第二章 直线方程综合限时训练卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 直线方程单元综合训练卷，覆盖截距、倾斜角、斜率等核心知识，通过基础巩固（如选择1-6题）、能力提升（如解答17题定点与最值）、文化情境（如填空14题“将军饮马”）的梯度设计，适配单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|直线位置关系（如第4题平行条件）、斜率范围（第3题）|结合阶段检测真题，辨析充分必要条件| |填空题|3/15|夹角公式（第12题）、倾斜角与斜率转化（第13题）|融入“将军饮马”文化情境，体现数学应用| |解答题|5/77|对称问题（第16题）、面积最值（第19题）|综合考查定点探究、距离公式，注重逻辑推理与运算能力|

第二章 直线方程综合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 3．（25-26高二上·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，根据倾斜角变化得到斜率变化. 【详解】如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到轴的过程中，倾斜角变大到，斜率增大到正无穷，此时斜率为，此时直线的斜率的取值范围为， 从轴旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始增大，此时斜率为， 此时直线的斜率的取值范围为，综上直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 4．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】通过讨论是否为0，由求出对应的的值，然后由充分条件、必要条件的定义得到结果. 【详解】当时，：，：，显然不成立， 当时，，， 当时，，即，则，解得或， 当时，：，：，此时重合，舍去， ∴，∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 5．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 6．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 8．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以，    所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】BCD 【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可. 【详解】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故错误； 对于，若，所以可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故正确； 对于，可化为， 所以直线恒过，故正确； 对于，当直线与轴无截距，不满足条件， 当，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为和轴截距，即 解之可得或，故正确. 故选： 10．（25-26高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ） A．方程表示过点的所有直线 B．已知两条直线，若，则； C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．过点的直线与以、为端点的线段有交点，则直线斜率的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据直线的点斜式方程的概念，可判定A错误；根据两直线的位置关系，列出方程，求得的值，可得判定B正确；根据直线过定点，结合垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确；根据直线的斜率公式，求得直线斜率的取值范围，可判定D错误. 【详解】对于A，方程表示过点，且斜率为的直线， 其中不包括斜率不存在的直线，所以A错误； 对于B，由直线和， 可得和， 因为，所以且，解得，所以B正确； 对于C，将直线方程变形为，由，可得， 所以直线过定点， 当直线与垂直时，点到的距离最大， 因为，则，所以C正确； 对于D，如图所示，由，， 所以由图知，或，所以斜率的取值范围是，所以D错误. 故选：BC. 11．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（   ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为10 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】点关于直线：和轴的对称点分别为，，对于A：根据对称性可得，即可判断；对于B：根据点到直线的距离分析可判断；对于C：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析可判断；对于D：因为，结合点到直线的距离分析可判断. 【详解】设关于直线：、轴的对称点分别为，则，， 可知， 对于A， 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A正确； 对于B，设到轴、直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，设到直线：的距离为，则. 作，垂足为，则， 因为直线的斜率，则，可得， 所以的最小值为6，故C不正确； 对于D，因为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 14．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·青海·阶段检测）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用平行关系求出直线的斜率，进而求出直线方程； （2）先根据垂直关系求出直线斜率，再结合点求出直线方程． 【详解】（1）直线经过点，， 直线的斜率为， 直线平行于直线，直线的斜率为， 又直线经过点， 直线的方程为，一般式方程为．      （2）直线垂直于直线，直线的斜率，解得， 又直线经过点， 直线的方程为，其一般式方程为．    16．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即.    17．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知直线． (1)当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; (2)求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; (3)若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 【答案】(1); (2); (3)4,. 【分析】第一问将方程进行变形,使参数所乘的部分为零,即可求解;第二问当线段时,距离最大,根据斜率乘积为即可求得;第三问分别求出、两点坐标，转化为的直角边长,再根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题, 因为当变化时,直线过定点,则有, 解得，即定点 （2）由题知当线段时,距离最大,此时最大距离为,又可得, 则,解得,则直线 （3）由题可知,则,则, 所以 ,当且仅当时,等号成立,此时,最小值为4, 此时的直线. 18．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)① ；②或 【详解】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 19．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②最小值6， 【分析】（1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：①在（1）基础上，得到； ②在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：①在（1）基础上，得到； ②设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. 【详解】（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. （2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线方程综合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 3．（25-26高二上·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 10．（25-26高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（ ） A．方程表示过点的所有直线 B．已知两条直线，若，则； C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．过点的直线与以、为端点的线段有交点，则直线斜率的取值范围是 11．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线上一动点，则（   ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为10 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 14．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·青海·阶段检测）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 16．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 17．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知直线． (1)当k变化时,求直线l经过定点P的坐标; (2)求点到直线距离的最大值,并求此时直线的方程; (3)若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,求的面积的最小值,并求此时直线的方程． 18．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 19．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $