精品解析：江苏省张家港市沙洲中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试卷

沙洲中学2023—2024学年第一学期9月学情调研 高一数学试卷 注意事项： 1．本场测试时间：120分钟，试卷满分150分． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号、班级用规定的笔填涂在答题卡上的相应位置．作答选择题时，请将答案填涂在答题卡的相应位置．作答非选择题时，请将答案写在答题卡的相应题号区域内． 3．考试结束时，将答题卡上交． 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助补集定义可得，解出可得，再结合并集定义即可得解. 【详解】由，，可得， 由，可得，则， 故. 故选：D. 2. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出二元一次方程组的解即可作答. 【详解】解方程组得，， 所以. 故选：A 3. 若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用题给条件判断出与的逻辑关系，进而得到正确选项. 【详解】若是的必要不充分条件，则，， 是的充分不必要条件，则， 则有，，则是的充分不必要条件， 故选：A． 4. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 5. 《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出和，由可得出合适的选项. 【详解】由图形可知，，， 由勾股定理可得， 在中，由可得. 故选：D. 【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题. 6. 下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式恒成立的条件及其必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， ∵不等式在上恒成立， ∴，解得， 又∵， ∴是的必要不充分条件， 选项,,则是的充要条件， 选项,,则是的充分不必要条件， 选项,,则是的充分不必要条件. 故选：A. 7. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 8. 已知实数，，，则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式，即可求得其最小值. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，注意对目标式的配凑，属基础题. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知函数（），则该函数的（ ）． A. 最小值为3 B. 最大值为3 C. 没有最小值 D. 最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】先由基本不等式得到，再转化得到（），最后判断选项即可. 【详解】解：因为，所以，， 由基本不等式：， 当且仅当即时，取等号. 所以，即，所以（）， 当且仅当即时，取等号. 故该函数的最大值为：，无最小值. 故选：CD 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题. 10. 若x<-1<y<0，则下列不等式正确的是（ ） A. x<-y B. |y|<-x C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对于选项A：由x<-1<y<0，得，即可判断；对于选项B：由x<-1<y<0，得，即可判断；对于选项C：由x<-1<y<0，得，即可判断；对于选项D：利用作差法判断即可. 【详解】对于选项A：由x<-1<y<0，得，则x<-y，故A正确； 对于选项B：由x<-1<y<0，得，则|y|<-x，故B正确； 对于选项C：由x<-1<y<0，得，则，故C不正确； 对于选项D：，由x<-1<y<0，得，则， 故D正确； 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小以及作差法比较大小，属于较易题. 11. 对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　） A. 已知，，则 B. 已知或，，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给定义一一判断即可. 【详解】对于A：因为，，所以，故A错误； 对于B：因为或，，所以或，故B正确； 对于C：若，则中的元素都是中的元素，所以，故C正确； 对于D：即为由的补集与集合的交集，即，故D正确； 故选：BCD 12. 已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知得，且，即，再根据基本不等式可判断得选项. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，所以，且，即， 又，所以 ，当且仅当时，即时，取等号，所以的最小值是，故C正确； 因为，所以，故D不正确， 故选：ABC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知命题：“”，请写出命题的否定：_____________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论，即可得出答案. 【详解】命题为全称命题，其否定为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查命题的否定，注意命题的否定是否定命题的结论，同时把全称量词与存在量词互换． 14. 若，则= ____________ 【答案】 【解析】 【分析】由集合相等列方程组求参数，结合集合元素的互异性确定参数值，即可求目标式的值. 【详解】由题设，根据集合元素的互异性， 所以=. 故答案为： 15. 设，集合， ，若，则__________． 【答案】1或2 【解析】 【详解】， 解方程可得 因为，所以， 当m=1时，满足题意； 当，即m=2时，满足题意，故m=1或2. 16. 某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距离车站处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站______处，最少费用为______万元. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 根据题意设出和的函数表达式，利用“在距离车站处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元”列方程，由此求得和的解析式.利用基本不等式求得费用的最小值和建站位置. 【详解】设仓库与车站距离为，依题意.由于“在距离车站处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元”，所以，解得.所以，所以总费用，当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：（1）；（2）. 【点睛】本小题主要考查函数模型在实际生活中的运用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合或，． （1）求，； （2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得； （2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得． 【小问1详解】 ， 则， ，或， ∴或； 【小问2详解】 ∵集合是集合的真子集， ∴或，解得或． 18. （1）已知，，求和的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质求解 （2）由待定系数法配凑后求解 【详解】（1）， 又， ， 又， （2）设，得 即 而， 19. 已知集合，，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）解方程可求得集合，根据并集结果可知或，由此可求得结果； （2）由交集结果可知，由此可确定所有可能的结果，分别讨论不同结果对应的的取值范围，由此可得结果. 【详解】 （1），，又，所有可能的结果为，； 当时，，解得：；当时，，解得：； 或； （2），，所有可能的结果为，，，； 当时，，解得：； 当时，，解得：，此时，满足题意； 当时，，解得：， 此时，不合题意； 当时，无解，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 20. 已知函数. （1）若的解集为，解不等式； （2）若，解不等式. 【答案】（1） （2）时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）首先由题中所给的已知条件求出a、b的值，代入到不等式中，再求解不等式即可； （2）将代入f(x)表达式中，再对a进行分类讨论，求解不等式即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 解得， 得：，解得， 所以不等式解集为. 【小问2详解】 ， 当时，，解得， 当时 ， 当时， ① 当，即时， ②当即时，无解； ③当时，即时，， 当时，， 所以的解为或. 综上，时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式解集为，时，不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式、二次函数的关系，含参二次不等式的解法，分类讨论思想，属于中档题. 21. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）． （1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）； （2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值． 【答案】（1），， （2）当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元 【解析】 【分析】(1)根据题意得，代入化简即可； (2)根据题意，代入，再结合均值不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得 ， 即，，. 【小问2详解】 由，得， 因，当且仅当时取等号，所以. 故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元. 22. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值． （2）若，解关于的方程． （3）若正数，满足，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中化简计算即可得解； （2）将代入方程后化简计算即可得解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可得的最小值． 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 由， 故原方程可化为：， 即：， ，即，解得：； 【小问3详解】 由，则有 ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙洲中学2023—2024学年第一学期9月学情调研 高一数学试卷 注意事项： 1．本场测试时间：120分钟，试卷满分150分． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号、班级用规定的笔填涂在答题卡上的相应位置．作答选择题时，请将答案填涂在答题卡的相应位置．作答非选择题时，请将答案写在答题卡的相应题号区域内． 3．考试结束时，将答题卡上交． 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，，，则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知函数（），则该函数的（ ）． A. 最小值为3 B. 最大值为3 C. 没有最小值 D. 最大值为 10. 若x<-1<y<0，则下列不等式正确的是（ ） A. x<-y B. |y|<-x C. D. 11. 对于集合，，我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，，则有，，下列解答正确的是（　　） A. 已知，，则 B. 已知或，，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则. 12. 已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值是 D. 的最小值是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知命题：“”，请写出命题的否定：_____________ 14. 若，则= ____________ 15. 设，集合， ，若，则__________． 16. 某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比，如果在距离车站处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站______处，最少费用为______万元. 四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合或，． （1）求，； （2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 18. （1）已知，，求和的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 19. 已知集合，，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 20. 已知函数. （1）若的解集为，解不等式； （2）若，解不等式. 21. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）． （1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）； （2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值． 22. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值． （2）若，解关于的方程． （3）若正数，满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $