第十三章 三角形单元练习题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册第十三章三角形单元卷，通过生活情境（如滑雪场路径）、新定义问题（“希望三角形”“友爱三角形”）及动态几何（长方形运动问题），覆盖三角形核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|三边关系、内角和、外角性质|第1题结合滑雪场景，体现数学眼光；第5题多结论判断，考查推理能力| |填空题|4|等腰三角形周长、新定义“希望三角形”|第11题新定义问题，培养抽象能力| |解答题|8|中线面积、角平分线综合、动态几何|第21题“友爱三角形”新定义，第20题运动问题，发展模型意识与应用能力|

人教版八年级数学上册第十三章 三角形单元练习题 一、单选题 1．小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（　　） A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q 2．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(　　) A．5 B．6 C．11 D．16 3．如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．下列四个命题：（1）内错角相等；（2）同位角相等；（3）同角（等角）的补角相等；（4）三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在锐角△ABC中，∠BAC>∠C，BD，BE分别是△ABC的高和角平分线，点 F 在CA 的延长线上，FH⊥BE，分别交 BA，BD，BC于点T，G，H，则有下列结论： ①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+ =∠ABD+∠EBH.其中正确的是（　　). A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 6．如图，在三角形中，平分，点在边上，于点．平分交的延长线于点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，是的中点，，的面积是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，，，垂足为E，则正确的是（　　） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D． 9．如图，在△ABC中，∠BAC=64°，∠B=36°，AD平分∠BAC交BC于点D，则∠ADC的度数是（　　） A．80° B．100° C．78° D．68° 10．如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．当三角形中一个内角β是另一个内角α的 时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角α称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为　 　． 12．如图，已知直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为 　 　 13．等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则它的周长是　 　. 14．如图，在中，为中点，点、分别在、边上，且满足，，连接、，若的面积为，则四边形的面积为　 　． 三、解答题 15．如图，在中，是边上的高，，若平分交于点，，求的度数． 16．如图，已知的面积为27，且，求的面积． 17．如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 18．等腰三角形的周长为 （1）若已知腰长是底边长的倍，求各边长； （2）若已知一边长为，求其他两边长． 19．如图，在中，，垂足为，点在边上，，垂足为，． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 20．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点C运动，P、Q同时出发，运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长度； （2）当时，求的面积； （3）当t为何值时，为等腰直角三角形？ 21．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，那么我们就称这两个角互为“友爱角”，这个三角形为“友爱三角形”.例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”. ①② （1）如图①所示，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)，∠ACB=90°. ①求∠A，∠B的度数. ②若CD是△ABC中AB边上的高，则△ACD，△BCD都是“友爱三角形”吗?为什么? （2）如图②所示，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数. 22．如图1，直线与直线分别交于点与互补． （1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （2）如图2，与的角平分线交于点与交于点G，点H是上一点，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 【解析】【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可． 【解答】设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】D 【解析】【解答】 解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F=90°， ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE=90°， ∵∠FGD=∠BGH， ∴∠DBE=∠F， ①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵∠BEF=∠CBE+∠C， ∴2∠BEF=∠ABC+2∠C， ∵∠BAF=∠ABC+∠C， ∴2∠BEF=∠BAF+∠C， ②正确； ∵∠CBD=90°-∠C， ∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE， 由①得，∠DBE=∠F， ∴∠F=∠BAC-∠C-∠F， ③正确； ④∵∠AEB=∠EBC+∠C，∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD=∠FEB， ∴∠BGH=∠ABE+∠C， ④正确， 故选：D. 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH， 证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE， 根据①的结论， 证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】由角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，结合已知可得∠ABD=∠M，由同位角相等，两直线平行得出BD∥ME，由二直线平行，同位角相等得出∠ADB=∠AEM=55°，由角平分线的定义得出∠AEF=2∠AEM=110°，由垂直的定义得出∠EFC=90°，最后根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出∠C=∠AEM-∠EFC，从而代值计算可得答案. 7．【答案】D 8．【答案】C 【解析】【解答】解：B.∵，， ∴，， ∴， ∴与不一定互余，故选项B错误，不符合题意，B错误； C.∵， ∴，即与互补，故选项C正确，符合题意，C错误； A.∵， ∴与不一定互补，故选项A错误，不符合题意，A错误； D.∵与不一定相等， ∴不一定成立，故选项D错误，不符合题意，D错误， 故选：C． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，余角与补角，先根据三角形内角和定理可得出，，根据余角的性质得出，据此可判断B选项；根据补角定义可得出，进而可推出与互补 ，据此可判断C选项；根据三角形外角的性质可得，据此可得：与不一定互补 ，据此可判断A选项；根据与不一定相等，可推出不一定成立，据此可判断D选项. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠BAC=64°，AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=32° ∵∠B=36°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=68°， 故答案为：D. 【分析】先根据角平分线的性质求出∠BAD的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数。 10．【答案】C 11．【答案】或 12．【答案】 13．【答案】10cm或11cm 【解析】【解答】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长：=3+3+4=10cm， ②4cm是腰长时，能组成三角形，周长：=4+4+3=11cm， 所以，它的周长是10cm或11cm. 故答案为：10cm或11cm. 【分析】因为腰长没有明确，所以分①3cm是腰长，②4cm是腰长两种情况求解. 14．【答案】 15．【答案】的度数为 16．【答案】8 17．【答案】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】根据三角形外角性质可得∠ACE，再根据角平分线定义可得∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 18．【答案】（1）解：如图，设底边，则， ∵等腰三角形的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边长是，， （2）当等腰三角形的底边长为时，腰长；则等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为时，底边长； 则等腰三角形的三边长为，、，能构成三角形； ∴等腰三角形其他两边的长为，或、 ． 【解析】【分析】（1）设底边，此时可得，将相关数值代入即可计算求出结果；（2）分情况讨论，要借助三角形三边关系定理，判断计算得到的结果能否构成三角形，判断出符合题意的结果. （1）解：如图，设底边，则， ∵等腰三角形的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边长是，，； （2）当等腰三角形的底边长为时，腰长； 则等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为时，底边长； 则等腰三角形的三边长为，、，能构成三角形； ∴等腰三角形其他两边的长为，或、 ． 19．【答案】（1）解：，， ， ， ， ， ， ； （2） 20．【答案】（1） （2） （3）时，为等腰直角三角形 21．【答案】（1）解：①因为△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B)， 所以∠A=2∠B. 因为∠ACB=90°， 所以∠A+∠B=180°-90°=90°， 即2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°， 所以∠A=60°. ②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”. 理由：因为CD是△ABC中AB边上的高， 所以∠ADC=∠BDC=90°. 因为∠A=60°，∠B=30°， 所以∠ACD=30°，∠BCD=60°. 在△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°， 所以∠ACD=∠A， 所以△ACD为“友爱三角形”； 在△BCD中，∠BCD=60°，∠B=30°， 所以∠B=∠BCD， 所以△BCD为“友爱三角形”. （2）解：∠ACD的度数为33°或38°. 【解析】【解答】解：（2）∵在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°， ∴∠B=180°-∠A-∠ACB=44°， ∵△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点(不与点A，B重合) ， ∴∠ACD=∠A或∠ACD=∠ADC， 当∠ACD=∠A时，∠ACD=×66°=33°； 当∠ACD=∠ADC时， ∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°， ∴66°+3∠ACD=180°， ∴∠ACD=38°， 综上∠ACD的度数为33°或38°. 【分析】（1）①△ABC中，由“友爱角”(∠A>∠B)定义可得∠A=2∠B①，由三角形内角和定义得∠A+∠B=90°②，将①代入②可求出∠B的度数，进而即可求出∠A的度数； ②由三角形高得定义得∠ADC=∠BDC=90°，由三角形内角和定理得出∠ACD=30°，∠BCD=60°，进而根据“友爱三角形”定义即可判断得出答案； （2）首先由三角形的内角和定理求出∠B=44°，然后根据“友爱三角形”定义及三角形内角和定理得出∠ACD=∠A或∠ACD=∠ADC，进而代值计算可得答案. 22．【答案】（1）解：，理由如下：∵与互补，与互为邻补角， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的大小不会发生变化，其值为． 【解析】【分析】（1）根据同角的邻补角相等得到，即可得到结论； （2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理求出解题即可； （3）先得到，即可求出，然后根据角平分线的定义得到解题即可． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $