湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期期中考试数学自编卷（范围：高考范围）

湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期期中考试自编卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B A C D C ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据三角函数的图象变换进行选择. 【详解】由的图象变换为的图象，有以下两种思路： （1）先将的图象向右平移个单位，得的图象， 再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，故C正确，D错误； （2）先将的图象上任一点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得的图象，再把所得函数图象向右平移个单位， 得的图象，故AB错误. 故选：C 2．B 【分析】利用二项式定理展开，再求解精确到的近似值. 【详解】 故选：B. 3．D 【详解】将数据从小到大排列，得到48，58，66，75，78，78，82，84，86，91， 由于，故从小到大选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数， 所以这组数据的第80百分位数是. 4．B 【分析】先根据最值以及周期得出，根据正弦函数的图象解不等式得出答案. 【详解】由题意可知，解得 由，则 由得出 令，，则 函数的图象如下图所示 由图可知，此人的血压在之间的时长约为 故选：B 5．A 【分析】利用导数研究函数的单调性，又对任意，都有，即可确定答案. 【详解】因为恒成立， 所以函数在定义域上单调递减， 当时，，即函数图象过点， 且对任意，都有， 所以对任意，都有，所以结合选项可知A满足. 故选：A 6．C 【分析】结合表面积,侧面为半圆,建立等式,即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则，，所以，，. 【点睛】本道题考查了立体几何表面积计算公式,结合题意,建立方程,计算结果,即可,属于基础题. 7．D 【分析】分别为的中点，证明平面平面，得点在线段上，取得最小值时为线段的中点，求出，余弦定理求的余弦值即可. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，所以， 又分别为的中点，所以，故， 平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，故， 平面，平面，平面， 又平面，，故平面平面， 所以当平面时，平面，则点在线段上， 当时，取得最小值，易知， 此时为线段的中点. 由平面几何知识可知，，，， . 所以的余弦值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：平面，则点在过与平面平行的平面内，分别为的中点，由平面平面得点在线段上，且为线段的中点，三角形中余弦定理求的余弦值. 8．C 【解析】先由题意得出的表达式，易知是奇数，再根据选项求出的解析式，判断在上是否单调即可. 【详解】解：， 关于对称， 又， 关于对称， 设的周期为， ， 而， ； 对A，当时，， 又关于对称， ， 解得：， 又， ， ， 当时，，显然不单调，所以A错误； 对B，是奇数，显然不符合； 对C，当时，， 又关于对称， ， 解得：， 又， ， ， 当时，，显然单调，所以C正确； 对D，是奇数，显然不符合. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令 (或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对 。的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 9．ACD 【分析】根据是第一象限角，得到的范围判断. 【详解】解：因为是第一象限角， 所以， 则， ， 所以，不确定，，， 故选：ACD 10．ACD 【分析】由线线平行及锥体体积求法即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由扇形弧长公式即可判断C；由余弦定理即可判断D． 【详解】对于A，连接，由得点在线段上， 由为直四棱柱得，，又， 所以的面积为定值，又点平面的距离为定值， 所以四面体的体积是定值，故A正确； 对于B，如图，若的外心为，过点作于点，则是的中点， 因为， 所以，故B错误； 对于C，如图，在平面中作，垂足为， 由已知得，平面，且平面， 所以，又平面，且， 所以平面， 因为底面是菱形，，所以， 在中，因为，所以， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 设此圆与交于点，因为，且， 所以，则点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，若，则点与点重合， 把沿着进行翻折，使得四点共面， 此时有最小值， 在中，， 所以，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 解得，故D正确； 故选：ACD. 11．BCD 【分析】根据正弦定理，，利用正弦定理可判断A；根据外心性质可得在上的投影向量为，从而判断B；利用余弦定理和基本不等式可得，再根据三角形面积公式判断C；利用余弦定理、面积公式和基本不等式，化简求得，再由正弦定理判断D. 【详解】根据正弦定理，可得， 则，即， 所以， 对于A，若，则，所以，A错误； 对于B，由点向作垂线，垂足为， 因为为外接圆圆心，所以为中点， 从而在上的投影向量为， 则，B正确； 对于C，若，则， 根据余弦定理，，即， 又根据基本不等式，得， 则，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D，，则， 又， 即， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以，所以， 则，即， 即，解得，， 所以，而， 所以，D正确. 12． 【分析】利用椭圆的点差法求斜率即可求解. 【详解】设， 则，作差得，， 所以， 因为的中点坐标为，所以， 所以， 故答案为: . 13． 【分析】令，化简，求出的范围，结合不等式恒成立得到，再求出的范围即可． 【详解】解：令 则 ． 因为，所以， 所以， 由于不等式对于恒成立 可得． 所以的取值范围为． 故答案为：． 14． 【详解】 如图，设的内切圆与轴相切于实点，根据切线性质及双曲线的定义可得,结合，解得,所以的内切圆与轴相切于实轴端点，因为，故，可得，轴，从而双曲线方程中令得，故答案为. 15．(1) (2) 【分析】（1）先根据周期可求出，从而可求出函数的单调增区间，然后与取交集即得解； （2）根据整体代换法即可求出值域． 【详解】（1）因为图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为，所以的最小正周期，所以，故. 令，则， 即的单调递增区间为.而，所以 函数在上的单调增区间是． （2）当时，，则， 所以，即的值域为． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出余弦值. （2）利用正弦定理的应用求出结果. （3）在中，利用正弦定理可求，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）（1）在中， 由余弦定理可得：. （2）因为 所以，所以， 在中，， 由正弦定理，， 所以. （3）在中，， 所以， 在中，由正弦定理， 可得，， 所以，. 17．(1). (2)（i）9；（ii）. 【分析】（1）由已知可得，的两根是，1，然后可求出答案； （2）由条件可得，（i）用基本不等式可求出的最小值，（ii）在上的解集是空集，可得，结合可求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：由已知可得，的两根是，1， 所以，解得． （2）解：（i）因为， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，，，解得，时等号成立，此时的最小值是9． （ii）在的解集为空集， ∴， 又因为代入上式可得， 解得：． 所以实数的取值范围为. 18．（1）；（2）. 【分析】（1）将平方，结合向量数量积的运算律求出，求出，即可得出结论； （2）根据向量数量积的运算律，分别求出，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】（1）， ， ， 所以； （2），的夹角为60°，， ， ， ， 设向量与的夹角为， 所以向量与夹角的余弦值为. 19．(1) 因为是等边三角形，点是棱的中点， 所以， 又平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）先分别证明、，由此即可证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，设，分别求出求平面与平面的法向量（含有参数），由公式即可表示出（它可以看成是关于的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解. 【详解】（1）略 （2）在平面中，过点作, 由（1）可知，， 所以，， 又平面，平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：    因为是等边三角形，， 所以，，， 因为 ，所以 设所以， 所以 设平面的法向量为， 又 所以，即 ， 令，得所以平面的一个法向量为 设平面的法向量为 ， 又 所以 ，即 ， 令，得 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以， 设，因为， 所以，所以， 所以， 设，则由复合函数单调性可知 在时单调递增， 所以当 时，即时，取到最小值. 【点睛】关键点点睛：本题第一问比较常规，其关键是转换为线面垂直，且要通过分析找出那条直线与另外一个平面垂直，而第二问的关键首先要想到有动点就有参数，设法将两平面夹角的余弦值转换为关于参数的函数，从而求函数最小值即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期期中考试自编卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：高考范围。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．将的图象变换为的图象，下列变换正确的是（    ） A．将图象上点的横坐标变为原来的倍，再将图象向右平移个单位 B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移个单位 C．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的倍 D．将图象向右平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍 2．小猫在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，小猫决定采用精确到的近似值，则这个近似值是（    ） A． B． C． D． 3．某次测试中，某10人的成绩（单位：分）分别为：48，75，58，66，78，82，84，78，86，91，则这组数据的第80百分位数是（    ） A．78 B．82 C．84 D．85 4．已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压.已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg，舒张压为78mmHg，心动周期约为0.75s，假设他的血压关于时间近似满足函数式，当时，此人的血压在之间的时长约为（    ） A．0.125s B．0.25s C．0.375s D．0.5s 5．函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   6．若一个圆锥的表面积为，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为 A．1 B． C． D．2 7．如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），，分别为的中点，若平面，当取得最小值时，的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数(，）满足，，且在区间上是单调函数，则的值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9．若是第一象限角，则下面选项中一定为正值的是（    ） A． B． C． D． 10．在直四棱柱中，底面是菱形，为的中点，点满足，下列结论正确的是（    ） A．若，则四面体的体积是定值 B．若的外心为，则为定值2 C．若，则点的轨迹长为 D．若，则存在点，使得的最小值为 11．在中，已知内角的对边分别为，其面积为，外接圆的半径为，且．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则________ 13．已知不等式对于恒成立，则实数m的取值范围是________． 14．已知双曲线的焦点为，，为双曲线上的一点且的内切圆半径为1，则的面积为________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．函数图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为. (1)求函数在上的单调增区间； (2)当时，求的值域. 16．如图，在中，已知是边上一点，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的面积. 17．已知函数（）. (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若， （i），，求的最小值； （ii）若不等式在上的解集为空集，求实数的取值范围. 18．已知，是两个单位向量. （1）若，试求的值； （2）若，的夹角为60°，试求向量与的夹角的余弦值. 19．图，在三棱台中，是等边三角形，，侧棱平面，点D是棱的中点，点E是棱上的动点（不含端点B）.    (1)证明:平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的最小值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $