湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（二）

《湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A D C C B AC ACD 题号 11 答案 BD 1．C 【详解】 ，故 . 亦可由 . 2．C 【详解】解不等式，，. 3．B 【详解】因为，所以，解得， 则，由模长公式得，故B正确. 4．A 【分析】根据题意找到侧棱与下底面所成的角，求出侧棱长，求出正四棱台的高即可求出此方亭的体积. 【详解】如图，分别是正四棱台不相邻两个侧面的高，是一条侧棱， 过作，连接， 所以是正四棱台的高，所以， 因为，所以， 所以方亭的体积为． 故选：A． 5．D 【详解】由，得 ，所以． 6．C 【分析】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场，由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场， 因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为， 所以所求概率为， 故选：C. 7．C 【分析】令，换元后转化为有关于的方程必须有两个不同且均大于2的实根，列出不等式求解即可. 【详解】原方程等价于：， 即， 令，当时，仅对应等于0； 当时，对应两个互为相反数的实数． 又，代入并整理得，， 要使原方程有四个不同的实数解，关于的方程必须有两个不同且均大于2的实根． 解方程可得，， 因此应同时满足，，解得，． 8．B 【分析】联立圆与双曲线渐近线方程得出，知，又由确定得，最后根据求得离心率 . 【详解】如图所示： 以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线为， 联立圆的方程与渐近线方程得， 化简得，解得，所以轴， 又因为与相互平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以，即， 所以，所以，从而． 9．AC 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断 【详解】对于A，因为在上递增，且，所以，所以A正确， 对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误， 对于C，因为在上递减，且，所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 10．ACD 【分析】选项A，由三角形中大角对大边，结合正弦定理即可判断选项A；选项B，由正弦定理可得，则无解，所以选项B错误；选项C，易知边最大，则角最大，利用反证法，假设，结合勾股定理可得与已知条件矛盾，即可判断选项C；选项D，由已知条件和正弦定理，可得，即可判断选项D. 【详解】已知在中，角，，所对的边分别为，，， 选项A：因为在中，由可得，由正弦定理（为外接圆半径），即，A正确； 选项B：由正弦定理，得，则无解，B错误； 选项C：由可知为最大边，故为最大角，假设，由余弦定理，，两边同乘以，得， 因为，，所以，，，则，这与矛盾，假设不成立，即是锐角三角形，C正确； 选项D：由和正弦定理，可得，即，因为，所以，D正确. 11．BD 【分析】根据数列单调性的判断方法，累加法，累乘法以及裂项求和法，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：，又当时，与矛盾，故，即， 故该数列递增数列，A错误； 对B：， 根据A知：，即，，故B正确； 对C：，由可得， 故（当或时取得等号），故，C错误； 对D：由可得，即， 故， 又，故，故，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的单调性，累加法，累乘法以及裂项求和法，处理问题的关键是能够根据常见的递推关系，选择适当的方法求解，属难题. 12． 【详解】因为， 所以当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13． 【分析】根据题意，利用两点斜率公式、直线垂直的性质与直线的点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理与向量数量积的坐标表示列式即可得解. 【详解】设，因为点的坐标为，所以， 由于，所以， 则直线， 联立，消去，得，故， 由于，则，因此， 故，因此，解得. 故答案为：2 14．. 【分析】先通过绝对值三角不等式消去x，再结合辅助角公式可得最小值. 【详解】设，则必有 ， 因为， 所以 . 所以， 又由辅助角公式得，其中. 所以， 即，所以， 当且仅当且时等号成立， 即且时等号成立， 得，且时两个不等号都能成立， 所以的最小值为. 15．(1)，. (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由等差数列求和公式得， 化简得， 因为且,所以是常数， 因此是等比数列，设其公比为，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得， 所以，. （2）因为， 设数列的前项和为，则         所以数列的前项和为. 16．(1)6 (2)的分布列为： 108 60 18 P 数学期望为38 【分析】（1）由题意可计算出获三等奖的概率，由此列出关于n的不等式，求得答案； （2）确定中获奖金额的可能取值，计算出每种情况的概率，即可得分布列，求出数学期望. 【详解】（1）设“获三等奖”为事件A，由题意得， 又， 所以，整理得， 解得（舍去），或， 所以n的最小值为6. （2）设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量，则的所有可能取值为108，60，18， 根据题意得 ， ， ， 所以的分布列为 108 60 18 P 所以. 17．(1)(2) |AB|最大为，m＝±1. 【详解】试题分析：(1)利用条件布列关于a,b方程组，即可得到椭圆C的方程；(2)讨论直线的斜率，进而联立方程，(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，表示弦长，进而得到|AB|的最大值. 试题解析： (Ⅰ)由e＝＝，a2＝b2＋c2得a2＝2c2，b2＝c2， 由得 ∵＝b＝，∴b＝1，∴a＝， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (Ⅱ)当AB与x轴垂直时，＋y2＝1，|y|＝，|AB|＝， 当AB与x轴不垂直时， 设AB方程为y＝k(x－m)， 由得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 由＝1得k2m2＝k2＋1， ∴|AB|＝＝≤＝， 当且仅当|m|＝1时取“＝”，∴|AB|<， ∴当AB⊥x轴时，|AB|最大为，m＝±1. 18．(1)由题意知分别是的中点，连接，如图. 因为是的中点，所以， 又平面平面，所以平面. 由圆台的性质可知，，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行判定定理、面面平行判定定理和面面平行定义证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面距离； （3）利用向量法求解面与面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）如图，以为坐标原点，过点且垂直于直线的直线为轴， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意知，则. 所以. 设平面的法向量为，则即 令，得，即平面的一个法向量为. 因为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. （3）由（2）知平面的一个法向量为. 易得. 设平面的法向量为，则即 令，得，故平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19．(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; (2) (3) 【分析】（1）利用导数与单调性的关系即可求解； （2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； （3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解. 【详解】（1）由得， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; （2）当时，不等式可化为， 变形为即 同构函数，求导得， 所以在上是增函数. 所以原不等式可化为， 根据单调性可得: 再构造，则 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的， 所以的最小值为; （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得: 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故，又由且可得， 而 令， 则， 因为所以，即， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三数学上学期期中模拟试卷（二） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数 满足 ，则 （　） A．1 B． C．2 D． 2．已知集合 ，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．2 4．《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”．现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为（   ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A．2 B． C． D． 6．甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，对任意实数，定义向量，，若，方程有四个不同实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，角A，B，C所对的边分别为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则一定是等边三角形 11．已知数列满足，，则（    ） A．是递减数列 B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线方程为__________. 13．已知直线与抛物线交于两点，且交于点（为原点），点的坐标为，则______. 14．记 表示a，b中最大的数，已知，则 的最小值为________________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． (1)求和； (2)若，求数列的前项和． 16．春节期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均分成n（，）个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同，顾客抽奖时连续转动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色（若指针指在分界线处，本次转运动无效，需重转一次），若三次颜色都一样，则获得一等奖；若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖. (1)若一、二等奖的获奖概率之和不大于，求n的最小值； (2)规定一等奖返还现金108元，二等奖返还现金60元，三等奖返还现金18元，在n取（1）中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望. 17．已知椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线y＝x＋b截得椭圆C的弦长为. (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线，交椭圆C于点A，B，求|AB|的最大值，并求取得最大值时m的值． 18．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，上､下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，是下底面圆周上一点，且，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 19．已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $