精品解析：江苏省口岸中学2026-2027学年第一学期高一年级第一次阶段检测数学试卷

江苏省口岸中学2026年秋学期高一年级第一次阶段检测数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 又，. 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可. 【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题的否定为. 故选：. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】首先，二次根式有意义的条件为被开方数非负，故成立的前提是， 对不等式两边同时平方（两边均为非负实数，平方后不等号方向不变），可得， 因此等价于. ①充分性验证：若成立，则，显然满足，故充分性成立； ②必要性验证：若成立，取反例，满足，但此时无意义，无法满足，故必要性不成立。 因此“”是“”的充分不必要条件. 4. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示：设矩形为表演区，，则有， 由题意可知：， 所以， 设矩形的面积为， 所以， 由， 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数幂公式化简，进而判断大小即可. 【详解】由，，， 所以. 故选：C. 6. 若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将原式化为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为4， 此时. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为. 8. 已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的性质，以及一元二次方程的性质逐一判断即可. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的非零数，且是“完美集”， 设， 根据一元二次方程根与系数的关系可知， 和可以看成一元二次方程的两个不相等实数根， 由，解得或， 当时，，所以均为正数， 所以、至少有一个大于2， 当时，，所以一个正数，一个负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值，因此、至少有一个大于2不一定成立，所以②不正确； 对于③中，由②知，一元二次方程， 当满足或时，当t取不同的值时，对应的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，当时，不妨设A中， 当时，由， 当时，由，显然符合， 因此“完美集”A不只一个，所以④不正确. 因此结论中是真命题的个数为,所以选项B是正确的. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由可知，且. 选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 关于x的不等式的解集可以是 B. 集合的子集个数为32个 C. 若，，则 D. 集合，，则集合B中含有4个元素 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，当，时，符合题意；对B，由题可得是6的约数，进而求出集合的元素，进而求得子集个数；对C，由题可得，结合基本不等式求解判断；对D，根据题意枚举中的元素，进而判断. 【详解】对于A，当，时，不等式为，解得，符合要求，故A正确； 对于B，因为，，所以是6的约数，即， 对应的值为，又，故的值为， 所以集合含有6个元素，子集个数为个，故B错误； 对于C，由，，得，故，， 所以，所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由， 所以中的元素有共6个，故D错误. 11. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题设可得，，进而得到，再结合二次函数的性质求解判断即可；对于BCD，结合基本不等式、“1”的代换求解判断即可. 【详解】对于A，由，为正实数，，得，， 则，当且仅当时等号成立， 而，则等号不成立，则的最小值不为0，故A错误； 对于B，由，为正实数，， 则，即， 所以，则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，故B正确； 对于C，由，为正实数，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为，故C正确； 对于D，由，为正实数，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则的值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可求出的取值范围,再由根与系数关系可求得的值，结合,可求出答案. 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根,则,解得. ,,则,即,解得或,因为,所以只有符合题意. 故答案为:3. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题. 14. 若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 计算 （1）； （2）已知，求以及的值． 【答案】（1） （2）7；6 【解析】 【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可； （2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。 【小问1详解】 【小问2详解】 由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 16. 设全集，集合，． （1）若时，求，； （2）若条件p：，条件q：，且p为q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （3）若．求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用并集的概念求解； （2）根据题意得到是的真子集，再利用小范围能推大范围求解； （3）分类讨论，注意等号的取舍. 【小问1详解】 若，则，所以，. 【小问2详解】 由题可知，是的真子集，所以，且不能同时取等号， 解得：，即：. 【小问3详解】 因为，所以， 若，则，解得：； 若，则，此时有，无解； 综上所述，若．则实数a的取值范围是. 17. 已知命题：函数的一个零点在内，另一个零点在内，命题，不等式成立． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数零点分布性质列式求得答案； （2）先求解命题为真时的范围，再分真假和假真讨论，求得答案. 【小问1详解】 设，若为真命题，即二次函数的两个零点分别落在和内， 则，解得， 即为真命题时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若为真命题，即，成立， 当时，不等式为，满足题意； 当时，令，则，解得， 综上，为真命题，实数的取值范围为； 若和有且仅有一个是真命题，则真假或假真； 当真假时，有，无解； 当假真时，有，解得或， 综上，实数的取值范围为. 18. 已知二次函数． （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，，若的解集为，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值． 【答案】（1）关于的不等式的解集为. （2）①4；②8. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由韦达定理得的关系，从而求得关于的不等式的解集； （2）①由题意分析“的解集为”和“存在，使得成立”的条件，即可求得的值；②将转化为，利用基本不等式可求得其最小值. 【小问1详解】 若的解集为， 则， 所以. 所以不等式. 所以关于的不等式的解集为. 【小问2详解】 ①，，若的解集为， 则的解集为， 所以； 由存在，使得成立， 得存在，使得成立， 所以或. 所以， 所以. ②由，且，得. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由，得， 所以. 所以当时，取得最小值，最小值为． 19. 已知函数． （1）若存在，使得，求实数的取值范围； （2）若对一切恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3）若，无解； 若，的解集为 或； 若，的解集为. 【解析】 【分析】（1）分，和三种情况，结合相应的函数进行分析，可得实数的取值范围； （2）根据二次不等式在给定区间上恒成立，求得实数的取值范围； （3）分，和，三种情况分析，由二次不等式的解法求得关于的不等式的解集． 【小问1详解】 当，即时， 若存在，使得， 则有解， 即，有解，符合题意； 当，即时， 函数的图象是开口向下的抛物线， 所以存在，使得； 当，即时， 若存在，使得， 则， 即， 解得， 所以. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由，得 即，， 因为，所以， 所以， 又， 当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由，得， 所以. 若，则，所以，不成立，舍去； 若，则，， 所以无解； 若，则， 当时，， 所以的解集为 或. 当时，， 所以的解集为. 综上所述，若，无解； 若时，的解集为 或. 当时，的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省口岸中学2026年秋学期高一年级第一次阶段检测数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（   ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 关于x的不等式的解集可以是 B. 集合的子集个数为32个 C. 若，，则 D. 集合，，则集合B中含有4个元素 11. 已知，为正实数，，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 13. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则的值是___________． 14. 若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 计算 （1）； （2）已知，求以及的值． 16. 设全集，集合，． （1）若时，求，； （2）若条件p：，条件q：，且p为q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （3）若．求实数a的取值范围． 17. 已知命题：函数的一个零点在内，另一个零点在内，命题，不等式成立． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 已知二次函数． （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）已知，，若的解集为，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值． 19. 已知函数． （1）若存在，使得，求实数的取值范围； （2）若对一切恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $