广西壮族自治区桂林市国龙外国语学校2026-2027学年上学期八年级9月学情自测数学试题

桂林市国龙外国语学校2026学年初二年级9月数学学科质量检测 考试时间：120分钟 总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单选题（共12题，每题3分，共36分） 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．在下列各式中：，，，，，分式共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．，，的最简公分母是（ ） A． B． C． D． 4．把在实数范围内因式分解，结果为（ ） A． B． C． D． 5．分式的值为0，则的值是（ ） A．0 B． C．2 D．2或 6．如果把分式中的和都扩大为原来的4倍，那么分式的值（ ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．不变 D．缩小为原来的 7．已知边长为，的长方形，若它的周长为14，面积为10，则的值是（ ） A．30 B．40 C．70 D．140 8．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 9．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ） A． B． C． D． 10．我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（ ） A．36 B．28 C．44 D．48 11．在数学中为了书写简便，数学家欧拉引进了求和符号“”，如记，；已知，则m的值是（ ） A．45 B．63 C．54 D．不确定 12．已知，，，那么代数式的值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 13．分解因式：_________． 14．计算：_________． 15．已知，则_________． 16．已知实数p，q满足，，且，则_________． 三、解答题（共72分） 17．（12分）因式分解： （1）； （2）； （3）． 18．（12分）分式计算： （1） （2） （3） 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 20．（10分）1637年笛卡尔（R．Descartes，）在其《几何学》中，首次应用待定系数法给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． 原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ， 等式两边同次幂的系数相等，则有：，解得．． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知． 当_________时，原式，所以原式可分解为_________与另一个整式的积． 若设另一个整式为．则_________，_________． （2）已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程． 请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． （3）已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为_________，的值为_________． 21．（10分）配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式变形为的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式：原式_________． （2）求代数式的最小值：， ， 当即时，有最小值，最小值是_________． [拓展应用] （3）如图，在四边形中，，，，若，求四边形面积的最大值． 22．（10分）【问题情境】 在校园劳动实践活动中，我们常常通过将劳动场地划分成若干个长方形来设计种植区域、分配劳动任务．比如，一块边长为的正方形菜地，就可以通过分割成4块较小的长方形菜地，如图1，面积分别为，，，，即，所以． 【解决问题】 （1）如图2，将边长为的正方形劳动场地划分成9块较小的长方形，分别计算它们的面积，由此得到_________； （2）在图2中，已知，，求的值； （3）【问题拓展】 如图3，已知边长分别为，的正方形和边长为，的长方形，利用这3种图形拼接一个面积为，画出拼接示意图，并利用该示意图直接写出多项式因式分解的结果． 23．（12分）数学学习活动是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子进行如下推导： ． 对于，称为立方差公式． 【公式推导】 （1）请推导立方和公式：． 【公式应用】 （2）请利用上面的公式进行因式分解： ①； ②． 【拓展应用】 （3）已知，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $