高中数学单元测试——第五章三角函数（适中版02）

**基本信息** 聚焦高中数学第五章三角函数单元复习，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合文化情境（折扇面积）与实际问题（摩天轮运动），培养数学眼光、思维与语言的综合素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边相同角、定义域、三角函数定义|第5题结合折扇文化，考查扇形面积公式，体现数学眼光| |多选题|3/18|三角形内角关系、函数性质、新定义“余弦方差”|第11题新定义问题，培养创新意识与逻辑推理能力| |填空题|3/15|两角和差公式、不等式解集、函数性质综合|第14题开放题，融合奇偶性与中心对称，考察数学语言表达| |解答题|5/77|五点法作图、三角函数单调性、图像变换、摩天轮应用|第18题摩天轮运动建模，体现数学应用意识与模型观念|

高中数学单元测试 —— 第五章 三角函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）角的终边过点，（   ） A．2 B． C． D． 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知为锐角，，且，，则（   ） A．7 B．1 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值与最小值之差为1 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数 11．（本题6分）（多选）定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若，则集合相对常数的“余弦方差”的取值可能为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知(均是锐角),则的值为_______. 13．（本题5分）在上，使不等式成立的的集合为______. 14．（本题5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________． ①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3． 四、解答题 15．（本题13分）用“五点法”作出下列函数的简图． (1)； (2)． x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 1－sinx 1 0 1 2 1 x 0 π 2π cosx 1 0 －1 0 1 －1＋cosx 0 －1 －2 －1 0 16．（本题15分）已知函数的两个相邻的对称中心的距离为． (1)求在上的单调递增区间； (2)当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值． 17．（本题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 18．（本题17分）将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形.摩天轮直径为40米，中心O距地面21米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点. (1)游客登上摩天轮4分钟后到达B处，求该游客距离地面的高度； (2)经过x分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于x的函数解析式满足（其中，，），求解析式； (3)当该游客甲登上摩天轮2分钟时，游客乙在摩天轮最低点A处登上摩天轮.求游客甲和游客乙距离地面的高度之差的绝对值的最大值. 19．（本题17分）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 三角函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两角是否相差整数倍即可. 【详解】对于A，，所以与角终边不相同，故A错误； 对于B，，所以与角终边相同，故B正确； 对于C， ，所以与角终边不相同，故C错误； 对于D，，所以与角终边不相同，故D错误. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的定义域进行求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的定义域是. 故选：A. 3．（本题5分）角的终边过点，（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求得正确答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据商数关系和平方关系求解即可. 【详解】，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 5．（本题5分）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的延长线交于圆心，圆心角，扇形半径，根据弧长公式结合题意列方程组求出，再由扇形面积公式即可计算得解. 【详解】如图，与的延长线交于圆心， 设圆心角，扇形半径，则，解得， 则该扇面的面积为. . 故选：B 6．（本题5分）已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切化弦，然后可得，再结合平方关系式和诱导公式可得. 【详解】因为，所以. 因为，所以0，所以，解得或. 因为，所以，，所以，即， 可得，所以. 故选：A. 7．（本题5分）把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得到的解析式后，结合正弦函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得， 又的图象关于点对称， 则，，解得，， 则，，又， 则当时，有最小值. 故选：B. 8．（本题5分）已知为锐角，，且，，则（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简，结合同角三角函数的关系及差角的正切公式求解. 【详解】由，得，则， 由，，得，而， 则，，， 所以. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用三角形的内角和为和诱导公式求解即可. 【详解】因为, 所以,故A正确; ,故B错误; ,故C正确; 当时,选项D不正确; 故选:AC 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值与最小值之差为1 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数 【答案】AD 【分析】将函数通过恒等变换化为，后按照最值，单调区间，对称中心的求法求解即可判断ABC．D选项运用图像变换结合偶函数定义可解. 【详解】 . 则函数,，之差为，则A正确． ，则区间上有增有减，则B错误. 将代入解析式得，，则不是对称中心，则C错误. 将的图象向左平移个单位长度得到. 则,则是偶函数，则D正确. 故选：AD 11．（本题6分）（多选）定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若，则集合相对常数的“余弦方差”的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换化简得出，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】依题意 ， 因为，所以，所以， 故， 故选：ABC． 三、填空题 12．（本题5分）已知(均是锐角),则的值为_______. 【答案】 【分析】先求出的值，再求的范围，再求出的值. 【详解】由题得， 因为均是锐角， ， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查和角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 13．（本题5分）在上，使不等式成立的的集合为______. 【答案】 【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象和性质可求解． 【详解】由，则， 又，所以所求集合为． 故答案为：． 14．（本题5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________． ①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，选择三角函数，根据对称性和最值，选择.要注意答案不唯一. 【详解】由题意：函数为偶函数，所以关于y轴对称，又关于中心对称，且在上的最大值为3， 所以可以取三角函数（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15．（本题13分）用“五点法”作出下列函数的简图． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）分别取的值为，列表、描点、连线，可得出函数的图象； （2）分别取的值为，列表、描点、连线，可得出函数的图象； 【详解】（1）①取值列表如下： x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 1－sinx 1 0 1 2 1 ②描点连线，如图所示.    （2）①取值列表如下： x 0 π 2π cosx 1 0 －1 0 1 －1＋cosx 0 －1 －2 －1 0 ②描点连线，如图所示．    16．（本题15分）已知函数的两个相邻的对称中心的距离为． (1)求在上的单调递增区间； (2)当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的对称性和单调性进行求解即可； （2）根据正弦函数的对称性，结合两角和的余弦公式进行求解即可, 【详解】（1） ， 由题意知，的最小正周期为，所以，解得， ∴， 令，解得 取，则取，则， 所以在上的单调递增区间为． （2）由（1）知， 当时，， 由的对称性可知，解得， 所以. 17．（本题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域． 【答案】(1)最小正周期为；振幅为；初相为；对称轴方程为. (2) 【分析】（1）根据正弦函数的性质来求解最小正周期、振幅、初相和对称轴方程. （2）先根据平移规律得到的表达式，再结合的取值范围求解其值域. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为；振幅为；初相为； 对称轴方程为，解得. （2）由题意知，. 因为，所以，所以. 所以. 故函数的值域为. 18．（本题17分）将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形.摩天轮直径为40米，中心O距地面21米，按逆时针方向匀速转动，某游客从最低点A处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点. (1)游客登上摩天轮4分钟后到达B处，求该游客距离地面的高度； (2)经过x分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于x的函数解析式满足（其中，，），求解析式； (3)当该游客甲登上摩天轮2分钟时，游客乙在摩天轮最低点A处登上摩天轮.求游客甲和游客乙距离地面的高度之差的绝对值的最大值. 【答案】(1)31米 (2) (3) 20 【分析】（1）由已知条件得的大小，可得点到地面的高度； （2）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出得解； （3）两人距离地面的高度都表示为与时间的函数，作差后通过三角恒等变换化简后结合正弦函数的性质求最大值. 【详解】（1）因为从最低点处登上摩天轮，6分钟后第一次到达最高点， 所以登上摩天轮4分钟后，， 所以游客距离地面的高度为米. （2）因为，其中， 所以，解得， 又，则，即， 因为，即， 又，所以， 所以. （3）设分钟后两人距离地面的高度之差的绝对值为： ， 当，即时，的最大值为20. 19．（本题17分）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）解：当，，时，则， 可得，则， 其中且，于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $