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 24．（8分）直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． (1)求直线的解析式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用交点坐标的意义，反比例函数的解析式，确定点和点，再利用待定系数法，求解即可； （2）不妨设，分， ， ，三种情形求解即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ， 解得， 故点和点， 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为； （2）解：由点是轴上一动点，故点P的纵坐标为0，不妨设， 的解析式为，且直线与坐标轴分别交于点C和点D， ，， ，，， 当时，如图所示， 则， ∴ ∴的横坐标相同， ∵， ∴； 当时，如图所示， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，点P位于点A的右侧，此时是锐角，不符合要求，舍去， 故， 经检验，是原方程的根， ∴； 当时，此情形显然不成立； 综上所述，符合题意的点坐标为或． 25．（10分）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台一一安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕如图②所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点F处，左端从抛物线上的点D处拉一条绳索固定，交x轴于点G，点E、F在边上，边与平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于2米； 2．与y轴之间的距离为米，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，米，米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 【答案】(1) (2)与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米． 【分析】（1）根据中心对称的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出与舞台平面之间的距离为米，符合要求；再求出时的函数值，得到，再根据，即可求出的长度． 【详解】（1）解：抛物线的顶点，抛物线与抛物线关于点O成中心对称， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将原点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意可得，与舞台平面之间的距离为（米）， 与舞台平面之间的距离要不小于2米，且， 与舞台平面之间的距离符合要求； 与y轴之间的距离为米， ， ， ， 点E、F在边上，边与平行于x轴． ， （米）， 答：与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米． 26．（10分）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)点的坐标为_____________，反比例函数的表达式为__________； (2)如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时的值和点的坐标； (3)在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)． (3)或或或． 【分析】（1）作垂线构造一线三垂直全等模型，利用正方形性质求出点坐标，代入求反比例函数解析式； （2）抓住平移特点：平移后纵坐标不变，求出横坐标，得到平移距离，再对点平移得到； （3）菱形存在性问题，以，，，四个点构成菱形，没有固定顺序，要分三类讨论哪两条线段作为菱形的边或对角线，结合两点距离公式求解． 【详解】（1）解：（1）作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． ， ； （2）解：由同理可得，点， 点恰好落在反比例函数的图象上， 当时，， ， ； （3）解：当时，如图， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 当点在第二象限时，， 当时，如图， 则点与关于轴对称， ， 当时，如图，设， 则， ， 解得， ， ， 综上：或或或． 【点睛】本题是正方形、反比例函数、平移、菱形存在性综合压轴题．正方形放在坐标系，出现直角，优先考虑一线三垂直全等求点坐标；左右平移只改变横坐标，纵坐标保持不变；菱形存在性问题，没有指明顶点顺序，必须分类讨论，分清是“边相等”还是“对角线互相垂直平分”，防止漏解． 27．（10分）如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． (1)填空：_________； (2)若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）将B点坐标代入函数表达式，即可求出b； （2）①与y轴的交点为G，求出过的直线表达式，联立求出交点D的坐标；以y轴的线段为底边，表示三角形的面积，面积比就是横坐标之比，与长度无关； 面积比值取最大值，即为所求； ②先求出过的直线方程，，所以两条直线的相等，点是与抛物线交点，与抛物线解析式联立，即可求得点横坐标． 【详解】（1）解：将，代入函数表达式，得： 解得： （2）解：①已知二次函数为， 令，得，y轴交点C坐标为， 令，解方程，得到x轴两个交点， 设过的直线解析式为：， 解得： ， 设点，过直线解析式为： 解得： ， 两直线表达式联立求交点D坐标， 解得： 点D坐标： 设与y轴交点为点G，如下图： 设点A横坐标为，点P横坐标为，点D横坐标为， 时，即点P横坐标：时，取得最大值，最大值为：． ② 由①可知：, 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：，点， 则点，，如图所示： ， ， 点是与抛物线的交点，联立得方程组 解得：，（点P在第一象限，负值不符合题意，舍去）， 点的横坐标为：4． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $