课时分层检测(四十二) 等差数列（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦等差数列核心知识，整合合肥、烟台等多地模拟题，分层设计知识过关与素养提升，覆盖通项公式、前n项和、性质及实际应用，适配一轮复习基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|6题|通项公式、前n项和公式、公差计算、实际应用（鬼工球）|结合地方模拟题，注重基础概念辨析| |多项选择题|2题|等差数列性质（单调性、最值、前n项和关系）|多选项逻辑推理，强化性质综合应用| |填空题|2题|前n项和最值的公差范围、函数中心对称与数列结合|跨知识模块融合，突出抽象思维| |解答题|2题|通项推导、集合与数列综合、不等式恒成立|分层设计，知识过关侧重基础运算，素养提升强调数学建模|

课时分层检测（四十二）等差数列 知识过关 一、单项选择题 （2026·合肥模拟） 1. 数列中，，，则（ ） A. 210 B. 190 C. 170 D. 150 2. 已知等差数列的前n项和为，，若，则（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 3. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ） A. 2025 B. C. D. 2026 （2026·烟台模拟） 4. 记等差数列的前项和为，若的公差为，首项，，则（ ） A. B. C. D. （2026·包头模拟） 5. 已知等差数列中，，，设，则（ ） A. 245 B. 263 C. 281 D. 290 （2026·河南模拟） 6. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球．若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d个（d为常数）．现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 二、多项选择题 （2026·东北三省三校联考） 7. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， （2026·株洲模拟） 8. 设等差数列的前项和为，则以下四个选项中正确是( ). A. 若，则 B. 若，且，则且 C. 若，且在前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差为 D. 若，且，则和均是的最大值 三、填空题 9. 等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为____________． （2026·湖北七市（州）联合统一调研） 10. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知数列满足，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则__________. 四、解答题 （2026·北京东城区段考） 11. 已知数列为等差数列，，前项和为，满足：当且时，． （1）求的通项公式； （2）定义集合且，记的元素个数为，数列的前项和为，求． 素养提升 12. 数列的前项和为，，且. （1）证明：为等差数列； （2）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 课时分层检测（四十二）等差数列 知识过关 一、单项选择题 （2026·合肥模拟） 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义知公差为，然后利用求和公式结合等差数列通项性质求和即可； 【详解】由知数列是公差为的等差数列， 所以. 故选：C. 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知结合等差数列通项公式可得，再利用等差数列前项和公式化简可求. 【详解】设的公差为d，由，可得， 得， 则， ，故． 故选：C． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】由是等差数列，设公差为d，则， 所以，（常数），则也为等差数列． 由，得数列的公差为1． 所以， 所以， 所以． 故选. （2026·烟台模拟） 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列可知，代入，可得，即可得. 【详解】因为等差数列的公差为， 所以，即， 即，则， 又，则， 故， 故选：D. （2026·包头模拟） 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出. 【详解】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C （2026·河南模拟） 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】设从内向外第n层鬼工球上的雕孔数量为，根据等差数列的通项公式及求和公式计算求解即可. 【详解】记从内向外第n层鬼工球上的雕孔数量为， 由题意知，，故对于一个n层的鬼工球，其雕孔数为， 所以3层和6层的鬼工球的雕孔数分别为，，差值， 解得，故， 由于三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36， 若m在3，6之间，则相差最多者即层数为3，6的鬼工球，不符合题意； 若m大于6，则相差最多者即层数为3，m的鬼工球，而即使m取最小值7，其雕孔数为56，而，不符合题意； 若m小于3，则相差最多者即层数为m，6的鬼工球， 由层数为6的鬼工球雕孔数为42知，层数为m的鬼工球雕孔数为6，故，解得（负值舍去）. 故选：A． 二、多项选择题 （2026·东北三省三校联考） 【7题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD （2026·株洲模拟） 【8题答案】 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式、下标和性质与前项和公式，依次分析各结论即可得解. 【详解】对于A：因为 是等差数列， ，所以 ，故A正确； 对于B：因为 ，所以 ，即 是递增数列， 因为 ，即 ，所以 ， 即 ，则 ，所以 且 ，故B正确； 对于C：因为 ，所以 ，则 ，则 ， 又 ， ， 所以 ，即 ，故 ，得 ， ， 所以 的公差为 ，故C错误； 对于D：因为 ，即 ， 即 ，整理得 ， 因为 ，所以 ， 由于 ，所以 ，故 ，即 ， 因为 ，所以 递减数列，则 ， ， 所以 ， ， 故 和 均是 的最大值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： （2026·湖北七市（州）联合统一调研） 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有或，结合确定数列前2026项成等差数列，公差为，进而得，再判断的奇偶性，即可得结果. 【详解】因为或， 又， 设2025个差中有个2和个，故，所以， 即数列前2026项成等差数列，公差为. 令， 即， 则 ， 所以为奇函数，结合题设易知，故. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得数列前2026项成等差数列，公差为2，并确定是奇函数为关键. 四、解答题 （2026·北京东城区段考） 【11题答案】 【答案】（1）； （2）100. 【解析】 【分析】（1）根据已知等差数列结合，求解基本量即可. （2）根据集合新定义可得，进而求出即可求解得结果 【小问1详解】 由，令，得，即， 则，即，于是，而，解得， 所以 【小问2详解】 记且，由于， 则的元素个数即为的元素个数，而，共个元素，于是， 所以. 素养提升 【12题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可代入化简得，由等差数列的定义即可求解， （2）根据可得的表达式，进而将问题转化为，构造，利用作差法确定数列的单调性，即可求解最值得解. 【小问1详解】 当时，，则， 化简得，又， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得，则， 故 则， 由，得，则， 令， 则，所以数列单调递增， 又，故，所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $