第二章直线和圆的方程单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

云南省高二数学上学期单元测试（人教A版选择性必修第一册第二章）（原卷） 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________ 得分：____________ 注意事项 　1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在试卷规定的位置上。 　2．回答选择题时，选出每小题答案后，将答案填写在题号后的括号内；填空题将答案填写在题号后的横线上。 　3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 　1．直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 2．过点 且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 3．圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 4．直线 截圆 所得弦长为（　　） A． B． C． D． 5．点 与圆 的位置关系是（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 6．两圆 与 的公切线条数为（　　） A． B． C． D． 7．若直线 与圆 相交，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 8．某普洱茶山圆形观景平台半径为 米，圆心为 。一条直木栈道从平台内一点 （ 米）处穿过平台，则该栈道被平台边缘截得的弦长的最小值为（　　） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 二、多项选择题 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对且无错选的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列说法正确的是（　　） A．过点 且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条 B．直线 恒过定点 C．直线 与圆 恒有公共点 D．直线 与直线 平行，则 10．已知圆 ，则下列结论正确的是（　　） A．圆心 到坐标原点的距离为 B．圆 与 轴相切 C．过原点的直线被圆 截得弦长的最大值为 D．圆 上的点到直线 的最大距离为 11．已知圆 ，则下列结论正确的是（　　） A．圆 恒过坐标原点 B．圆心 在直线 上 C．原点与圆上点的最大距离为 D．圆 与 轴相切 三、填空题 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知直线 与 平行，则 ________。 13．过点 作圆 的切线，切点为 ，则 ________。 14．已知圆 ，过原点 作圆 的弦，则弦中点 的轨迹方程为________。 四、解答题 本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在 中，，，。 （1）求 边所在直线的方程； （2）求 边上的高所在直线的方程； （3）求 的面积。 16．（15分）已知圆 。 （1）求过点 的圆 的切线方程； （2）求直线 被圆 截得的弦长。 17．（15分）某普洱茶山观景平台可近似为圆 （单位：百米），平台外一观景台 。 （1）若 为圆 上任意一点，求 的最大值与最小值； （2）若实数 满足圆 的方程，求 的最大值。 18．（17分）已知圆 ，点 在圆上。过 的直线交圆 于另一点 ，点 在圆上且 。 （1）若 的斜率为 ，求 ； （2）求证：直线 恒过定点； （3）求 面积的最大值。 19．（17分）已知圆 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 。 （1）求切线方程； （2）求切点弦 所在直线的方程； （3）求 的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省高二数学上学期单元测试（人教A版选择性必修第一册第二章）（答案及解析） 一、单项选择题 第 1 题 【答案】B 【考点】直线的倾斜角与斜率 将直线化为斜截式 ，斜率 ， 由 且 ，得 ，故选 B。 第 2 题 【答案】A 【考点】平行直线的方程 与 平行的直线可设为 ， 代入 得 ，解得 ，故所求直线为 ，选 A。 【易错点】平行直线斜率相等，注意设方程时保持 系数与原直线成比例。 第 3 题 【答案】C 【考点】圆的一般方程、点到直线距离 配方得 ，圆心为 ， 故选 C。 第 4 题 【答案】A 【考点】直线截圆所得弦长 圆心 到直线 的距离 ， 半径 ， 故选 A。 【易错点】弦长公式 中 为圆心到直线的距离。 第 5 题 【答案】C 【考点】点与圆的位置关系 ，故点 在圆外，选 C。 第 6 题 【答案】C 【考点】圆与圆的位置关系、公切线条数 圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 。 圆心距 ，两圆外切，故公切线有 条，选 C。 第 7 题 【答案】A 【考点】直线与圆相交的条件 圆 的圆心为 ，半径 。 直线 ，由相交得圆心到直线距离小于半径： 平方得 ，即 ，解得 ，故选 A。 【易错点】相交条件是 （严格小于）；相切为 。 第 8 题 【答案】A 【考点】圆内过定点弦长的最小值 半径 ，圆心 到定点 的距离 。 当过 的弦与 垂直时弦最短： 故选 A。 【易错点】圆内过定点的最长弦为直径，最短弦与定点和圆心连线垂直。 二、多项选择题 第 9 题 【答案】BC 【考点】直线方程综合判断 A 错：过 且截距相等的直线有两条——过原点的 与不过原点的 ； B 对：令 得 ，故直线恒过 ； C 对：直线 恒过 ，而 在圆 上，故直线与圆恒有公共点； D 错：由平行条件 得 ，并非只有 。故选 BC。 第 10 题 【答案】ABC 【考点】圆的方程与几何性质 配方得 ，圆心 ，半径 。 A 对：； B 对：圆心到 轴距离为 ，故圆与 轴相切； C 对：过原点的直线被圆截得的最长弦为直径 ，且过圆心的直线存在； D 错：圆心到 的距离 ， 圆上点到该直线的最大距离为 。故选 ABC。 第 11 题 【答案】BC 【考点】含参圆的方程与性质 配方得 ，圆心 ，半径 。 A 错：代入 得 ，仅当 时成立，与 矛盾； B 对：圆心 满足 ； C 对：，原点到圆上点的最大距离为 ； D 错：圆心到 轴距离为 ，不相切。故选 BC。 三、填空题 第 12 题 【答案】 【考点】两直线平行的条件 由平行条件 ，得 。 检验截距：，两直线不重合，故 。 第 13 题 【答案】 【考点】切线长公式 配方得 ，圆心 ，半径 。 第 14 题 【答案】（或 ） 【考点】弦中点的轨迹方程 设 为弦中点，圆心 。 由垂径定理 ，即 ， 化简得 ，即 （在已知圆内的部分）。 【易错点】轨迹方程需注意取值范围：弦中点应在已知圆内部，即 。 四、解答题 第 15 题 【答案】（1）；（2）；（3） 【考点】直线方程、三角形面积 【解析】 （1） ，由点斜式： （2） 边上的高与 垂直，斜率为 ，过 ： （3） ， 点 到直线 的距离 【评分参考】（1）斜率 2 分，点斜式方程 2 分，共 4 分； （2）高斜率 2 分，方程 2 分，共 4 分； （3） 2 分，点线距 2 分，面积 1 分，共 5 分。 第 16 题 【答案】（1） 或 ；（2） 【考点】圆的切线方程、弦长 【解析】 （1） 配方得 ，圆心 ，半径 。 点 在圆外。设切线斜率存在时为 ，即 。 即 ，平方整理得 ，解得 或 。 对应切线为 与 。 另检验斜率不存在的直线 ：圆心到其距离为 ，不是切线。 故切线方程为 或 。 （2） 圆心 到直线 的距离 【评分参考】（1）配方 2 分，设切线方程 2 分，列距离方程 3 分，解出两个斜率 2 分，结论 1 分，共 10 分； （2）点线距 2 分，弦长公式 3 分，共 5 分。 【易错点】设点斜式前应先检验斜率不存在的直线是否为切线，避免漏解。 第 17 题 【答案】（1），；（2） 【考点】圆上点到定点距离的最值、斜率最值 【解析】 （1） 配方得 ，圆心 ，半径 。 （2） 表示圆上点 与定点 连线的斜率 。 设过 的切线为 ，即 ， 即 ，平方得 ，化简得 ， 解得 。 另一条切线为竖直线 （斜率不存在），故斜率最大值为 。 【评分参考】（1）配方 2 分， 2 分，最大最小值各 2 分，共 8 分； （2）几何意义说明 2 分，设切线 2 分，距离方程 2 分，解与结论 1 分，共 7 分。 【易错点】分式 的几何意义是斜率，不要误当作距离；注意斜率不存在的切线。 第 18 题 【答案】（1）；（2）直线 恒过原点 ；（3） 【考点】圆上点、定点定值、面积最值 【解析】 （1） 斜率为 时，直线 。 代入 ：，整理得 ， 解得 或 。 对应 ，故 。 （2） 设 斜率为 ，则 。 代入 ：。 其中 对应点 ，由韦达定理得另一交点 由 ，将 换成 ，得 可见 关于原点 对称，即 为圆的直径所在直线， 故直线 恒过定点 。 （3） 由（2）知 为定值，点 到直线 的距离 由 得 ，当且仅当 时取等号， 故 面积的最大值为 。 【评分参考】（1）联立方程 3 分，求 坐标 2 分，距离 2 分，共 7 分； （2）设斜率 2 分，求 坐标 2 分，对称变换求 2 分，定点结论 2 分，共 8 分； （3）面积表达式 2 分，基本不等式 2 分，结论 2 分，共 6 分。 【易错点】利用 将斜率 换为 求 ；面积最值用 。 第 19 题 【答案】（1）；（2）；（3） 【考点】切线方程、切点弦、三角形面积 【解析】 （1） 设过 的切线为 ，即 。 平方得 ，解得 ，即 。 故切线方程为 ，即 。 （2） 切点弦公式：对圆 ，过圆外点 的切点弦为 。 （3） 将 代入 ：， 点 到直线 的距离为 ， 【评分参考】（1）设切线 2 分，距离方程 3 分，解斜率 2 分，结论 2 分，共 9 分； （2）切点弦公式 3 分，结论 1 分，共 4 分； （3）求 2 分，点线距 1 分，面积 1 分，共 4 分。 【易错点】切点弦方程可由切点处切线方程导出，不必分别求切点；注意横坐标差即点到竖直线距离。 附：双向细目表 题型 题号 分值 考查内容 难度 来源 单选题 1 5 直线的倾斜角与斜率 易 改编 单选题 2 5 平行直线的方程 易 改编 单选题 3 5 圆的一般方程、点到直线距离 易 改编 单选题 4 5 直线截圆所得弦长 易 改编 单选题 5 5 点与圆的位置关系 易 改编 单选题 6 5 圆与圆位置关系、公切线 易 改编 单选题 7 5 直线与圆相交的条件 中 改编 单选题 8 5 圆内过定点弦长最小值（茶山观景平台情境） 中 原创 多选题 9 6 直线方程综合判断 中 改编 多选题 10 6 圆的方程与几何性质 中 改编 多选题 11 6 含参圆的方程与性质 中 改编 填空题 12 5 两直线平行的条件 易 改编 填空题 13 5 切线长公式 中 改编 填空题 14 5 弦中点的轨迹方程 中 改编 解答题 15 13 直线方程与三角形面积 易 改编 解答题 16 15 圆的切线方程与弦长 中 改编 解答题 17 15 圆上点距离最值与斜率最值（茶山观景平台情境） 中 原创 解答题 18 17 圆上点、定点定值与面积最值 较难 改编 解答题 19 17 切线、切点弦与三角形面积 难 改编 学科网（北京）股份有限公司 $