2027届高考数学一轮复习-考点规范练2充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

考点规范练2　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 一、基础巩固 1.已知命题:∀x≥0,ex≥1或sin x≤1,则其否定为 (　　) A.∃x<0,ex<1且sin x>1 B.∃x<0,ex≥1或sin x≤1 C.∃x≥0,ex<1或sin x>1 D.∃x≥0,ex<1且sin x>1 2.唐代诗人王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(多选)下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有(　　) A.x<1 B.0<x<1 C.-1<x<0 D.-1<x<1 5.(多选)下列命题的否定中,是全称量词命题且是真命题的是(　　) A.∃x∈R,x2-x+<0 B.所有正方形都是矩形 C.∃x∈R,x2+2x+2=0 D.至少有一个实数x,使x3+1=0 6.“a=2”是“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)内单调递增”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知命题p:∀x∈R,x3<x4;命题q:∃x∈R,sin x-cos x=-则下列说法正确的是(　　) A.p真,q真 B.p真,q假 C.p假,q真 D.p假,q假 8.若“∀x,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　　.  9.若“不等式(x-a)2<1成立”的一个充分不必要条件是“1<x<2”,则实数a的取值范围是　　　　　.  二、综合应用 10.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.下列命题的否定为假命题的是(　　) A.∃x∈R,x2+2x+2≤0 B.任意一个四边形的四个顶点共圆 C.所有能被3整除的整数都是奇数 D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1 12.(多选)“关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A.0<a<1 B.0≤a≤1 C.0<a< D.a≥0 13.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是(　　) A.∀x∈R,f(-x)≠f(x) B.∀x∈R,f(-x)=-f(x) C.∃x∈R,f(-x)≠f(x) D.∃x∈R,f(-x)=-f(x) 14.设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 15.若∃x,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(2,3] C D.{3} 16.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　.  三、探究创新 17.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在区间[0,2]上单调递增”为假命题的一个函数是　　　　　　　　.  18.已知命题p:“函数f(x)=ax2-4x在区间(-∞,2]上单调递减”,命题q:“∀x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题p,q都为真命题,则实数a的取值范围为　　　　　.  考点规范练2　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 一、基础巩固 1.已知命题:∀x≥0,ex≥1或sin x≤1,则其否定为 (　　) A.∃x<0,ex<1且sin x>1 B.∃x<0,ex≥1或sin x≤1 C.∃x≥0,ex<1或sin x>1 D.∃x≥0,ex<1且sin x>1 答案:D 解析:改变量词,并且否定结论,注意“a或b”的否定是“􀱑a且􀱑b”. 2.唐代诗人王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:根据诗的含义可知“攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”的前提必须是“攻破楼兰”. 3.设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:由|x-2|<1,可得1<x<3,即x∈(1,3). 由x2+x-2=(x-1)(x+2)>0,可得x<-2或x>1,即x∈(-∞,-2)∪(1,+∞). 因为(1,3)是(-∞,-2)∪(1,+∞)的真子集, 所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件. 4.(多选)下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有(　　) A.x<1 B.0<x<1 C.-1<x<0 D.-1<x<1 答案:BC 解析:解不等式x2<1,可得-1<x<1,由于{x|-1<x<1}⫋{x|x<1},{x|-1<x<1}⫌{x|0<x<1},{x|-1<x<1}⫌{x|-1<x<0},因此,是x2<1成立的一个充分不必要条件的有0<x<1,-1<x<0. 5.(多选)下列命题的否定中,是全称量词命题且是真命题的是(　　) A.∃x∈R,x2-x+<0 B.所有正方形都是矩形 C.∃x∈R,x2+2x+2=0 D.至少有一个实数x,使x3+1=0 答案:AC 解析:由题意可知,符合题意的命题为存在量词命题且为假命题. 选项A中,命题为存在量词命题,x2-x+=(x-)2≥0,所以命题为假命题,所以选项A满足题意; 选项B中,命题是全称量词命题,所以选项B不满足题意; 选项C中,命题为存在量词命题,在方程x2+2x+2=0中,Δ=4-4×2<0,即方程无实数根,所以命题为假命题,所以选项C满足题意; 选项D中,当x=-1时,命题成立.所以命题为存在量词命题且是真命题,所以选项D不满足题意. 6.“a=2”是“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)内单调递增”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:“a=2”⇒“函数f(x)=x2-2ax-3在区间[2,+∞)内单调递增”,但反之不成立. 7.已知命题p:∀x∈R,x3<x4;命题q:∃x∈R,sin x-cos x=-则下列说法正确的是(　　) A.p真,q真 B.p真,q假 C.p假,q真 D.p假,q假 答案:C 解析:若x3<x4,则x<0或x>1,故命题p为假命题; 若sin x-cos x=sin=-,则x-+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),故命题q为真命题. 8.若“∀x,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　　.  答案:1 解析:由题意知m≥(tan x)max,∵x, ∴tan x∈[0,1],∴m≥1.故m的最小值为1. 9.若“不等式(x-a)2<1成立”的一个充分不必要条件是“1<x<2”,则实数a的取值范围是　　　　　.  答案:[1,2] 解析:由(x-a)2<1得a-1<x<a+1, 因为“1<x<2”是“不等式(x-a)2<1成立”的充分不必要条件, 所以满足且等号不能同时取得,即解得1≤a≤2. 二、综合应用 10.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图, 三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内, 所以“m,n,l共面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B. 11.下列命题的否定为假命题的是(　　) A.∃x∈R,x2+2x+2≤0 B.任意一个四边形的四个顶点共圆 C.所有能被3整除的整数都是奇数 D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1 答案:D 解析:选项A中,命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+2>0”. 由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0对∀x∈R恒成立,故为真命题; 选项B,C中的命题都是假命题,故其否定都为真命题; 而选项D中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D. 12.(多选)“关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A.0<a<1 B.0≤a≤1 C.0<a< D.a≥0 答案:BD 解析:关于x的不等式x2-2ax+a>0对∀x∈R恒成立,则Δ=4a2-4a<0,解得0<a<1. A选项是充要条件;B选项是必要不充分条件;C选项是充分不必要条件;D选项是必要不充分条件. 13.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是(　　) A.∀x∈R,f(-x)≠f(x) B.∀x∈R,f(-x)=-f(x) C.∃x∈R,f(-x)≠f(x) D.∃x∈R,f(-x)=-f(x) 答案:C 解析:根据题意知,定义域为R的函数f(x)是偶函数即为∀x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称量词命题,且是假命题,故它的否定为存在量词命题,为∃x∈R,f(-x)≠f(x),是真命题,故选C. 14.(2023新高考Ⅰ,7)设Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案:C 解析:若{an}是等差数列,设数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d, 即=a1+d=n+a1-,故{}为等差数列, 即甲是乙的充分条件.反之,若{}为等差数列,则可设=D, 则=S1+(n-1)D,即Sn=nS1+n(n-1)D,当n≥2时,有Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,上两式相减得:an=Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,当n=1时,上式成立,所以an=a1+2(n-1)D,则an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D(常数),所以数列{an}为等差数列.即甲是乙的必要条件. 综上所述,甲是乙的充要条件. 15.若∃x,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(2,3] C D.{3} 答案:A 解析:因为∃x,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,所以∀x,使得2x2-λx+1≥0恒成立是真命题,即∀x,λ≤2x+恒成立.令f(x)=2x+,则f'(x)=2-当x时,f'(x)<0;当x时,f'(x)>0,所以f(x)≥f=2 故λ≤2 16.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　.  答案:(1,2] 解析:∵p是q的必要不充分条件, ∴q⇒p,且pq. 设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B⫋A. 又B={x|2<x≤3},当a>0时,A={x|a<x<3a}; 当a<0时,A={x|3a<x<a}. 故当a>0时,有解得1<a≤2; 当a<0时,显然A∩B=⌀,不合题意. 综上所述,实数a的取值范围是(1,2]. 三、探究创新 17.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在区间[0,2]上单调递增”为假命题的一个函数是　　　　　　　　.  答案:f(x)=sin x(答案不唯一) 解析:设f(x)=sin x,则f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.由正弦函数图象知,当x∈(0,2]时,f(x)>f(0)=sin 0=0,故f(x)=sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,但f(x)在区间[0,2]上不是单调递增的. 18.已知命题p:“函数f(x)=ax2-4x在区间(-∞,2]上单调递减”,命题q:“∀x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题p,q都为真命题,则实数a的取值范围为　　　　　.  答案: 解析:由题意知,函数f(x)=ax2-4x的图象的对称轴为直线x=-,若p为真命题,则该直线在区间(-∞,2]的右侧,即2,故0<a≤1. 若q为真命题,则关于x的方程16x2-16(a-1)x+1=0无实数根.即Δ=[-16(a-1)]2-4×16<0,得<a< 由命题p,q都为真命题,得解得<a≤1.故实数a的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $