3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第三章（函数的概念与性质） 数学建模四环节、「决定苹果的最佳出售时间点」建模全程与数学建模论文 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 了解数学建模与数学建模活动的概念，知道数学建模过程主要包括的四个环节； ② 能对简单的实际问题，经历从实际情境中发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型的全过程； ③ 会用待定系数法确定一次函数、二次函数模型中的参数； ④ 会用配方法求二次函数的最大值，并结合实际意义作出决策； ⑤ 了解数学建模论文的常见结构，能把建模结果整理成论文，在小组合作中分工完成数据收集、模型试算与论文撰写。 重点 把「决定苹果的最佳出售时间点」这一实际问题抽象为函数模型并求解；用待定系数法由调查数据确定模型参数。 难点 合理假设（抓住主要因素、忽略次要因素、预设函数类型）；把数学结论还原为实际问题的决策，并用实际意义检验。 二、情境引入：牛顿与苹果 牛顿（1642—1727）是英国著名的物理学家、数学家和天文学家。1666 年夏末的一个傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一位腋下夹着书的年轻人走进母亲家的花园，坐在一棵树下埋头读书。风吹动树枝，「啪」的一声，一只苹果落了下来，恰好打在这位青年的头上。据说，他当时正在苦苦思索：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使行星保持在环绕太阳运行的轨道上。掉下来的苹果打断了他的思索——「为什么这只苹果会坠落到地上呢？」对这一问题及同类问题的深入思考，最终引导他提出了万有引力定律。 思考两个问题： 问题 1　你认为牛顿是从「苹果从树上落下」这一问题的思考中，很简单地提出万有引力的吗？ 问题 2　你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？ 从苹果落地到万有引力定律，关键不在于苹果本身，而在于面对现实问题时的思考方式：把现象抽象成可以研究的关系，用数学语言表达，用数学方法求解。本节我们就用这种方式，来研究一个与苹果有关的实际问题——果农丰收后面临的抉择：苹果现在卖，还是保鲜储存一段时间再卖？什么时候出售最合算？ 三、数学建模与数学建模活动 对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题，就是数学建模。教材把数学建模过程概括为四个环节： 数学建模过程的四个环节： ① 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题； ② 分析问题、建立模型； ③ 确定参数、计算求解； ④ 验证结果、改进模型，最终解决实际问题。 把这一过程画成流程图，就是数学建模活动的基本过程： 图 1　数学建模活动的基本过程 检验结果合乎实际，就得到实际问题的答案；不合平实际，则要分析原因、改进模型，重新建立模型、求解模型。对于综合性较强的问题，建模中要做的事情比较多（数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型、把结果以可视化方式显示、资料整理与论文撰写等），因此往往采用分工合作的方式：一个数学建模小组一般由 3—5 人组成，理想的小组中既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学。 四、建模全程：决定苹果的最佳出售时间点 （一）发现问题、提出问题 俗话说「物以稀为贵」。一般说来，当市面上某种商品的数量比较多时，这种商品的价格就会比较低；数量比较少时，价格就会比较高。苹果就是这样：收获期集中上市，市面上苹果多、价格低；如果把苹果利用一定的技术手段保鲜储存起来，等到市面上苹果变少、价格上升之后再出售，同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入。不过要注意，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大。 针对这种现象可以提出许多问题。本例研究的问题是：苹果保鲜储存多少天后再出售，单位数量的苹果所获得的收益最大？如果有最大值，那么储存时间为多少时收益取得最大值？ （二）分析问题、建立模型 先把问题中的量用符号表示出来，并分析它们的变化规律： 符号 实际意义 变化规律 市面上苹果的总量（万吨） 随储存时间 t 的变化而变化 苹果的单价（元） 随 x 的增大而减小 保鲜储存的时间（天） — 单位数量苹果的保鲜成本（元） 随 t 的增大而增大 第 t 天出售时单位数量苹果的收益（元） 本例研究的对象 市场上苹果的数量 x 会随时间 t 的变化而变化，设 x=h(t)。由上面的规律可以得到三个函数关系： 三个函数关系： 第 t 天出售时，单位数量苹果的收益等于卖出的价钱减去保鲜成本，因此收益模型为 下面只要根据实际情况确定 f(x)、g(t)、h(t) 的表达式即可。为了简化，作如下合理假设： 合理假设： f(x)=x+，其中 <0（数量越多，单价越低）； g(t)=t+，其中 >0（存得越久，成本越高）； ，其中 （上市量按二次函数变化）。 把假设代入收益模型，得 　 即 因为 <0 且 ，所以 z 是关于 t 的二次函数，它的最大值可以用配方法求得。模型中的参数，可以通过调查、收集实际数据来确定。 练一练：若某次调查得 、、，仿照上面的推导写出 z 关于 t 的表达式，并指出它的二次项系数。 答案：，二次项系数为 −0.0012，开口向下。 一般式中的三个系数都有实际背景：二次项系数 a 决定开口方向，一次项系数 b− 决定对称轴的位置，常数项则是 t=0（立即出售）时的收益。 要确定这些参数，需要对市场、成本、上市量做三方面的调查。下图是三组调查数据的记录： 图 2　三组调查数据：市面苹果量与单价、保鲜时间与成本、保鲜时间与上市量 （三）确定参数、计算求解 用待定系数法确定三个函数的表达式。先整理调查数据： 调查 记录的数据 市场调查 （单价与数量） 第 1 天：x=8.4 万吨，y=0.8 元；第 2 天：x=7.6 万吨，y=1.2 元 保鲜成本调查 （成本与时间） 第 1 天：C=0.11 元；第 2 天：C=0.12 元 上市量调查 （数量与时间） 第 1 天：x=9.462 万吨；第 2 天：x=9.328 万吨；第 3 天：x=9.198 万吨 收集的数据组数越多，越接近实际问题。下面分四步求解。 第一步　由市场调查数据确定 f(x) 设 f(x)=x+，把两组数据 (8.4, 0.8)、(7.6, 1.2) 代入： ，　 所以 检验：f(8.4)=−0.5×8.4+5=0.8，f(7.6)=−0.5×7.6+5=1.2，与调查数据一致。 第二步　由保鲜成本调查数据确定 g(t) 设 g(t)=t+，把两组数据 (1, 0.11)、(2, 0.12) 代入： ，　 所以 检验：g(1)=0.01×1+0.1=0.11，g(2)=0.01×2+0.1=0.12，与调查数据一致。 第三步　由上市量调查数据确定 h(t) 设 ，把三组数据 (1, 9.462)、(2, 9.328)、(3, 9.198) 代入，得方程组 ，　，　 第二式减第一式、第三式减第二式，得 ，　 两式再相减得 2a=0.004，所以 a=0.002；代回得 b=−0.14，进而 c=9.6。因此 检验：h(1)=0.002−0.14+9.6=9.462，h(2)=0.008−0.28+9.6=9.328，h(3)=0.018−0.42+9.6=9.198，与调查数据一致。 第四步　求收益函数并求最大值 把三个模型代入收益模型： 配方： 因为二次项系数 −0.001<0，所以 z 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为 t=30；当 t=30 时，z 取得最大值，最大值为 1。 结论：保鲜存储 30 天时出售，单位数量的苹果所获得的收益最大，为 1 元。 下面把几个典型时间点代入配方所得式子，算出相应的收益： 储存时间 t（天） 收益 z（元） 特点 0 0.1 立即出售（不储存）的收益 10 0.6 与储存 50 天的收益相同 20 0.9 与储存 40 天的收益相同 30 1 收益最大（最佳出售时间） 40 0.9 与储存 20 天的收益相同 50 0.6 与储存 10 天的收益相同 60 0.1 与立即出售的收益相同 图 3　用待定系数法由调查数据确定三个函数模型 图 4　收益函数 z 关于储存时间 t 的图象 回代检验：t=30 时，，，，于是 ，与配方法的结果一致。 （四）验证结果、改进模型 上面建立的模型可能会与实际情况有所偏差。因为在建模过程中，假设 f(x) 和 g(t) 都是一次函数、h(t) 是二次函数，等于已经把问题作了简化：实际市场中影响价格的因素很多，保鲜成本也未必随时间均匀增长。 如果条件允许，可以先不假设函数的具体形式，在收集尽可能多的数据的基础上，通过分析数据来最终确定函数的具体形式，这样也就能优化最终建立的模型。有条件时，还可以把自己的模型和当地种植苹果的果农验证，让数学在生产实践中发挥更大的作用。 五、数学建模论文 为了向别人介绍数学建模的成果、给别人提供参考，还需要把建模结果整理成论文的形式。一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定，常见的有三种模式： 图 5　数学建模论文的三种主体结构 模式 主体结构 模式一 （对应建模过程） 一、发现问题、提出问题；二、分析问题、建立模型；三、确定参数、计算求解；四、验证结果、改进模型 模式二 （简明） 一、问题的提出与分析；二、模型的建立与计算；三、问题的解决与反思 模式三 （完整） 一、背景介绍；二、问题提出与分析；三、模型假设与符号说明；四、模型的建立；五、模型的求解；六、模型的检验；七、模型的评价 论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、附录等信息。教材中还给出了一篇论文示例「国民收入、消费与投资的关系」：从政府文件中发现经济增长与投资、消费有关的问题，按照论文结构完整地展示了建模过程，可以对照阅读。 动手做：以「决定苹果的最佳出售时间点」为题（也可以选「停车距离的数学模型」或自选题目），把上面的建模过程整理成一篇数学建模论文。小组合作完成，注意写清假设、数据、模型、求解、检验与反思。 六、易错警示 易错点 错误表现 提醒 把收益当成单价 只建立 f(x)，认为存得越久价越高 收益=单价−保鲜成本，z=f(x)−g(t)，两个函数都要建立 漏掉保鲜成本 模型里没有 g(t) 成本随时间增大，忽略它会高估收益、选错出售时间 不写假设 直接写出解析式 假设是模型的前提，要说明抓住了哪些因素、忽略了哪些因素 参数凭感觉 不用数据、不算参数 用待定系数法，把调查数据代入解出参数 混淆 x 与 t 把上市量 x 当成储存时间 t x=h(t) 是桥梁，收益要写成 f(h(t))−g(t) 求出结果不还原 只写「最大值为 1」 要回答实际问题：保鲜 30 天后出售，单位收益最大 认为存得越久越好 忽略二次函数的对称性 z 的图象开口向下，t>30 以后收益反而下降 数据范围外滥用模型 把 t=100 代入外推 模型在收集数据的范围内更可靠，外推要谨慎 七、巩固练习 题号 题目 1 数学建模是对现实问题进行____，用____表达问题、用____构建模型解决问题的过程。 2 数学建模过程主要包括四个环节，请按顺序写出。 3 数学建模活动的基本过程是：实际情境→____→建立模型→____→检验结果；检验结果合乎实际就得到____，不合平实际则要____。 4 仿照苹果问题，为「决定白菜的最佳出售时间点」设定符号：市面上白菜总量为 x（万吨），单价为 y（元），储存时间为 t（天），单位数量的保鲜成本为 C（元），单位数量的收益为 z（元）。写出 y=f(x)、C=g(t)、x=h(t) 的意义及 z 的表达式。 5 在假设 f(x)=x+（<0）、g(t)=t+（>0）、（）之下，验证 6 市场调查得到两组数据 (x, y)=(5, 6)、(9, 4)。设 y=f(x)=x+，求 f(x) 的表达式。 7 保鲜成本调查得到两组数据 (t, C)=(2, 0.15)、(5, 0.3)。设 C=g(t)=t+，求 g(t) 的表达式。 8 上市量调查得到三组数据 (t, x)=(1, 10.1)、(2, 9.8)、(3, 9.7)。设 x=，求 h(t) 的表达式。 9 某地区收集到如下数据：市场调查 (x, y)=(6, 4)、(8, 3)；保鲜成本 (t, C)=(1, 0.2)、(3, 0.4)；上市量 (t, x)=(1, 7.5)、(2, 7.2)、(3, 7.1)。① 分别求出 f(x)、g(t)、h(t)；② 写出收益 z 关于 t 的函数并配方；③ 最佳出售时间是第几天？最大收益是多少？ 10 已知收益函数 。通过配方求 z 的最大值及此时的 t。 11 对于 ：① 图象是什么曲线，开口向哪；② 对称轴是什么；③ t<30 与 t>30 时，z 分别随 t 的增大而怎样变化？ 12 为什么要「验证结果、改进模型」？苹果问题中，哪些假设可能使模型与实际情况产生偏差？ 13 写出数学建模论文的三种主体结构（模式一、模式二、模式三各自的标题链）。 14 数学建模论文中除主体结构外，还可以增加哪些信息？一个数学建模小组一般由几人组成？理想的小组中需要哪几类同学？ 15 讨论：如果把 h(t) 也假设成一次函数 h(t)=mt+n，z 还是关于 t 的二次函数吗？此时最大值可能在哪儿取得？ 八、参考答案 1. 数学抽象；数学语言；数学方法。 2. 发现问题、提出问题；分析问题、建立模型；确定参数、计算求解；验证结果、改进模型。 3. 提出问题；求解模型；实际结果；分析原因、改进模型（重新建立模型、求解模型）。 4. y=f(x)：单价关于市面总量，是减函数；C=g(t)：单位保鲜成本关于储存时间，是增函数；x=h(t)：市面总量关于储存时间，由调查数据确定；z=f(x)−g(t)=f(h(t))−g(t)。 5. 把 代入 f(x)=x+，得 ；再减去 g(t)=t+，得 。 6. ，，所以 。检验：，，符合。 7. ，，所以 。检验：，，符合。 8. 由 ，，，两两相减得 ，，再相减得 ，所以 ，，，即 。检验三点均符合。 9. ① ，，得 ；，，得 ；由 ，， 得 ，，解得 ，，，得 。 　② ==。 　③ 第 2 天出售收益最大，最大收益为 3.1 元。回代：，，，，符合。 10. ==。开口向下，所以 t=30 时 z 取得最大值，最大值为 2 元。 11. ① 抛物线，开口向下；② 对称轴为直线 t=30；③ t<30 时 z 随 t 的增大而增大，t>30 时 z 随 t 的增大而减小。 12. 建模时作了简化假设，模型可能与实际有偏差，因此要用实际数据检验，不理想就改进。苹果问题中，「f(x)、g(t) 为一次函数」「h(t) 为二次函数」以及「只考虑数量对价格的影响」等假设，都可能带来偏差；收集更多数据、不预设函数的具体形式，可以优化模型。 13. 模式一：一、发现问题、提出问题；二、分析问题、建立模型；三、确定参数、计算求解；四、验证结果、改进模型。模式二：一、问题的提出与分析；二、模型的建立与计算；三、问题的解决与反思。模式三：一、背景介绍；二、问题提出与分析；三、模型假设与符号说明；四、模型的建立；五、模型的求解；六、模型的检验；七、模型的评价。 14. 作者、摘要、参考文献、附录等；一般由 3—5 人组成；需要数学基础扎实、能熟练使用计算机、写作表达能力强的同学。 15. ，是关于 t 的一次函数（ 时），不再是二次函数。若 ，z 随 t 增大而增大，最大值在取值范围的右端点取得；若 ，最大值在左端点取得；若 ，z 为常数。可见函数类型选得不同，最值的情况也不同，合理假设是建模的关键一步。 九、方法归纳 任务 做法 苹果问题中的对应 提出问题 从实际情境中找出「谁随谁变化、要求什么」 储存 t 天出售，单位收益 z 何时最大 设定符号 给每个量符号、单位、意义 x（万吨）、y（元）、t（天）、C（元）、z（元） 建立关系 抓住主要因素，用函数写规律 y=f(x) 减函数，C=g(t) 增函数，x=h(t) 合理假设 忽略次要因素，预设函数类型 f、g 为一次函数，h 为二次函数 确定参数 收集数据，用待定系数法解出参数 ；； 计算求解 代入化简，配方求最值 ，t=30 时最大为 1 元 验证改进 回代检验；收集更多数据优化模型 h(30)=7.2，f(7.2)=1.4，g(30)=0.4，z=1 整理论文 按建模过程组织，写清假设与数据 三种主体结构任选其一，可加摘要、参考文献 数学建模的每一步都伴随着「翻译」：把「越多越便宜」翻译成减函数，把「越存越贵」翻译成增函数，把「卖价减成本」翻译成z=f(x)−g(t)。学会这种翻译，就把实际问题交给了数学。 本节边界：本节以「决定苹果的最佳出售时间点」为载体，完整经历了数学建模的四个环节：从现实问题出发，设定符号、合理假设、收集数据、确定参数、计算求解、验证改进，并把结果整理成论文。这种把实际问题数学化的思想方法，是连接数学与现实世界的桥梁，在今后的学习和工作中还会反复使用。 学科网（北京）股份有限公司 $