4.2等差数列单元过关检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2等差数列单元过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第二册第四章（2019）人教A版） 一.单选题 1．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 2.已知正项等差数列的公差为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．90 B．100 C．108 D．126 4．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．54 B．90 C．84 D．100 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．27 B．28 C．54 D．55 7．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津高考），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 二、多选题 9．设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．是等差数列 D． 10．数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则的公差为1 B．若为等差数列，则的首项为1 C． D． 11．设等差数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A． B．不是等差数列 C． D．数列的前n项和是 三、填空题 12．在等差数列中，若，，则的值为 . 13．记为等差数列的前项和，，，则 . 14．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 四、解答题 15．在等差数列中，已知，. （1）求出首项与公差，并写出通项公式； （2）中有多少项属于区间？ 16．等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 17．在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 18．已知数列的前项和为，其中． (1)求实数的值以及数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，求． 19．记为数列的前项和，且，，其中. (1)证明：为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 解析 一.单选题 1．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 答案：A 分析：根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 解析：由题意可得，解得. 故选：A. 2.已知正项等差数列的公差为，若，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：根据等差数列通项公式列方程，即可得解. 解析：由已知数列为等差数列，且， 即，化简可得， 即， 故选：B. 3．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．90 B．100 C．108 D．126 答案：C 分析：利用等差数列的性质求解即可. 解析：由，可得，所以，又，所以， 所以. 故选：C. 4．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．54 B．90 C．84 D．100 答案：D 分析：设出公差后借助等差数列前项和公式计算即可得. 解析：设等差数列的公差为，则有，解得， 则. 故选：D. 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 解析：因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 6．已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．27 B．28 C．54 D．55 答案：A 分析：利用等差数列的通项公式及性质求出和，再将转化为，即可求解. 解析：设数列的公差为， 数列是等差数列，， 解得，即，① ，，解得，代入①中得，， ，，即， ，即，解得. 故选：A. 7．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出． 解析：由知：等差数列前项和公式可设：，，， 从而，， 所以， 故选：C 8．（2025·天津高考），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 答案：C 分析：先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 解析：因为，所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为，则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 二、多选题 9．设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．是等差数列 D． 答案：ACD 分析：代入计算判断A；由求解判断B；利用等差数列定义判断C；结合选项C利用等差数列通项公式求得，代入题干即可求解判断D. 解析：当时，，解得，故A正确； 由，得，上述两式作差，得， 即，故B错误； 由，得，所以是公差为1的等差数列，故C正确； 因为，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若为等差数列，则的公差为1 B．若为等差数列，则的首项为1 C． D． 答案：AD 分析：本题考查等差数列的应用，根据条件构造出，两式相减得，再根据选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D． 解析：因为，所以，两式相减得． 若数列为等差数列，则,,即的公差． 又，所以，解得，所以A正确，B错误； ， 所以，所以C错误． 因为，所以恒成立， 即成立，所以D正确， 故选：AD． 11．设等差数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A． B．不是等差数列 C． D．数列的前n项和是 答案：ACD 分析：先求解等差数列基本量，写出通项公式，可判断A选项；再根据等差数列定义，判断数列是等差数列；选项C，由裂项可得；选项D，在C的基础上，可求得. 解析：选项A：等差数列满足，，设公差为. 由,则，解得, 则.故选项A正确. 选项B：又，则，且. 故数列是以为首项，为公差的等差数列，故选项B错误. 选项C：由，得，故选项C正确. 选项D：根据选项的结果，设数列的前项和为. 则，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．在等差数列中，若，，则的值为 . 答案：28 分析：由等差中项可得，，结合等差数列通项公式求出和，再求出即可. 解析：由题, ，，,， ， ，. 故答案为：28 13．记为等差数列的前项和，，，则 . 答案： 分析：根据等差数列的通项公式和前项和计算即可. 解析：设等差数列的首项为，公差为，则 由题意得，，化简得，解得. 所以.所以. 故答案为：. 14．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 答案： 分析：先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 解析：设数列的公差为，则， 故，故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值．故答案为： 四、解答题 15．在等差数列中，已知，. （1）求出首项与公差，并写出通项公式； （2）中有多少项属于区间？ 分析：（1）设等差数列的公差为d，利用已知条件列出方程组，解出，利用等差数列的公式求解即可；（2）由，求出满足题意的，即可得出结果. 解析：设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， . （2）由，得，，共三项. 点睛：本题主要考查了等差数列的相关知识.属于较易题. 16．等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 分析：（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差及首项即可. （2）利用等差中项的意义求解. （3）利用等差数列性质求解. 解析：（1）在等差数列中，，则公差， 由，得，因此，， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得和的等差中项为. （3）由（1）得. 17．在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 分析：（1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. 解析：（1）因为， 且，所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以 18．已知数列的前项和为，其中． (1)求实数的值以及数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，求． 分析：（1）当时，由解得，由结合即可求得，也适合，即可求解； （2）利用裂项相消法求和求得. 解析：（1）当时，，所以，则， 当时，， 又也适合，所以； （2）因为， 所以数列的前项和． 19．记为数列的前项和，且，，其中. (1)证明：为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 分析：（1）由递推关系式化为，整理得是等差数列，并求通项公式即可； （2）分离参数得，构造数列，则只需求其最小项，即可. 解析：（1）由已知得，两式相减并化简得， 两边同时除以得， 所以数列为常数列，亦即为公差为0的等差数列. 首项为，则，即. （2）由（1）， 所以， 记，则， 当时，，当时，，当时，，， ，则. 所以实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $