精品解析：江苏省宜兴第一中学2026-2027学年高一第一学期第一次质量检测数学试题

省宜兴一中2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合．则（ ）． A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 5. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 6. 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 11. 已知关于的不等式的解集是，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 13. 已知函数的定义域是，则的定义域为__________． 14. 已知正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （）用定义证明在上是增函数． （）若在区间上取得最大值为，求实数的值． 16. 设命题：对，不等式恒成立；命题：，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. （1）已知命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 18. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作，该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. （1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值. 19. 问题：已知，，均为正实数，且，求证：.证明：当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省宜兴一中2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合．则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查存在量词命题的否定. 【详解】”的否定为. 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用前推后充分，后推前必要的思路验证. 【详解】若，则必然成立，所以充分性成立； 若，则包含三种情况：①；②；③； 所以必要性不成立， 即：“”是“”的充分不必要条件. 4. 某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 【答案】D 【解析】 【分析】设，两项公益活动都参加的有人，得出仅参加，项和两项公益活动都不参加的人数，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设，两项公益活动都参加的有人， 则仅参加项的有人，仅参加项的有人， ，两项公益活动都不参加的有人， 由题意得，解得， 所以只参加项不参加项的有人）. 故选D． 5. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 6. 函数，的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】换元后得到，结合函数单调性得到值域. 【详解】，令，则， 则函数变为， 在上单调递减， 其中，， 故值域为. 故选：D 7. 已知则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（ ）． A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，利用1的代换结合基本不等式求最小值，B选项，直接利用基本不等式求积的最大值；C选项，消元后利用二次函数的性质求最小值；D选项，代入，结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，A选项错误. 对于B，，有，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，B选项正确； 对于C，， 因为正实数，满足， 则有，解得，即， 则时，的最小值为，C选项正确； 对于D，， 当且仅当时，取等号，又，故等号不成立，D错误； 故选：BC 11. 已知关于的不等式的解集是，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据不等式的解集形式判断二次项系数的符号，再结合方程的根与系数的关系，对各个选项进行逐一推导和验证即可. 【详解】已知不等式为（）， 对于A，将不等式展开并整理，可得，其解集为，由一元二次不等式可知，故A正确； 对于B，不等式对应的方程为，因为不等式的解集是，所以是上述一元二次方程的两个实数根， 根据韦达定理（根与系数的关系），两根之和为，故B正确； 对于C，根据韦达定理，方程的两根之和为，两根之积为， 所以，由于，所以， 又因为已知，所以， 对不等式两边开平方，可得，故C正确； 对于D，二次函数 ，因为不等式的解集为，且， 所以函数图象开口向下，且的部分位于两根之间，即在区间内，；在区间内，， 当时，， 当时，， 因为且，而的解集是，所以和必然都落在区间内， 即必须满足且，结合，可知，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设集合，，则“”的一个充要条件是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由求出值，再由的取值检验是否满足即得. 【详解】由得，则，解得， 时，，此时，不符合题意， 时，，，符合题意， 所以. 反之，由可得， 所以充要条件是. 13. 已知函数的定义域是，则的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数的定义域是，可得 可知满足, ，解得 则的定义域为. 14. 已知正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用将一次项齐次化，分离参数后用基本不等式求右侧的最小值，并核对取等条件． 【详解】由得，故原不等式等价于． 因为，两边同除以，移项得． 由基本不等式得， 当且仅当，即且即，时等号成立． 因此，原不等式恒成立可得：． 故实数的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （）用定义证明在上是增函数． （）若在区间上取得最大值为，求实数的值． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】试题分析:(1)用定义法证明函数为增函数;(2)由第一问的单调性可得,在x=4处取到最大值,代入即可. 试题解析: （）设任意，，且， 则， ∵， ∴，， ∴， 即， 故在上是增函数． （）在区间上是增函数， ∴， ∴， 解得． 点睛: 证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性. 16. 设命题：对，不等式恒成立；命题：，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）​ （2） 【解析】 【分析】（1）把问题转化成且，可求的取值范围. （2）再分析命题为真命题时的取值范围，求两个集合的并集即可. 【小问1详解】 若为真命题，取，得． 在的条件下，对任意恒成立的充要条件是判别式， 即，结合，解得． 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，且等号在时取得， 因此“存在使成立”为真命题的充要条件是，即． 由（1）知，为真命题的充要条件是， 故、至少有一个为真命题时，的取值范围是两者的并集，即． 17. （1）已知命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为。 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式求出命题对应的集合，再根据必要条件转化为集合的包含关系，对集合是否为空集进行分类讨论，列出关于的不等式组求解； （2）将原不等式移项化简并因式分解为，对参数的取值进行分类讨论，并结合根的大小关系求出解集. 【详解】（1）由，等价于， 解得. 所以，. 因为是的必要条件，所以. ①当时，即，解得，此时显然成立； ②当时，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）原不等式可化为， 即. ①当时，不等式化为，即，解得， 此时不等式的解集为； ②当时，不等式可化为，对应方程的两根为和. 若，即时，不等式的解集为； 若，即时，不等式化为，解集为； 若，即时，不等式的解集为； ③当时，不等式可化为，因为，所以不等式的解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作，该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. （1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值. 【答案】（1），且； （2）11 【解析】 【分析】（1）由题意得到不等式，求出，结合和实际意义得到的取值范围； （2）由题意得到不等式，参变分离得到恒成立，由基本不等式求出，求出，得到答案. 【小问1详解】 ， 解得， 又，故的取值范围为，且； 【小问2详解】 ， 整理得恒成立， 因为，且，由基本不等式得 ，当且仅当，即时，等号成立， 故，所以的最大值为11. 19. 问题：已知，，均为正实数，且，求证：.证明：当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）证明如下： 由，，，均为正实数，且，所以 ， 即.当且仅当时等号成立，即，又，解得， 所以时，，时等号成立. 故. （3）；. 【解析】 【分析】（1）将条件转化为，再结合基本不等式可得； （2）直接由条件和基本不等式可得； （3）根据条件利用换元法转化为条件等式的最值问题，再利用（2）中结论可得最小值. 【小问1详解】 由，得，且，，均为正实数，所以 . 当且仅当时等号成立，又，得，，时等号成立. 故的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，即. 令，，则，，，，即. 所以，由（2）可得， 由，所以，当且仅当时等号成立，此时. 故时取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $