精品解析：辽宁省实验中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

辽宁省实验中学2026-2027上学期月考高三年级数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一．单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 设样本数据，，…，的平均数、中位数、众数和标准差分别为a，b，c，d，当取最小值时，（ ） A. a B. b C. c D. d 3. 将函数的图象向右平移单位，所得图象对应的函数的最小值等于（ ） A. B. C. D. 4. 记为数列的前项和，已知.当最大时，（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11 5. 已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则（ ） A. 45 B. 1012 C. 2036 D. 9217 6. 已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知函数的定义域为，且，当时，，则有（ ） A. B. 是偶函数； C. 当时，； D. 是的极值点； 10. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 11. 已知函数．若存在不相等的实数，使得，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若的最小值为，则 C. 若，则的取值范围为 D. 若，且的最大值为，则的取值范围为 三．填空题（共三小题，每题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为___________. 13. 已知，曲线与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则___________． 14. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是______． 四．解答题（共5题，共77分） 15. （1）化简求值： （2）已知，解方程 16. 已知数列的前项和为，，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前2026项和． 17. 已知函数． （1）若，求在区间上的最大值； （2）求在区间上的最小值． 18. 已知函数 （1）求证：函数在上单调递增； （2）求证：数列的前n项和小于 19. 错排问题源于伯努利和欧拉研究的“装错信封问题”.设将编号为的个小球放入编号为的个盒子中（每盒恰放一球），若恰有个小球不在其对应编号的盒子中（即“错放”），则称这种情况数为错排数，其中编号为的小球对应编号为的盒子.，规定. （1）直接写出的值； （2）设，证明数列是等比数列； （3）在高考英语中，“七选五”是一种常见题型.题目给出一篇缺少5个句子的短文，要求考生从文后的7个选项中选出5个最佳选项，填入文中空缺处，使文章完整､语义连贯.某考生由于平时不重视英语学习，于是在做此类题时采用“蒙题”的策略：5个空完全随机作答（选项不重复）.记蒙题答对的题数为随机变量，求的分布列和数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2026-2027上学期月考高三年级数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一．单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2. 设样本数据，，…，的平均数、中位数、众数和标准差分别为a，b，c，d，当取最小值时，（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【详解】令， 将其展开整理得： ， 是开口向上的关于的二次函数，其最小值在对称轴处取得， 对称轴为：  根据样本平均数的定义，， 即当时，取得最小值. 3. 将函数的图象向右平移单位，所得图象对应的函数的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得的解析式，根据正弦函数的值域，得出结论． 【详解】解：y＝2sin（x）﹣cos（x）＝2sin（x）﹣sin（x）=sin（x）＝﹣sin（x）， 将函数y＝﹣sin（x） 的图象向右平移单位，所得图象对应的函数的解析式为 y＝﹣sin（x）＝﹣sin（x），故所得函数的最小值为﹣1. 故选：C 4. 记为数列的前项和，已知.当最大时，（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再根据等差数列前项和公式以及二次函数性质可得结果. 【详解】由可得数列为等差数列， 又可得，因此； 所以公差满足，因此； 即， 又因为，所以当或时，取得最大为45. 故选：C 5. 已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则（ ） A. 45 B. 1012 C. 2036 D. 9217 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先确定可能取的值为，再得到对应的个数，根据错位相减法，即可求出结果. 【详解】因为集合，集合，为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集，由题意可得：可能取的值为， 则共有个；个；个；个；……，个； 因此， 所以， 两式作差得 ， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查含个元素的集合的子集的应用，以及数列的求和，熟记错位相减法求和，会求集合的子集个数即可，属于常考题型. 6. 已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得：因为、均为正实数，对原等式两边同时除以得 两边同时乘以得， 即，当且仅当时等号成立. 令，上述不等式等价于： ，解得，负值舍去，即的最小值为. 7. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解. 【详解】由，得，所以在R上单调递增, 由，得，且，所以在上单调递增 因此，对任意，和都是唯一的， 由题意：， ，即，则， 故， 故，根据的是唯一的， 得，即， 故， 令， ，则， 由得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值：， 因此，即：. 故选：C 8. 已知且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意等式两边平方化简为平方得，令，结合二倍角余弦公式得，取，，利用二倍角正弦公式和诱导公式计算的结果； 【详解】平方得，令， 则， 不妨取，则， 故选：C. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知函数的定义域为，且，当时，，则有（ ） A. B. 是偶函数； C. 当时，； D. 是的极值点； 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法求得判断A，再利用赋值法求得，再确定奇偶性以判断B和C，根据极值的定义判断D. 【详解】对于A，在中令得，所以，A正确； 对于B，令得，所以， 在中令得，所以是奇函数，不是偶函数，B错； 对于C，当时，令，则，， ，， 又是奇函数，所以时，，，，C正确； 对于D，由上述分析知时，，时，， 所以不是极值点，D错． 10. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，结合排列组合知识依次计算总的样本点数，事件，，，包含的样本点数，依次判断选项即可. 【详解】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题， 则总的样本点总数为：， 对于A选项，甲可能同时体验两个主题，所以事件与不对立，故A错误； 对于B，事件“甲体验指尖非遗”，分两种情况： 当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2名游客有名游客选择两个主题，另外1人选择1个主题，所以样本点数为：， 当甲选两个主题，其中一个是“指尖非遗”时，则甲从剩下3个选一个主题，则剩余的2主题分配给乙，丙，所以样本点数为：， 所以事件包含的样本点数为， 故，故B正确； 同理，， 对于C，事件表示甲选“指尖非遗”且乙选“舌尖非遗”，分三种情况讨论： 当甲选2个主题，其中一个是“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，此时的样本点数为：， 当甲只选“指尖非遗”，乙选2个主题，其中一个是“舌尖非遗”，此时的样本点数为：， 当甲只选“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，则丙选剩下的两个主题，此时样本点数为：1， 所以事件包含的样本点数为：，所以， 由于， 所以与不独立，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD 11. 已知函数．若存在不相等的实数，使得，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若的最小值为，则 C. 若，则的取值范围为 D. 若，且的最大值为，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据函数值域可求；B根据周期计算；C求出，结合正弦函数的性质可求；D求出的最大值，结合正弦函数的性质可求. 【详解】因为，所以， 因为存在不相等的实数，使得， 所以存在不相等的实数，使得，故A正确； 若的最小值为，则，得，故B错误； 若，则， 因为，所以，得，故C正确； 因为的最大值为，所以的最大值为， 则，得，故D正确. 故选：ACD 三．填空题（共三小题，每题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义,先求得在点处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程. 【详解】曲线 则 所以在点处的切线的斜率为 由点斜式可得 故答案为: 【点睛】本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题. 13. 已知，曲线与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，并得到三个交点的坐标，结合直角三角形条件列出方程求解即可. 【详解】设三个交点分别为. 因为， 整理得， 即 ， 令，解得， 令，得到，， ， 代入中得到，， ，， 因此三个交点为. 由勾股定理可得，代入得， 化简，解得. 故答案为： 14. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合分段函数的性质，对的取值进行分类讨论，即可求解. 【详解】因为在区间内恰有6个零点， 当时，区间上，最多有2个零点，不符合题意； 当时，易知函数最多有2个零点， 所以当时，至少有4个零点. 由，得，所以， 又，所以，解得， 所以当时，函数的零点可以是，，，，，，，， 令①，得， （1）当，即时，方程①无解，即在时无零点， 所以，在时有6个零点，则，此不等式组无解，舍去； （2）当时，方程①有唯一解，即在时有1个零点3， 所以，在时有5个零点，由，所以， 所以，在时只有3个零点，显然矛盾，舍去； （3）当时，方程①的解为或，且， 若，则时，此时在时有2个零点， 所以，在时，函数有4个零点，所以，解得； 若，则，此时在时有1个零点， 所以，在时，函数有5个零点，所以，解得； 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 四．解答题（共5题，共77分） 15. （1）化简求值： （2）已知，解方程 【答案】（1）；（2）或或. 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式、余弦二倍角公式化简求解即可； （2）通过余弦二倍角公式降幂，再换元，因式分解求解即可. 【详解】（1）， 原式 （2）原方程降幂得， 即. 令，由得，， 且， ， ， 代入得， 化简得，即， 故或或. 于是或或， 解得或或. 16. 已知数列的前项和为，，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前2026项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用与的关系，由写出的表达式，两式相减得到与的递推关系式，推出数列是等差数列，再求通项公式. (2)利用两角差的正切公式变形，对进行裂项，使用裂项相消法求前项和. 【小问1详解】 已知，当时，. 两式相减得：， 整理得：，即. 所以数列为常数列. 因为，，所以， 即. 【小问2详解】 由，得，又因为. 所以， 整理得. . 17. 已知函数． （1）若，求在区间上的最大值； （2）求在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数在上的单调性，进而可得函数在上的最大值. （2）求导，根据的不同取值范围，讨论函数在上的单调性，可求函数在上的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 由或. 所以当，所以， 所以在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 的定义域为， ， 由. ①当，即时，或. 所以在上单调递增， ； ②当，即时，由或. 由. 所以在上单调递减，在上单调递增， ； ③当，即时，由. 所以在上单调递减，. 综上， 18. 已知函数 （1）求证：函数在上单调递增； （2）求证：数列的前n项和小于 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先化简整理得到，求导，得到导函数在上大于0恒成立，从而得到在上单调递增；（2）只需证明，结合第一问可知，变形为，故 ，变形后证明出结论. 【小问1详解】 ， ， 因为，所以，则， 而时，，， 故函数在上单调递增. 【小问2详解】 要证， 即证：当时，且时，， 由（1）可知：，即， 故， 令，故，故， 故， 因为，，故，所以， ， 故 因为 ， 故， 所以当时，且时，. 【点睛】导函数证明有关正整数的不等式，要选择合适的函数，研究其单调性和最值，代入合适的自变量，进行证明. 19. 错排问题源于伯努利和欧拉研究的“装错信封问题”.设将编号为的个小球放入编号为的个盒子中（每盒恰放一球），若恰有个小球不在其对应编号的盒子中（即“错放”），则称这种情况数为错排数，其中编号为的小球对应编号为的盒子.，规定. （1）直接写出的值； （2）设，证明数列是等比数列； （3）在高考英语中，“七选五”是一种常见题型.题目给出一篇缺少5个句子的短文，要求考生从文后的7个选项中选出5个最佳选项，填入文中空缺处，使文章完整､语义连贯.某考生由于平时不重视英语学习，于是在做此类题时采用“蒙题”的策略：5个空完全随机作答（选项不重复）.记蒙题答对的题数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）当时，对于，不妨从1号球开始放置， 设1号球放在号盒子中，有种放法，接下来讨论 号球： ①当 号球放在1号盒子中时，剩下， 共个球分别不在号盒子中，共有种放法. ②当 号球不放在1号盒子中时， 因为号球分别不在号盒子中， 所以共个小球分别不在号盒子中， 共有种放法. ， 即， ， ， 又满足上式，数列首项为1，公比为 的等比数列. （3） 0 1 2 3 4 5 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合分类加法和分步乘法计数原理及组合知识即可求解； （2）根据题意，分析可得，进而得到，即可求证； （3）由题意得，分别求出对应的概率，进而求解分布列和数学期望. 【小问1详解】 可以排在上，有种排法， 当的位置确定后，剩下两个元素只有1种排法， 所以． 可以排在上，有种排法， 不妨设排在上，接下来讨论， 当排在上时，剩下两个元素的排法有（种）； 当不排在上时，可以排在上，有种情况； 若排在上，剩下两个元素只有1种排法； 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知. ，， ， ， ， 法一：不妨设第1到5位置正确答案为， 表示不在对应位置不在对应位置不在对应位置不在对应位置不在对应位置5，分三类： 1）若填入答案不含，则此时有，则共有44种； 2）若填入答案只含中的一个，即从中选4个，共有种选法， 不妨设选的是，先考虑的放置情况.如果填在位置5，此时有； 如果不填在位置5，此时有，则共有种； 3）若填入答案同时含有，即从中选3个，共有种选法， 不妨设选的是，考虑的在位置4和不在位置4.如果填在位置4， 再考虑是否在位置5，若是在位置5，此时有； 若是不在位置5，此时有. 如果不填在位置4，再考虑是否在位置5，若是在位置5，此时有； 若是不在位置5，此时有. 则共有种， 时，即“七选五”全部选错的排列数为种， ， 法二：， 故 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $