第四章数列单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

云南省高二数学上学期单元测试（人教A版选择性必修第二册第四章）（答案及解析） 一、单项选择题 第 1 题 【答案】B 【考点】等差数列通项与前 n 项和 设公差为 。由 ， 得 ，，。 故选 B。 【易错点】先由两项之差求公差，再求首项，最后代入求和公式。 第 2 题 【答案】C 【考点】等比数列通项与等差中项 由题意 ，，。由等差中项 ， 各项为正，，故选 C。 【易错点】方程含 恒正，唯一正根为 。 第 3 题 【答案】A 【考点】等差数列前 n 项和的性质 由等差数列性质，，， 成等差数列。 ，，公差为 ，故 ，即 ，故选 A。 【易错点】该性质要求每段项数相等（均为 4 项）。 第 4 题 【答案】B 【考点】裂项相消求和（根式裂项） ， 故选 B。 【易错点】分母有理化是关键，相消后只剩首尾两项。 第 5 题 【答案】B 【考点】构造法求递推数列通项 ，故 是以 为首项、 为公比的等比数列。 故选 B。 【易错点】构造时常数项满足 时，设 。 第 6 题 【答案】A 【考点】由前 n 项和求通项与等比数列求和 ； 时 ，亦满足 ，故 。 故选 A。 【易错点】务必验证 是否统一。 第 7 题 【答案】B 【考点】等差数列前 n 项和的最值 等价于 ，即 ，。 又 ，，故 ， 在 时取最大值，故选 B。 【易错点】 为开口向下的二次函数，对称轴两侧对称，最值在变号项处。 第 8 题 【答案】B 【考点】取倒数构造等差数列 两边取倒数：， 故 是以 为首项、 为公差的等差数列。 故选 B。 【易错点】取倒数后注意首项 与公差的对应关系。 二、多项选择题 第 9 题 【答案】ABD 【考点】等差数列综合性质 A 对：， 时各项递减； 为开口向下的二次函数，存在最大值。 B 对：等差数列前 项和公式。 C 错： 推出 ，进而 ，，并非 。 D 对：，是公差为 的等差数列。故选 ABD。 【易错点】C 项由 得 （ 为偶数时），不要误判为某项为 0。 第 10 题 【答案】ABC 【考点】等比数列综合性质 A 对：， 时各项绝对值增大且为负，数列递减。 B 对： 时该性质成立。 C 对：。 D 错：，。故选 ABC。 【易错点】等比中项 有正负两解，勿漏。 第 11 题 【答案】ABC 【考点】构造法求通项与错位相减 两边除以 ：， 是以 为首项、 为公差的等差数列， A 对；错位相减（或分组）可得 ，B 对； 且递增，C 对；，D 错。故选 ABC。 【易错点】递推形如 时，除以 构造等差。 三、填空题 第 12 题 【答案】 【考点】累加法求通项 。 【易错点】累加时从 到 ，共 项，勿漏首项 。 第 13 题 【答案】 【考点】裂项相消求和 ， 第 14 题 【答案】 【考点】观察—猜想—递推验证 ，，，猜想 。 验证：若 ，则 ，成立。 四、解答题 第 15 题 【答案】（1）；（2） 【考点】等差数列基本量 【解析】 （1） 由 ，得 。 （2） 。 【评分参考】（1）求 2 分， 与 各 1 分，通项 1 分，共 5 分； （2）套用求和公式 4 分，化简 4 分，共 8 分。 【易错点】利用等差中项 简化计算。 第 16 题 【答案】（1）；（2） 【考点】等比数列通项与裂项求和 【解析】 （1） 设公比为 。由 ，得 ， （2） ，， 【评分参考】（1）求公比 4 分，通项 3 分，共 7 分； （2）化简 3 分，裂项 3 分，结果 2 分，共 8 分。 【易错点】裂项后中间项全部相消，只剩首项与末项。 第 17 题 【答案】（1）；（2） 【考点】构造等比数列与分组求和 【解析】 （1） 由 ，得 ，又 ， 故 是以 为首项、 为公比的等比数列。 （2） ， 【评分参考】（1）构造与证明等比 4 分，求通项 3 分，共 7 分； （2）分组 3 分，等比求和 3 分，等差求和与化简 2 分，共 8 分。 【易错点】构造时常数 满足 ，即 。 第 18 题 【答案】（1）；（2） 【考点】由 求通项与错位相减求和 【解析】 （1） 时 ； 时 时亦成立，故 。 （2） ， 两式相减： 【评分参考】（1）求 1 分， 求通项 3 分，验证 1 分，共 5 分； （2）错位相减列式 6 分，等比求和 3 分，化简结果 3 分，共 12 分。 【易错点】错位相减时注意相减后等比部分的首项、项数与最后一项的指数对应。 第 19 题 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【考点】构造等比、数学归纳法与等比求和 【解析】 （1） 由 ，得 ，又 ， 故 是以 为首项、 为公比的等比数列。 （2） ① 时 ，成立。 ② 假设 ，则 ，成立。 由①②，对任意正整数 ，。 （3） ， 【评分参考】（1）构造 3 分，通项 3 分，共 6 分； （2）归纳两步各 3 分，共 6 分；（3）识别等比与求和 5 分。 【易错点】数学归纳法两步缺一不可；构造时常数项为不动点 ，即 。 附：双向细目表 题型 题号 分值 考查内容 难度 来源 单选题 1 5 等差数列通项与求和 易 改编 单选题 2 5 等比数列与等差中项 易 改编 单选题 3 5 等差数列前 n 项和性质 易 改编 单选题 4 5 根式裂项求和 中 改编 单选题 5 5 构造法求递推通项 中 改编 单选题 6 5 由 Sn 求通项与等比求和 中 改编 单选题 7 5 等差数列前 n 项和最值 中 改编 单选题 8 5 取倒数构造等差（普洱茶情境） 中 原创 多选题 9 6 等差数列综合性质 中 改编 多选题 10 6 等比数列综合性质 中 改编 多选题 11 6 构造法与错位相减 中 改编 填空题 12 5 累加法求通项 易 改编 填空题 13 5 裂项相消求和 中 改编 填空题 14 5 观察—猜想—递推验证 中 改编 解答题 15 13 等差数列基本量 易 改编 解答题 16 15 等比数列与裂项求和 中 改编 解答题 17 15 构造等比与分组求和（普洱茶产量） 中 原创 解答题 18 17 由 Sn 求通项与错位相减 较难 改编 解答题 19 17 构造、数学归纳法与等比求和（游客量） 难 原创 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省高二数学上学期单元测试（人教A版选择性必修第二册第四章）（原卷） 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________ 得分：____________ 注意事项 　1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在试卷规定的位置上。 　2．回答选择题时，选出每小题答案后，将答案填写在题号后的括号内；填空题将答案填写在题号后的横线上。 　3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．记等差数列 的前 项和为 。若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知等比数列 的各项均为正数，，且 ，， 成等差数列，则公比 （　　） A． B． C． D． 3．设等差数列 的前 项和为 。若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．数列 的前 项和为（　　） A． B． C． D． 5．已知数列 满足 ，，则通项公式 （　　） A． B． C． D． 6．已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．设等差数列 的公差 ，且 ，，则 取最大值时 （　　） A． B． C． D． 8．某茶企对一批普洱茶饼按含水量做记录，得到数列 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对且无错选的得部分分，有选错的得 0 分。 9．设等差数列 的公差为 ，前 项和为 。下列说法正确的是（　　） A．若 ，，则 递减且 存在最大值 B． C．若 ，则 D．数列 是等差数列 10．设等比数列 的公比为 ，前 项和为 。下列说法正确的是（　　） A．若 ，，则 为递减数列 B．当 时，，， 仍成等比数列 C．， 时， D．，则 11．已知数列 满足 ，。下列说法正确的是（　　） A． B． C．数列 为递增数列 D． 三、填空题 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知数列 满足 ，且当 时 ，则 ________。 13．已知数列 的通项 ，则其前 项和 ________。 14．已知数列 满足 ，，则 ________。 四、解答题 本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列 满足 ，。 （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 。 16．（15分）已知等比数列 的各项均为正数，，且 。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 。 17．（15分）云南某茶厂记录某款普洱茶逐年的产量（单位：百千克），设第 年产量为 。已知 ，且 。 （1）证明数列 为等比数列，并求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 。 18．（17分）已知数列 的前 项和 。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 。 19．（17分）云南某景区统计进入游客人次（单位：千人次），设第 个月为 。已知 ，且 。 （1）求数列 的通项公式； （2）证明：对任意正整数 ，； （3）设 ，求数列 的前 项和 。 学科网（北京）股份有限公司 $