第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结（8类热点题型讲练）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01等差与等比数列的基本运算 【典例1】已知数列的前项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，，成等差数列，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为d，利用等差数列前n项和的基本量运算求出，然后代入等差数列通项公式求解即可； （2）设数列的公比为q，利用等差中项性质求得，然后利用等比数列前n项和公式求解即可． 【详解】（1）设数列的公差为d，由，得 ，解得， 所以． （2）设数列的公比为q，则 ，因为，，成等差数列， 所以，即，解得，所以 ． 【典例2】（25-26高二上·天津河北·阶段检测）求下列数列的通项公式及前项和． (1)若等差数列满足，求数列的通项公式及前项和． (2)若等比数列满足，求数列的通项公式及前项和． 【答案】(1)； (2),. 【分析】（1）利用等差数列的定义求出公差和首项，再求出通项公式与前项和； （2）利用等比数列的定义求出公比，再求出通项公式与前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以. 所以，． 所以数列的通项公式为，前项和． （2）设等比数列的公比为， 因为，所以. 所以，. 所以数列的通项公式为，前项和为. 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由等比数列的通项公式得． （2）设等比数列的公比为，则，解得， 所以． 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【答案】(1)，最小值为 (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. （2）由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 【变式3】（24-25高二下·江西南昌·期中）已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意结合等比数列性质可得，即可得结果； （2）根据题意结合等比数列性质可得，设数列的前3项依次为，结合题意列式求解即可. 【详解】（1）因为，则，即， 又因为，所以. （2）因为，则，可得， 设数列的前3项依次为，则有， 整理得，解得或， 此时或，所以或 题型02 等差、等比数列的证明 【典例1】（26-27高二上·全国·课堂例题）（1）设等差数列的前项和为，求证：、、成等差数列. （2）数列是公差为的等差数列，数列是否为等差数列？ 【答案】（1）证明：设等差数列的公差为，则， ，， 所以，， ， 所以，， 因此，、、成等差数列. （2）是 【分析】（1）利用等差数列的定义可证得结论成立. （2）根据等差数列的概念，结合等差数列的前项和公式进行判断. 【详解】因为数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 【典例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，的前项和为，，.记. (1)求和的通项公式； (2)证明：是等比数列； 【答案】(1)， (2) 因为， 所以， 所以，且， 所以是以为首项，为公比得等比数列； 【分析】（1）利用等差等比的通项公式和求和公式进行计算即可求解； （2）利用通项公式代入化简即可证明； 【详解】（1）因为是公差为的等差数列，其前项和为， 所以，得， 所以 ， 因为，当时，得，所以， 当时，，两式相减可得， ，所以，又， 所以是以为首项，为公比得等比数列，所以. （2）略 【变式1】（2025·甘肃白银·三模）已知等差数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式． (2)设数列的前项和为． ①求； ②是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ；②存在； 【分析】（1）利用等差数列性质由求出，由求出，再根据与关系求公差，最后由与、关系求，进而得出通项公式. （2）①先根据求，再对裂项，最后通过裂项相消求. ②先表示出，再求时，，令其为常数确定的值. 【详解】（1）因为， 所以，解得， 设数列的公差为，所以， 解得．因为，所以， 所以的通项公式是． （2）①由（1）知，所以， 所以， 所以， 故； ②存在；，理由如下： 设，由①知，所以， 假设存在实数，使得数列为等差数列， 当时， ， 只有当时，为常数，其他值均不合要求， 故存在实数时，使得数列是等差数列． 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，试判断数列是不是等差数列． 【答案】数列是首项为5，公差为4的等差数列． 【分析】根据，再验证时是否成立，作差计算得出公差即可证明. 【详解】，则当时，； 当时，． 又适合， 数列的通项公式是． 当时，， 故数列是首项为5，公差为4的等差数列． 【变式3】（24-25高二下·湖北黄石·阶段检测）已知数列的前n项和为，且，在数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列； 【答案】(1) (2) ∵，，，， 设， ∴ ∴ ∴是首项为，公比为的等比数列． 【分析】（1）根据的关系求数列通项公式； （2）设，利用待定系数法求出，再由等比数列定义式证明即可； 【详解】（1）当时，， 当时，， 综上， （2）略 题型03 等差数列的性质及应用 【典例1】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可知，且，，，也为等差数列，根据等差中项可得，，即可得结果. 【详解】因为，则，且，即， 又因为为等差数列的前项和，则，，，也为等差数列， 可得，即，则， 且，即， 可得，即， 所以. 【典例2】（多选）（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（    ） A．若数列是递增数列，则数列也是递增数列 B．若，则的值为 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】结合等差数列的基本特征和等差数列的前项和的性质逐个分析选项即可. 【详解】对于A，设的公差为，因是递增数列，故， 前项和，则，相邻两项差为，因此是递增数列，故A正确； 对于B，根据等差数列的前项和性质，是等差数列， 所以，由，可知，故B错误； 对于C，两个等差数列的和仍为等差数列，故是等差数列， 由于是和的等差中项，因此，得，故C正确； 对于D，等差数列中，故，同理，因此，故D正确. 【变式1】（多选）（25-26高三上·山东威海·期中）已知数列的前项和，则（   ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】BC 【分析】根据条件，利用与间的关系，求出，即可判断B的正误，对A，由等差数列的定义，即可求解；对C，利用等差数列的前项和公式及等差数列的定义，即可求解；对D，先判断的正误，从而将问题转化成求，即可求解. 【详解】因为，当时，， 所以时，， 又，满足，所以，故B正确， 对于A，因为为常数，所以是等差数列，故A错误， 对于C，因为，则为常数， 所以数列是等差数列，故C正确， 对于D，因为，则时，，时，， 所以， 又，所以，故D错误. 【变式2】（多选）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 【答案】BC 【分析】根据等差数列的前项和公式及性质，再结合片段和性质，及等差数列等比数列的判定逐一分析即可． 【详解】对于A，由是等差数列，则， 若，则，即， 所以，即当，且时，，即不恒成立，故A错误； 对于B，由是等差数列，则对任意的整数，都有，，成等差数列， 令，则，，成等差数列， 所以，故B正确； 设等差数列的公差为，则，，， 对于C，若成等差数列，则，即，解得， 则，，，即，，所以， 即当时，，，成等差数列，故C正确； 对于D，若成等比数列，则，即，解得， 将看成是关于的一元二次方程， 则，只有当时，方程有解，且解为， 此时，则，，不可能成等比数列，故D错误． 【变式3】（多选）（2026高二上·陕西咸阳）已知公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（    ） A． B．为等差数列 C．当取得最小值时， D．为递减数列 【答案】BC 【分析】利用等差数列前项和的中项性质，先根据、推导、的符号与公差的正负，再结合等差数列的定义、前项和的最值判断规则逐一验证选项. 【详解】∵ 在等差数列中，，， ∴ ，，即，公差. 对于A，∵ ，故 A错误； 对于B，∵ ，∴ ， 则为常数， 所以为等差数列，故 B正确； 对于C，∵ ，，即数列前项都为负，从第项起都为正， ∴ 当取得最小值时，，故 C正确； 对于D，∵ ，∴ 为递增数列，故 D错误. 题型04 等比数列的性质及应用 【典例1】（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列公差不为零，为其前项和，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C．成等比数列 D．中数值不同的有995个 【答案】D 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合等差数列性质可求出，判断A；根据判断B；根据等比数列的项中不可能有0，判断C；求出的表达式，结合二次函数的对称性可判断D. 【详解】由题意知等差数列公差不为零，设公差为d，则， ，则，A错误； 由，故，B错误； 由于，故不可能成等比数列，C错误； 由，得， 故， 由于二次函数的对称轴为，且在上单调， 故， 故中数值不同的有个，D正确， 故选：D 【典例2】（多选）（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）． A．数列的公比 B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】利用，算出公比，得到通项公式，再逐一判断单调性、最大项,通过等差数列的定义判断数列是等差数列. 【详解】正项等比数列，设公比为，则，， ，， 已知 ，所以 ，因为，所以， 正项数列 ，故 ，A 正确； 因为，，所以正项等比数列单调递减，所以首项就是最大项，B 正确； 因为，，所以正项等比数列是递减数列，C 错误； 因为，，所以，所以 ， 差为常数，所以数列为等差数列，D 正确. 【变式1】（多选）（26-27高三上·湖北·阶段检测）设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则 C．若，则数列是递减数列 D．记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 【答案】AD 【分析】利用可得数列是等差数列；利用特殊数列可判断；利用，当时，即可；利用即可. 【详解】由已知可得，. 对于选项A，因为， 所以数列是公差为的等差数列，故A正确； 对于选项B，当时，， 则，但，故B错误； 对于选项C，， 当时，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于选项D，可得， ，故D正确. 【变式2】（多选）（25-26高二下·江西·期中）若数列的前项和为，且，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则是等比数列 B．若是等比数列，则 C．若，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等比数列 【答案】BC 【分析】举出反例可得A、D；借助等比数列性质计算可得B；借助与关系及等比数列定义计算可得C. 【详解】对A：取数列，可取，满足题意， 但此时该数列不是等比数列，故A错误； 对B：设该数列公比为，则，，， 则，故B正确； 对C：当时，，则， 即，当时，即， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确； 对D：取等比数列，有，，， 此时、、不成等比数列，故D错误. 【变式3】（多选）（25-26高二下·湖北·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】ABD 【分析】先由不等式符号判定项与1的大小关系，再结合推出公比范围、数列增减，进而分析和与积的变化. 【详解】已知，即，因此和异号，即中必有一项大于1，一项小于1. 因为，所以同号. 又因为为等比数列且，所以均为正. 结合可知数列为递增数列，公比，所以. 选项A：因为，而，所以，A正确； 选项B：由等比数列性质：，而，所以，因此，B正确； 选项C：当时，(变小)；当时，(变大).而，说明是是最后一次乘以小于1的项，之后乘以大于1的项会变大，即是从递减到递增的转折点，故是最小值，C错误. 选项D：因为为递增数列且，所以数列递增，无最大值，D正确. 题型05数列求通项、求和 【典例1】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正项数列，是的前项和，且满足． (1)求的通项公式； (2)数列满足，是的前项和，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用进行求解，结合等差数列的性质求出通项公式； （2）化简得到，相加可得 【详解】（1）①， 则②， 故②-①得， 因为，所以，所以， 所以当时，为等差数列，公差为1， 中，令得，即， 其中，则，解得或（舍去）， 所以时，， 显然满足， 综上：； （2） ， 故 . 【典例2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，满足，且对任意，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)现要在与之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列．数列中是否存在三个互不相同的项，，，使得m，k，p成等差数列的同时，，，也成等比数列？若存在，写出所有解，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3略 【分析】（1）把等差数列前n项和公式代入中，化简，得出和d的方程；由得出和的关系式，用替换，又得到一个和d的方程，联立，解方程组即可得出和d，最后根据等差数列的通项公式写出的通项公式. （2）是等差×等比型数列，用，错位相减求前n项和. （3）利用等差数列通项公式求出公差，m，k，p成等差数列，同时，，，成等比数列，在成立的条件下推导是否成立，不成立则说明不存在这样三项. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，首项为． 由，得，化简得：． 由，令，，即， 联立，解得，. 所以通项公式：. （2）由， 则① ② ①-②，错位相减： 所以. （3）在与之间插入n个数，一共个数构成一个公差为的等差数列， 则，即．因为， 所以． 由题意：m，k，p成等差数列，所以． 因为，，成等比数列，所以． 代入表达式，，，由，得， 约分得：． 令函数，由，且三者互异， 可设，， 则， 作差． 因为，，，所以，， 故， 即，与矛盾． 所以不存在三个互不相同的项，，，使得m，k，p成等差数列的同时，，，也成等比数列. 【变式1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设为等差数列的前项和，其中，且． (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 【答案】(1); (2)①②常数的最小值为4. 【分析】（1）由等差数列得到，再根据得到,，于是可得，进而得到公差，通项公式为； （2）①求得，用错位相减法得到； ②由，代入化简得，利用得到为递减数列，依次验证各项，可得到常数的最小值为4. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则，即，所以 因为为等差数列，所以前三项成等差数列， 所以，即，所以. 所以，所以公差， 所以通项公式为. （2）①， （1） （2） 所以（1）减去（2）可得 所以. ②由可得，即， 设，则， 因为，所以， 所以为递减数列，又因为， 所以当时，恒有，所以常数的最小值为4. 【变式2】（26-27高三上·山东日照·阶段检测）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． (3)是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1415 (3)存在，， 【分析】（1）根据等差数列的性质、与的关系及等比数列的通项公式求出；根据对数的运算求出. （2）求出，根据等差数列及等比数列的前项和公式求解即可. （3）结合（1）将原等式转化为，结合，为正整数代入验证即可. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以. 当时，，解得. 当时，， 所以，整理得， 即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，经验证，满足上式. 所以. ，故. （2）由（1）得，. 所以. （3）由（1）得，. . 故原等式可化为. 若，则，若，则，若，则， 若，则，若，则， 因为，为正整数，所以存在，，使原式成立. 【变式3】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，且，，成等差数列． (1)求证：数列是等比数列，并求出通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数的值． 【答案】(1)略 (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列中项建立与的关系式，通过推导递推公式，构造证明等比数列并求通项； （2）求出，用错位相减法计算前n项和； （3）先求出与的通项，通过分组求和得到前n项和，再结合数列单调性验证得到满足不等式的最大正整数的值． 【详解】（1）由，，成等差数列， 根据等差数列中项性质得： ， 化简得 ①，， 当时，，解得． 当时， ②． ①②得：，整理得，即， 又，故是首项为，公比为的等比数列； 因此，且， 即． （2）设数列的前项和为，由（1）知， 故， ， ， 两式相减得， 故． （3）由（1）得，代入的表达式得： ， 由题意，为的第项，故， 所以 ， 由等比数列前项和公式可得：， 故， 令，设，， 则： ， 故为递增数列， 故，， 故满足不等式的最大正整数为． 题型06 数列不等式 【典例1】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知正项数列，满足，． (1)设数列满足，若． （i）求数列，的通项公式； （ii）求数列的前20项和； (2)若，分别为数列，的前项和，证明：对任意的，恒成立． 【答案】(1)（i），（ii） (2略 【分析】（1）（i）根据等比数列与等差数列定义，分情况讨论数列通项； （ii）结合数列通项，采用错位相减法即可求解； （2）结合等比数列定义，以及基本不等式求解数列范围，通过作差法比较两者大小. 【详解】（1）（i）因为且， 所以，两式相减得到，   当为奇数时，，所以，，，…，成首项为1，公差为2的等差数列， 所以，为奇数； 当为偶数时，，所以，，，，…，成首项为1，公差为2的等差数列， 所以，为偶数， 所以     因为，所以，两式相除得到，     当为奇数时，，所以，，，，…，成首项为1，公比为2的等比数列， 所以，为奇数； 当为偶数时，，所以，，，，…，成首项为2，公比为2的等比数列， 所以，为偶数， 所以     （ii）由（i）知 所以 即 因此 则，     设，① 则，② ①−②得， ， 所以， ， （2）由题易知 ，    由，可得，则， 即数列{}和{}均为公比为2的等比数列， 所以，     ，当且仅当时，取等． ， 当时，； 当，，，时，可验证， 所以对于任意的，都有，即恒成立． 【典例2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用等差数列条件求出的通项，再结合题干等式算出；构造等比数列，由求公比，得到后变形求出； （2）因为要对任意 ，恒成立，所以要大于等于的最大项，那么需要先分析数列的单调性，找到其最大项的值，即可得到的最小值. 【详解】（1）设的公差为，则， 因为，所以， 故的通项公式为，所以. 由，得，即；由，得. 设，则为等比数列， 所以，， 设的公比为，则，故． 则，即. 所以． 故的通项公式为． （2）由． 当时，，，即； 当时，，即； 当时，，，即 综上所述，数列中的最大项为和，且， 因为对任意 ，都有恒成立，所以． 【变式1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列，满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求满足中的最小值. 【答案】(1)略 (2) (3)2025 【分析】（1）根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可； （2）根据（1）中证明过程得到数列通项公式，得到数列通项公式，再裂项相消求和即可. （3）解不等式即可求解. 【详解】（1）由， 因为，所以， 则，又， 所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）知，， 所以， 则. （3）由（2）知，， 由，得，即， 则满足中的最小值为2025. 【变式2】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出公比，得到的通项公式，进而可得公差，得到的通项公式； （2）变形得到，令，作差法得到的最大值，从而得到答案 【详解】（1）数列为等比数列，设其公比为， ，，故，解得， 所以数列的通项公式为； 则，， 为等差数列，设其公差为，则，解得， 所以的通项公式为； （2），故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为， 故，实数的最小值为1. 【变式3】（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用对数运算性质化简递推式得到数列相邻两项比值，通过累乘法求出通项，再验证的情况得到数列的通项公式； （2）先对裂项相消求出前项和，再解关于的不等式，结合正整数条件求出的最大值. 【详解】（1）当时，， 可得， 所以， 则， 当时，符合上式， 故，． （2）由（1）得，， 所以，     则，解得，又因为，所以的最大值为． 题型07 数学思想与方法（函数方程） 【典例1】（25-26高二下·广东·期中）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________. 【答案】 【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知，则的公差为， 所以， 则，即恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 而，即， 所以. 故答案为： 【典例2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，当时，可得，两式相减，得到，再由，即可求解； （2）由（1）得到，结合裂项相消法求和，求得，因为对任意恒成立，转化为对任意恒成立，令，结合函数的单调性，求得的最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由数列满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即， 又由时，可得，适合上式， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知，可得， 所以 ， 因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，即， 可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又由，， 所以的最小值为，可得， 所以实数的取值范围为. 【变式1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为________________________． 【答案】 【分析】根据等比数列基本量的计算可得通项，进而将问题转化为，构造，利用作差法确定单调性，即可求解最值得解. 【详解】设等比数列的公比为，，. ，，解得，， 由得，即. 记，则， 当时，，时，， 因此 故时，取到的最小值是. ，即实数的取值范围为. 【变式2】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列的通项公式． (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由． 【答案】(1)证明： ， ，当且仅当时，即时，等号成立， ，，； (2)数列是递减数列，理由如下： 由函数在上单调递增，且， 所以在上单调递减，因为． 所以数列是递减数列． 【分析】（1）将的分子分母都除以，得到，利用基本不等式求出的范围，由得到的范围； （2）利用函数在上单调递增且得到在上单调递减，从而得到数列是递减数列． 【详解】（1）略； （2）数列是递减数列，理由略. 题型08数学思想与方法（分类讨论思想） 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3). 【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 【典例2】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知数列满足. (1)求证：是等差数列； (2)设(表示不超过x的最大整数)，求使得成立的最大整数n的值． 【答案】(1)证明：由， 所以，且， 即是以1为首项，2为公差的等差数列； (2)9 【分析】（1）利用递推公式化简结合等差数列的定义证明即可； （2）利用（1）的结论结合定义得出，构造判定其单调性得出，分类讨论并由等差数列求和公式计算解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）由上可知， 即， 记，则， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 且， 则时，，所以， 即时，， 易知， 且当时，， 所以当时，， 当时，. 所以满足条件的最大整数n的值为9. 【变式1】（25-26高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，数列是从第2项起以1为公差的等差数列，由此可求得数列的通项公式及； （2）根据数列的项的正负，分，和三种情况分析并求得. 【详解】（1）由题意，，， 则数列是从第2项起以1为公差的等差数列， 所以， 因此，当时， ； 当时，，符合， 故. （2）由（1），令，得，即当或时，； 当时，. 当时，； 当时，，符合； 当时，. 故. 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明如下： 由已知，， ，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. (2) 【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【详解】（1）略 （2）由第（1）问知， ， 则，所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 【变式3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2) 由得，. ①当n为偶数时，， 此时，，故； ②当n为奇数时，， ， 综上，当时，． 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式得到，再根据得到，接着用“累乘法”可得数列的通项公式. （2）分为偶数与奇数两种情况，表示出，结合作差法比较与的大小. 【详解】（1）由题意得，                ①， 当时，       ② 由①②得：，即 ． 又时，满足. （2）略. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结 第一部分 思维导图 第二部分 题型精讲 题型01等差与等比数列的基本运算 【典例1】已知数列的前项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，，成等差数列，求． 【典例2】（25-26高二上·天津河北·阶段检测）求下列数列的通项公式及前项和． (1)若等差数列满足，求数列的通项公式及前项和． (2)若等比数列满足，求数列的通项公式及前项和． 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）在等比数列中． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【变式3】（24-25高二下·江西南昌·期中）已知数列为等比数列． (1)若，且求的值； (2)若求数列的通项公式． 题型02 等差、等比数列的证明 【典例1】（26-27高二上·全国·课堂例题）（1）设等差数列的前项和为，求证：、、成等差数列. （2）数列是公差为的等差数列，数列是否为等差数列？ 【典例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，的前项和为，，.记. (1)求和的通项公式； (2)证明：是等比数列； 【变式1】（2025·甘肃白银·三模）已知等差数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式． (2)设数列的前项和为． ①求； ②是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，试判断数列是不是等差数列． 【变式3】（24-25高二下·湖北黄石·阶段检测）已知数列的前n项和为，且，在数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列； 题型03 等差数列的性质及应用 【典例1】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列、均为等差数列，记数列、的前项和分别为，，下列说法中正确的有（    ） A．若数列是递增数列，则数列也是递增数列 B．若，则的值为 C．若，，则 D．若，则 【变式1】（多选）（25-26高三上·山东威海·期中）已知数列的前项和，则（   ） A．不是等差数列 B． C．数列是等差数列 D． 【变式2】（多选）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 【变式3】（多选）（2026高二上·陕西咸阳）已知公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（    ） A． B．为等差数列 C．当取得最小值时， D．为递减数列 题型04 等比数列的性质及应用 【典例1】（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列公差不为零，为其前项和，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C．成等比数列 D．中数值不同的有995个 【典例2】（多选）（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）． A．数列的公比 B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．数列为等差数列 【变式1】（多选）（26-27高三上·湖北·阶段检测）设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则 C．若，则数列是递减数列 D．记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 【变式2】（多选）（25-26高二下·江西·期中）若数列的前项和为，且，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则是等比数列 B．若是等比数列，则 C．若，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等比数列 【变式3】（多选）（25-26高二下·湖北·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 题型05数列求通项、求和 【典例1】（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知正项数列，是的前项和，且满足． (1)求的通项公式； (2)数列满足，是的前项和，求． 【典例2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，满足，且对任意，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)现要在与之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列．数列中是否存在三个互不相同的项，，，使得m，k，p成等差数列的同时，，，也成等比数列？若存在，写出所有解，若不存在，请说明理由． 【变式1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设为等差数列的前项和，其中，且． (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 【变式2】（26-27高三上·山东日照·阶段检测）已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． (3)是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【变式3】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，且，，成等差数列． (1)求证：数列是等比数列，并求出通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数的值． 题型06 数列不等式 【典例1】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知正项数列，满足，． (1)设数列满足，若． （i）求数列，的通项公式； （ii）求数列的前20项和； (2)若，分别为数列，的前项和，证明：对任意的，恒成立． 【典例2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 【变式1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列，满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求满足中的最小值. 【变式2】（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【变式3】（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 题型07 数学思想与方法（函数方程） 【典例1】（25-26高二下·广东·期中）等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________. 【典例2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为________________________． 【变式2】（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列的通项公式． (1)求证：； (2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由． 题型08数学思想与方法（分类讨论思想） 【典例1】（24-25高三上·天津滨海新区·阶段检测）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【典例2】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知数列满足. (1)求证：是等差数列； (2)设(表示不超过x的最大整数)，求使得成立的最大整数n的值． 【变式1】（25-26高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前项和. 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【变式3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)证明：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $