优质解析：江苏省南京市、盐城市2017届高三上学期第一次模拟考试数学试题

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试题 (总分160分，考试时间120分钟) 注意事项： 　　1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 　　2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 　　3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式： 锥体体积公式： ，其中 为底面积, 为高； 柱体体积公式： ，其中 为底面积, 为高. 样本数据 的方差 ，其中 .[来源:学_科_网] 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合 ， ，则 ▲ . 2．设复数 满足 ，其中 为虚数单位， 则 的虚部为 ▲ . 3．已知样本数据 的方差 ，则样本 数据 的方差为 ▲ . 4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是 ▲ . 5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字 中至少有一个是偶数的概率为 ▲ . 6．已知实数 满足 ，则 的最小值 是 ▲ . 7．设双曲线 的一条渐近线的倾斜角 为 ，则该双曲线的离心率为 ▲ . 8．设 是等差数列，若 ，则 ▲ . 9．将函数 的图象向右平移 （ ）个单位后，所得函数为偶函数，则 ▲ .[来源:Z#xx#k.Com] 10．将矩形 绕边 旋转一周得到一个圆柱， ， ，圆柱上底面圆心[来源:学科网ZXXK] 为 ， 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥 体积的最大值 是 ▲ . 11．在 中，已知 ， ，则 的最大值为 ▲ . 12．如图，在平面直角坐标系中，分别在 轴与直线 上从左向右依次取点 、 ， ，其中 是坐标原点，使 都是等边三角形，则 的边长 是 ▲ . 13．在平面直角坐标系 中，已知点 为函数 的图象与圆 的公共点，且它们在点 处有公切线，若二次函数 的图象经过点 ，则 的最大值为 ▲ . 14．在 中， 所对的边分别为 ，若 ，则 面积的最大值为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱 中， ， , 分别是 , 的中点． （1）求证： ∥平面 ； （2）求证：平面 平面 ． 16．(本小题满分14分) 在 中， , , 分别为内角 , , 的对边，且 ． （1）求角 ； （2）若 ，求 的值. 17. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系 中，已知圆 经过椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的焦点. （1）求椭圆 的标准方程； （2）设直线 交椭圆 于 两点， 为弦 的中点， ，记直线 的斜率分别为 ，当 时，求 的值. 18．(本小题满分16分) 如图所示，某街道居委会拟在 地段的居民楼正南方向的空白地段 上建一个活动中心，其中 米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形 ，上部分是以 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 不超过 米，其中该太阳光线与水平线的夹角 满足 . （1）若设计 米， 米，问能否保证上述采光要求？ （2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计 与 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中 取3） 19．(本小题满分16分) 设函数 ， （ ）. （1）当 时，解关于 的方程 （其中 为自然对数的底数）； （2）求函数 的单调增区间； （3）当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于 的不等式 有解？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据： ， ） 20．(本小题满分16分) 若存在常数 、 、 ，使得无穷数列 满足 则称数列 为“段比差数列”，其中常数 、 、 分别叫做段长、段比、段差. 设数列 为“段比差数列”. （1）若 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、 、3. ①当 时，求 ； ②当 时，设 的前 项和为 ，若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围； （2）设 为等比数列，且首项为 ，试写出所有满足条件的 ，并说明理由.[来源:Z&xx&k.Com] 南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 （本部分满分40分，考试时间30分钟） 21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） A.（选修4-1：几何证明选讲