精品解析：江苏张家港高级中学2026-2027学年高一上学期10月自主检测数学试卷

张家港高级中学 2026-2027 学年第一学期高一 10 月数学自主检测 出卷人：何军　　审核人：唐海燕 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 =（　　） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知一元二次不等式的解集为则的值是（ ） A. －5 B. 5 C. 6 D. -6 4. 设，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 若命题，则的准确表述是（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，或 6. 已知，，则，， ，中最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 若，则 11. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的定义域为，则函数的定义域为______________ 13. 已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围是________． 14. 若正实数，满足，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若正数满足． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的取值范围． 16. 已知条件，条件． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 二次函数 满足 ，且 ．． （1）求 的解析式； （2）对任意 ，都有 恒成立，求 取值范围； （3）对任意 ，存在 ，使得 成立，求 取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，解关于的不等式. （2）当时，解关于的不等式. （3）不等式对任意恒成立，求的取值范围. 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，． （1）求 的解集和 的解集； （2）求方程 的解集； （3）若 的解集为 ，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家港高级中学 2026-2027 学年第一学期高一 10 月数学自主检测 出卷人：何军　　审核人：唐海燕 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 =（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知集合，，由并集的定义可得. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 已知一元二次不等式的解集为则的值是（ ） A. －5 B. 5 C. 6 D. -6 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集得到对应方程的根，利用根与系数关系求出即可. 【详解】因为一元二次不等式的解集为 所以的两根为，且， 所以，解得， 所以. 故选：A 4. 设，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把换成负数的相反数，凑成“和为定值”再用基本不等式. 【详解】，，， ， ，当且仅当时，即时取等号， ，即的最大值是. 5. 若命题，则的准确表述是（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，否定结论的时候，注意不等式的解集是否互为补集关系. 【详解】由特称命题的否定是全称命题，另外，等价于，其否定为，即或， 所以或. 故选：D. 6. 已知，，则，， ，中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段讨论求解， 【详解】原不等式等价于或，解得， 故选：C 8. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系即可求得参数的取值范围. 【详解】解：由，可得或， 由，即，得，， 当，即时，不等式的解为， 此时不等式组的解集为， 又因为不等式组仅有一个整数解， 则，解得； 当，即时，不等式的解为， 又因为不等式组仅有一个整数解， 则，解得； 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，依次代入比较系数即可求解. 【详解】设()， 则， ∴， 解得或， ∴或. 故选：AD. 10. 下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立. 【详解】对于A，令，，则，故A错误. 对于B，因为，所以，故B正确. 对于C，由于 ，同乘以， 得，又，所以，故C正确. 对于D，若，则，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别在和中，利用射影定理和、判定选项A、C正确. 【详解】，， 根据图形，在中，由射影定理得，所以， 由，且，得：（，），当且仅当时取等号，即A正确； 在中，同理得，所以， 又，所以（，），当且仅当时取等号，即C正确； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的定义域为，则函数的定义域为______________ 【答案】 【解析】 【详解】先由的定义域求出的“自变量整体”范围，再让落在这个范围内，即可得． 【解答】对于函数，由可得， 即的定义域为， 对于函数，由可得， 故函数的定义域为. 13. 已知命题，使得为假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，转化为对于任意恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由命题，使得为假命题， 可得命题，使得为真命题， 即对于任意恒成立，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 若正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【详解】， 当且仅当时取等号. 所以，又因为为正实数， 所以，即的最小值为，当且仅当时取等号. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若正数满足． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）25 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可； （2）根据等式，结合基本不等式即可得，解不等式即可得的取值范围． 【小问1详解】 当时，有， 即 所以 当且仅当，即时取等号． 则的最小值为； 【小问2详解】 当时，有，则 因为 所以， 即，解得或（舍） 当时，即时，等号成立 所以． 16. 已知条件，条件． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据交集非空，列不等式求参数范围； （2）根据已知不是的子集，讨论是否为空求出情况下的参数范围，取相反情况即可得参数范围； （3）问题化为，即是的子集，且不是的子集，列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 ， 为非空集且与有公共部分， ，解得，即的取值范围为； 【小问2详解】 ， 不是的子集， 当时，，即，此时成立，不符合； 当时，若，则需且，即， 此时要使不是的子集，故， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 是的充分不必要条件， 可推出，且推不出， 由逆否命题的等价性知，即是的子集，且不是的子集， ，解得，又， ，即的取值范围为. 17. 二次函数 满足 ，且 ．． （1）求 的解析式； （2）对任意 ，都有 恒成立，求 取值范围； （3）对任意 ，存在 ，使得 成立，求 取值范围． 【答案】（1）​ （2）​ （3）​ 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，利用和差分关系比较系数确定解析式． （2）分离参数，将恒成立问题转化为小于辅助函数在给定区间上的最小值． （3）将量词条件转化为在上的值域包含于在上的值域，再利用区间包含关系求参数范围． 【小问1详解】 设（），由，得， 又，与比较同次项系数，得， 解得，，所以． 【小问2详解】 由小问1，等价于，即． 令，由二次函数的性质，在上单调递减，故其最小值为． 由于该最小值可以取得，要使对任意恒成立，必要且充分条件是． 【小问3详解】 由小问1，在上单调递增，其值域为； 在上单调递增，其值域为． 题意要求的每一个值都能被取到，等价于，即，解得． 18. 已知函数. （1）当时，解关于的不等式. （2）当时，解关于的不等式. （3）不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为空集， 当时，不等式的解集为； （3）. 【解析】 【分析】(1)把代入可得，再移项通分转化成一元二次不等式求解即得； (2)把不等式移项通分，将含参的分式不等式转化成含参的整式不等式进行分类求解即可； (3)把不等式在的条件下进行等价变形，再分离参数转化成求函数的最小值即可. 【详解】（1）当时，，于是有，即，整理得， 则，解得， 所以不等式的解集为； （2）当时，不等式化为：，即，整理得，则， 当时，解得， 当时，不等式转化为，解得或， 当时，不等式转化为， 当时，解得，当时，即，无解，当时，解得， 所以：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为空集， 当时，不等式的解集为； （3）对任意恒成立，即对任意恒成立，而当时，， 因，于是得对任意恒成立， 而， 当且仅当，即时取“=”，因此，， 所以的取值范围. 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，． （1）求 的解集和 的解集； （2）求方程 的解集； （3）若 的解集为 ，求 的取值范围． 【答案】（1）， （2）​ （3）​ 【解析】 【分析】（1）先利用为整数确定其可能取值，再由取整函数的定义还原的范围． （2）设，结合，按与分类去掉绝对值． （3）将不等式化为，利用解集恰好对应确定端点约束． 【小问1详解】 因为为整数，由得，由取整函数的定义， 得，故第一个不等式的解集为； 由得，即， 因为为整数，所以，从而，故第二个不等式的解集为． 【小问2详解】 设，其中，则，原方程化为，所以． ①当时，，所以，由得， 因为为整数，所以，，经检验满足原方程； ②当时，，所以，由得，矛盾，故此时无解． 综上，方程的解集为． 【小问3详解】 由得，即，所以． 因为原不等式的解集为，所以满足不等式的的取值恰好为，即区间中的整数恰好为． 要使整数在该区间内，而相邻整数均在该区间外，必须且只需， 解得且，即，所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $