第3章 函数 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 1．函数定义域的求法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题 ①若函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为函数g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①函数f(x)中的x与函数f(g(x))中的g(x)地位相同； ②定义域所指永远是x的范围． 2．同一个函数的判定方法 (1)定义域相同． (2)对应关系相同(两点必须同时具备)． 3．函数值域的求法 (1)配方法(二次或四次)． (2)判别式法． (3)换元法． (4)函数的单调性法． 4．函数解析式的求法 (1)配凑法． (2)换元法． (3)待定系数法． (4)解方程组法(消去法)． (5)赋值法． 5．判断函数单调性的步骤 (1)设x1，x2是所研究区间内任意两个自变量的值，且x1<x2. (2)判定f(x1)与f(x2)的大小：作差比较或作商比较． (3)根据单调性的定义下结论． 6．函数奇偶性的判断方法 首先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看函数f(－x)与f(x)之间的关系：①若函数f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若函数f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数；若f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数；③若＝1(f(－x)≠0)，则f(x)为偶函数；若＝－1(f(－x)≠0)，则f(x)为奇函数． 7．方程的根与函数的零点 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． 8．函数零点的判断方法 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 注意：①由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点与不变号零点； ②当f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点； ③用二分法求函数零点的近似值时，应注意初始区间的选择． 9．函数的应用 解决函数应用题的关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面，增加间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，及有关角度、面积、体积、造价的问题，培养实际问题数学化的意识和能力． 一、函数的定义域和值域 函数的定义域是指函数y＝f(x)中自变量x的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数的性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用． 对于具体函数的值域可以通过求值域的方法来求，但抽象函数的值域可以通过图象变换来求． (1)函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　) A. B. C. D.∪ [解析]　由题意，得解得x<1且x≠. [答案]　D (2)已知函数f(2x－1)的定义域为(－1，2)，则函数f(1－x)的定义域为(　　) A. B. C．(－2，4) D．(－2，1) [解析]　因为函数f(2x－1)的定义域为(－1，2)，所以－1<x<2，－2<2x<4，－3<2x－1<3，所以f(x)的定义域为(－3，3)，对于函数f(1－x)，由－3<1－x<3，得－2<x<4，所以函数f(1－x)的定义域为(－2，4)．故选C. [答案]　C (3)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，值域为[－2，3]，则下列函数的值域也为[－2，3]的是(　　) A．y＝f(x＋1) B．y＝f(x)＋1 C．y＝f(－x) D．y＝－f(x) [解析]　对于A，y＝f(x＋1)的图象可看作由f(x)的图象向左平移一个单位得到，故值域不变，故A符合题意；对于B，由y＝f∈，可得y＝f＋1∈，即y＝f(x)＋1的值域为，故B不符合题意；对于C，函数y＝f(－x)与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，故函数y＝f(－x)的值域与函数y＝f(x)的值域相同，为[－2，3]，故C符合题意；对于D，由y＝f(x)∈[－2，3]，可得y＝－f(x)∈[－3，2]，即y＝－f(x)的值域为[－3，2]，故D不符合题意．故选AC. [答案]　AC (4)(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的值域为(－∞，－1)∪[1，＋∞) D．f(x)＋f＝0 [解析]　对于A，f(x)＝有意义，则1－x2≠0，解得x≠±1，故f(x)的定义域为{x|x≠±1}，故A错误；对于B，因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数，故B正确；对于C，因为f(x)＝＝＝－1－，令t＝x2∈[0，1)∪(1，＋∞)，易知y＝－1－在[0，1)，(1，＋∞)上单调递增，故y＝－1－≥1或y＝－1－<－1，所以f(x)的值域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)，故C正确；对于D，因为f(x)＋f＝＋＝＋＝0，故D正确．故选BCD. [答案]　BCD 二、函数的解析式 函数的解析式实际上就是函数的对应关系的数学表示，求函数的解析式一般采用的是换元法、配凑法、待定系数法、解方程组法、赋值法等． (1)已知函数f(x－1)＝x2＋x－3，则f(x)＝________． [解析]　设t＝x－1，则x＝t＋1，故f(t)＝(t＋1)2＋(t＋1)－3＝t2＋3t－1，即f(x)＝x2＋3x－1. [答案]　x2＋3x－1 (2)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________． [解析]　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝ [答案]　f(x)＝ (3)已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R都有2f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－2x＋6，且f(0)＝1，则f(x)＝________． [解析]　令x＝y＝0，得2f(1)＝[f(0)]2－f(0)＋6＝6，则f(1)＝3，令y＝0，得2f(1)＝f(x)·f(0)－f(0)－2x＋6，即6＝f(x)－2x＋5，所以f(x)＝2x＋1. [答案]　2x＋1 三、分段函数问题 所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集．分段函数求值等问题是高考常考的问题． (1)已知函数f(x)＝则f(f(f(－1)))＝(　　) A．2 B．3 C．－3 D．5 [解析]　依题意，得f(－1)＝2，f(2)＝＝2，所以f(f(f(－1)))＝f(f(2))＝f(2)＝2.故选A. [答案]　A (2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． [解析]　①当1－a<1，即a>0时，1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；②当1－a>1，即a<0时，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－，符合题意．综上所述，a＝－. [答案]　－ 四、函数的单调性与奇偶性 单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛． 奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性可以缩小问题研究的范围，求解问题时常能避免复杂的讨论． (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对任意的x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时，都有>0成立，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) [解析]　因为对任意的x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时，都有>0成立，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，故(x－1)f(x)>0⇔或即或所以x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D. [答案]　D (2)(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，4]上单调递增，且f(2x－4)也是偶函数，则(　　) A．f(－5)>f(2) B．f(8)>f(1) C．函数f(2x－4)的图象关于y轴对称 D．函数y＝f(2x＋2)＋f(4－2x)的图象关于直线x＝对称 [解析]　因为f(2x－4)是偶函数，所以f(2x－4)＝f(－2x－4)，即f(x－4)＝f(－x－4)，所以f(x)的图象关于直线x＝－4对称．因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(8)＝f(－8)＝f(0)，f(－5)＝f(－3)＝f(3)，因为f(x)在[0，4]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)>f(0)，即f(－5)>f(2)>f(1)>f(8)，故A正确，B错误；因为f(2x－4)是偶函数，所以f(2x－4)的图象关于y轴对称，故C正确；令函数g(x)＝f(2x＋2)＋f(4－2x)，则g(1－x)＝f(4－2x)＋f(2x＋2)，即g(x)＝g(1－x)，所以函数y＝f(2x＋2)＋f(4－2x)的图象关于直线x＝对称，故D正确．故选ACD. [答案]　ACD 定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：①对任意的x，y∈(－1，1)，均有f(x)＋f(y)＝f；②当x∈(－1，0)时，f(x)>0. (1)判定函数f(x)的奇偶性； (2)判定函数f(x)在(－1，0)上的单调性． [解]　(1)令x＝y＝0，得2f(0)＝f(0)， ∴f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数f(x)在(－1，1)上是奇函数． (2)设－1<x1<x2<0，则x2－x1>0. f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f. ∵－1<x1<x2<0， ∴1＋x1>0，x2－1<0， ∵x2－x1－1＋x1x2＝(x2－1)＋x1(x2－1) ＝(1＋x1)(x2－1)<0， ∴0<x2－x1<1－x1x2，∴0<<1. ∵当x∈(－1，0)时，f(x)>0，且f(x)为奇函数， ∴当x∈(0，1)时，f(x)<0， ∴f(x2)－f(x1)<0， ∴函数f(x)在(－1，0)上单调递减． 五、函数的图象及应用 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于正确地画出图象．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点． 设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明：函数f(x)是偶函数； (2)画出函数f(x)的图象； (3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数f(x)的值域． [解]　(1)证明：∵函数f(x)的定义域为[－3，3]， ∴当x∈[－3，3]时，－x∈[－3，3]． 又f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数． (2)当0≤x≤3时， f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2. 当－3≤x<0时， f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2. 即f(x)＝ 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图． (3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1，0)，[0，1)，[1，3]． f(x)在区间[－3，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，3]上为增函数． (4)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2； 当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2，2]． 六、函数的零点与方程的根 根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴公共点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴公共点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视． 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围． [解]　令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，函数f(x)的图象只能如图所示． 只需或 即或 解得k>0或k<－4. 故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝x2－2x. (1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象； (2)设g(x)＝f(x)－a，利用图象讨论：当实数a为何值时，函数g(x)有①一个零点；②两个零点；③三个零点？ [解]　(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x； 设x<0，则－x>0， 则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x. 因为函数f(x)为奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x， 所以f(x)＝ 画出函数f(x)的图象如图所示． (2)由g(x)＝f(x)－a＝0可得f(x)＝a， 结合(1)中函数的图象可知， ①当a<－1或a>1时，函数y＝a与y＝f(x)的图象有一个交点，即函数g(x)＝f(x)－a有一个零点． ②当a＝－1或a＝1时，函数y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点，即函数g(x)＝f(x)－a有两个零点． ③当－1<a<1时，函数y＝a与y＝f(x)的图象有三个交点，即函数g(x)＝f(x)－a有三个零点． 七、函数的应用 针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数来刻画．这当然需要我们深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要函数要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为合适的函数来刻画，从而解决一些实际问题或预测一些结果． 已知A，B两城市相距100 km，在两地之间距离A城市x km的D处修建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10 km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为0.25.若A城市每天产生的垃圾量为20 t，B城市每天产生的垃圾量为10 t. (1)求x的取值范围； (2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数； (3)垃圾处理厂建在距离A城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？ [解]　(1)由题意可得x≥10，100－x≥10. 所以10≤x≤90. 所以x的取值范围为[10，90]． (2)由题意，得y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]， 即y＝x2－500x＋25000(10≤x≤90)． (3)y＝x2－500x＋25000＝＋(10≤x≤90)，则当x＝时，y最小． 即垃圾处理厂建在距离A城市 km处，才能使每天的垃圾处理费用最少． 2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车的售价为5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(注：利润＝销售额－成本) (1)求2024年的利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：百辆)的函数关系式； (2)当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． [解]　(1)当0<x<40时，L(x)＝5×100x－10x2－100x－2500＝－10x2＋400x－2500； 当x≥40时，L(x)＝5×100x－501x－＋4500－2500＝2000－. 所以L(x)＝ (2)当0<x<40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1500， 所以L(x)max＝L(20)＝1500； 当x≥40时，L(x)＝2000－≤2000－2＝2000－200＝1800， 当且仅当x＝， 即x＝100时等号成立， 故L(x)max＝L(100)＝1800>1500， 所以当2024年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元． 10 学科网（北京）股份有限公司 $