第十三章 三角形 单元练习题 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册第十三章 三角形单元练习题 一、单选题 1．下列各组线段中，首尾相接不能组成三角形的是（　　） A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm 2．如图，在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是12，那么的面积为（　　） A．6 B．3 C． D． 4．下列每组的三个数字分别代表三条线段的长度，能组成三角形的一组是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，，，则直线b与直线a所夹锐角的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论： ①；②；③；④， 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，其中，当线段的长度最短时，三角形的面积是（　　） A． B．16 C．20 D．40 8．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，，两点在数轴上，点所对应的数是，若的长为个单位长度，的长为个单位长度，则点对应的数可能是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知，， 分别为 的三边，且满足，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．三角形的两边长为2和5，周长是偶数，则第三边长是　 　． 12．如图，，分别是的高和中线，，，，，　 　，的面积　 　． 13．如图，在中，是和的平分线的交点．若，则　 　． 14．【提出问题】设的面积为1，如图1，将边分别2等分，求？ 【问题解决】连结，设，则，由题意得：，即：． 【方法运用】如图2，若分别是边和上距离点最近的6等分点，与相交于点，则四边形的面积为　 　． 三、解答题 15．已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 16．当三角形一个内角的度数是另一个内角度数的倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中为“特征角”．请分别写出两个特征三角形各个内角的度数． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC 于点 D，AE平分∠BAC。若∠C-∠B=α（∠C>∠B)，求∠DAE的度数。（用含α的代数式表示) 18．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，求阴影部分的面积． 19． 已知：如图，在中，，点分别在上，且平分，． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，求的度数． 20．【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 21． （1）如图(1)，在△ABC中， BD平分∠ABC， CD平分∠ACB，试确定∠A和∠D的数量关系； （2）如图(2)，在△ABC中， BE平分∠ABC， CE平分外角∠ACM，试确定∠A和∠E的数量关系； （3）如图(3)，在△ABC中， BF平分外角∠CBP， CF平分外角∠BCQ，试确定∠A和∠F的数量关系. 22．如图1，已知AB∥CD，BC⊥AB，∠EAF=60°，射线AE与AB重合。如图2，射线CP从CB开始绕点C逆时针旋转，转动的速度是每秒1度，同时∠EAF绕点A顺时针旋转，转动的速度是每秒2度，当AF和BA延长线重合时CP与∠EAF都停止，设转动的时间t秒。 （1）当t=5时，求∠BAF的度数； （2）当CP与∠EAF的一边平行时，求t的值； （3）设射线AE交射线CP于点M，延长AF交CD于点N，如图2所示，写出∠AMC与∠AND的数量关系，并说明理由。 23． （1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度数； （2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=42°， ①求∠CAB的度数； ②求∠CAP的度数． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解： ∴长为12cm， 8cm， 5cm的三条线段能组成三角形，不符合题意； ∴长为12cm， 8cm， 6cm的三条线段能组成三角形，不符合题意； ∴长为12cm， 5cm， 6cm的三条线段不能组成三角形，符合题意； ∴长为8cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形， 不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵，， ∴． 故选B． 【分析】 由图可知∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），直接计算∠ACD = ∠A + ∠B即可． 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 故选：A．【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，由平分，平分， 得到，求得，可判定 ①正确；由 ，得到， 求得， 可判定②正确；由，得出，可判定③正确；根据， 求得，可判定④错误. 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】5 12．【答案】； 13．【答案】60 14．【答案】 15．【答案】的周长为17，是等腰三角形． 16．【答案】解：设特征角， ， 则第三个角为， 则该特征三角形的内角分别为，，； 设特征角， ， 则第三个角为， 则该特征三角形的内角分别为，，． （答案不唯一）． 【解析】【分析】 按照"特征三角形"的定义，结合三角形内角和为180°，计算出三个内角的度数即可得到答案. 17．【答案】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C。 ∵AE平分∠BAC， ∵AD⊥BC， ∴∠ADE=90°， ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=(90°-∠B)- ∵∠C-∠B=α， 【解析】【分析】先利用三角形内角和可得∠BAC的度数，再利用角平分线的概念可得∠BAE的度数，再利用直角三角形两锐角互余可得∠BAD的度数，最后再利用角的和差关系即可得∠DAE＝（ ∠C-∠B ）. 18．【答案】 19．【答案】（1）解：FD∥AC， 理由是： ∵DE∥BC， ∴∠B=∠ADE， ∠C =∠AED， ∵∠B=∠C， ∴∠ADE=∠AED， ∵DE平分∠ADF， ∴∠ADE=∠EDF， ∴∠AED=∠EDF， ∴FD∥AC； （2）解：由 (1) 知， ∠B=∠ADE， ∠ADE=∠EDF， ∴∠B=∠EDF， ∵∠B=50°， ∴∠EDF=50°， ∵∠DEF=60°， ∴∠DFE=180°-50°-60°= 70°. 【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠B=∠ADE， ∠C =∠AED，∠ADE=∠AED，再根据角平分线得到∠AED=∠EDF，然后根据内错角相等，两直线平行证明即可； (2)求出∠EDF和∠DEF，根据三角形的内角和定理求出即可. 20．【答案】（1），； 解：∵△ABC是“友爱三角形”，∠ACB=90°，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A > ∠B）， ∴∠A = 2∠B ∵∠A + ∠B = 180°−90° = 90°， 将∠A = 2∠B代入得：2∠B + ∠B = 90°， 解得∠B = 30°， ∴∠A = 2×30° = 60° （2）或 【解析】【解答】(2) 解：在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°， ∴∠B = 180°−70°−66° = 44° ∵点D在AB上，∠ADC是△BCD的外角， ∴∠ADC > ∠B = 44°，且∠ACD < ∠ACB = 70° △ACD是“友爱三角形”，分两种有效情况讨论： ① 当∠ACD =∠A时： ∠ACD =×66° = 33°， 此时∠ADC = 180°−66°−33° = 81° > 44°，符合条件。 ② 当∠ACD =∠ADC时，即∠ADC = 2∠ACD： 由三角形内角和得：∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°， 代入得：66° + ∠ACD + 2∠ACD = 180°， 3∠ACD = 114°，解得∠ACD = 38° < 70°，符合条件。 综上所述，的度数为或． 【分析】(1) 本问考查直角三角形两锐角互余与新定义理解。已知直角三角形∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°；结合“友爱角”定义与∠A＞∠B的条件，得到∠A=2∠B，通过代入解方程即可求出两个角的度数。 (2) 本问考查三角形内角和定理与分类讨论思想。先利用△ABC的内角和算出∠B的度数，结合三角形外角性质确定∠ADC的取值范围；再根据“友爱三角形”的定义，对哪两个角互为“友爱角”进行分类讨论，筛选出符合角度范围的有效情况，分别计算出∠ACD的度数。 21．【答案】（1）解： 关系： 理由：∵BD平分 CD平分 (∠A ； ​​​​​ （2）关系： 理由：∵BE平分 CE平分外角 ∴ ​​​​​​ （3）关系： 理由：∵BF平分外角∠CBP ，CF平分外角∠BCQ， ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到然后根据三角形的内角和定理解答即可； （2）根据角平分线的定义得到然后根据三角形的外角解答即可； （3）根据角平分线的定义得到然后根据三角形的内角和和解答即可. 22．【答案】（1）解：如图 由题意，得， ∴， 当时， ； （2）解：①当时，如图， 令射线，的交点为H， 由题意及（1），得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ②当时，如图， 令射线，的交点为G， 由题意及（1），得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为10或30； （3）解：①当射线与直线的交点在点C的左侧时，如图 由题意及（1），得， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②当射线与直线的交点在点C的右侧时，如图， 由题意及（1），得，，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 同①，可得， ∴， 即； 综上所述， 或． ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据角的和差得到，把代入解答即可； （2）①当时，令射线，的交点为H，根据平行线的性质和角的和差表示∠BCD和∠PCD的值，然后根据两直线平行，同为角相等列方程求出t的值；②当时， 令射线，的交点为G， 同理计算即可； （3）分类讨论：①当射线与直线的交点在点C的左侧时，根据三角形的外角求出∠AMC的度数，再根据两直线平行，内错角相等得到，推导得到t关于∠DNA的关系式，代入计算即可②当射线与直线的交点在点C的右侧时，同理计算即可． 23．【答案】（1）解：∵∠ABC=40°，∠A=60°， ∴∠ACB=80°， ∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F， ∴∠FBC=∠ABC=20°，∠FCB=∠ACB=40°， ∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=120°； （2）解：①在△ABC中，∠ACD=∠BAC+∠ABC， 在△PBC中，∠PCD=∠BPC+∠PBC， ∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线， ∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC， ∴∠PCD=∠BPC+∠PBC=42°+∠ABC， ∴∠ACD=∠ABC+42°， ∴∠ACD-∠ABC=84°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=84°， 即∠CAB=84°． ②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G， ∴PE=PG，PF=PG， ∴PE=PF， ∴AP平分∠CAE， ∴∠CAP=∠CAE=×（180°-84°）=48°． 【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理求出即可； (2)①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PCB，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，再代入数据计算即可得解； ②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质与判定可得AP平分∠CAE，再根据角平分线的定义可求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $