精品解析：辽宁大连市旅顺中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

旅顺中学2026-2027高三上学期10月考 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（ ） A. B. C. D. 6. 现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 420种 B. 780种 C. 540种 D. 480种 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 各项的系数和是 C. 第项二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C. 存在正实数和，使得时，有 D. 当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为角终边上一点，则____________． 13. 已知函数，则__________. 14. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．若这两个函数图象的相邻三个交点恰好形成正三角形，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）写出函数的解析式及单调递减区间及对称中心； （2）求函数在区间上的值域． 16. 小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数. （1）求的分布列及数学期望； （2）若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围. 17. 已知数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点，…，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积； （3）若，是的前项和，求证． 18. 根据欧拉公式，我们知道，（其中是虚数单位，），例如：，则，． （1）求；（结果用只含有的式子来表示） （2）求函数在区间的最大值； （3）给定和，证明：存在使得． 19. 已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：存在唯一的极大值点且； （3）设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 旅顺中学2026-2027高三上学期10月考 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，，所以. 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为，的否定为，， 所以为，. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为：  ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得：   因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 5. 将一枚均匀的骰子抛掷两次，事件：两次点数均为偶数；：第二次点数不小于3；则概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率的加法公式，分别计算各概率后代入即可求解. 【详解】抛一枚均匀的骰子两次，样本空间共有个等可能的基本事件. 事件为两次点数均为偶数，第一次取偶数有3种结果，第二次取偶数也有3种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件为第二次点数不小于3，则第二次可取3，4，5，6共4种结果，第一次任意取有6种结果， 故包含的基本事件数为，所以； 事件表示两次点数均为偶数且第二次点数不小于3， 则第一次取偶数有3种结果，第二次取不小于3的偶数有2种结果， 故包含的基本事件数为， 所以， 所以. 6. 现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 420种 B. 780种 C. 540种 D. 480种 【答案】B 【解析】 【分析】讨论使用5种，4种，或3种颜色来完成涂色任务，逐一计算并求和即可. 【详解】依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图. ①若用5种颜色完成涂色，则种方法； ②若用4种颜色完成涂色，颜色有种选法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有种； ③若用3种颜色完成涂色，颜色有种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且 2，4同色，故有种. 所以不同的着色方法共有种. 故选：B. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正余弦的和差角公式化简可得与的值，再由正切函数的和差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，即， 由， 可得，即， 所以. 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，当，结合条件可知不合题意，当，根据条件得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求得最小值，即可求解. 【详解】由题意函数的定义域为，当时，， 则由，得恒成立，因为的值域为，故不可能恒成立，故不成立； 当时，由，得，由得， 由，得，由得，因为恒成立，故，即， 故，设，则，由，得到， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故，所以的最小值为， 故选：D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 各项的系数和是 C. 第项二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 【答案】AC 【解析】 【分析】由二项式的通项公式可判断AC；直接用赋值法可判断B；由二项式系数的性质可判断D. 【详解】二项式的展开式通项， 对于A，令可得，故的系数是，故A正确； 对于B，令，则各项的系数和是，故B错误； 对于C，二项式展开式共项，故第项二项式系数最大，故C正确； 对于D，奇数项二项式系数和为，故D错误. 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和对立事件概率关系进行计算判断． 【详解】因为，，则，， ， 由，故B错误； 解得； 则，故A正确； 根据条件概率公式可得， ，故，故C正确； ，因为， 故，则，故D正确． 11. 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C. 存在正实数和，使得时，有 D. 当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】由条件可得，当为正偶数，且时，，当为正奇数，且时，，由此判断A，举反例排除B，研究函数的单调性及极值，结合得反例说明C错误，分情况讨论求的范围，判断D. 【详解】因为当时，，， 所以， 当时，，， 所以当为正偶数，且时，， 当为正奇数，且时，， 对于A，对于任意，若，则，， 若，设， 若为偶数，则，，此时， 若为奇数，则，，此时， 综上，对于任意，，A正确； 对于B，若，则， 因为的零点为正整数，故函数在区间内恰有一个零点，B错误； 对于C，若时，， ， 令，则， 当为正偶数时，若，则，函数单调递增， 若，则，函数单调递减， 函数在时，取极大值，极大值为， 当为正奇数时，若，则，函数单调递减， 若，则，函数单调递增， 函数在时，取极小值，极小值为， 若，， 当为奇数，若，则，此时， 当为偶数时，由前述讨论可得当时， 的取值范围为， 对于任意给定的正数，存在一个正偶数，使得，且， 此时由不等式可得， 当时，， 而 , 故，故， 故此时不恒成立，C错误； 对于D，由选项C可得函数的极值点为，， 所以函数的极值点按从小到大排列依次为， 当时，，， 因为在区间内恰有两个极值点， 若，则，满足条件的不存在， 若，则，满足条件的不存在， 若，则，则， 若，则，则， 若，则，满足条件的不存在， 又，故大于等于的极值点都不在区间内， 故t的取值范围是. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为角终边上一点，则____________． 【答案】1 【解析】 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数，则， 所以. 14. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．若这两个函数图象的相邻三个交点恰好形成正三角形，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意得，进而结合正弦函数性质得交点横坐标为，，代入解析式求得交点纵坐标为，再根据坐标关系可知正三角形的边长为2，且满足，进而得，再结合解方程即可. 【详解】由题意得，即 两图象交点满足 由正弦函数性质，或， 当时，，与矛盾； 所以，，解得， 代入得交点纵坐标为 所以，相邻三个交点的横坐标为，纵坐标的绝对值相等，为 所以，相邻两点的水平距离为， 所以，该正三角形的边长为，且满足，即， 所以， 因为，， 所以，当时，，解得； 当时，，解得， 综上，或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）写出函数的解析式及单调递减区间及对称中心； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1），递减区间为．对称中心 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象可以确定函数的最小正周期，利用余弦型函数的最小正周期公式、特殊角的余弦值、余弦型函数的对称性和单调性进行求解即可； （2）利用换元法，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 根据函数的部分图象， 可得，解得，∴， 令，，所以，， 因为，所以解得，所以， 令， 解得的递减区间为． ， 所以该函数的对称中心为. 【小问2详解】 由以上可得，， ∵，∴， ∵在单调递增，在单调递减， ∴，所以值域为. 16. 小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数. （1）求的分布列及数学期望； （2）若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围. 【答案】（1）分布列为： 2 3 4 5 数学期望 （2） 【解析】 【分析】（1）对离散型随机变量，先理清每个取值对应的实际投篮事件，排除提前终止的矛盾情形，再计算对应概率；代表前四次从未出现连续两中，可用对立事件快速求概率； （2）先算出可以通关的总概率,再利用条件概率，；分式不等式注意分母范围，正数分母取倒数要反转不等号，再因式分解求解参数范围. 【小问1详解】 的所有可能取值为：2，3，4，5. 有. . . . 可得的分布列为： 2 3 4 5 可得. 【小问2详解】 设事件：小王同学通过测试，事件：小王同学恰好投篮次. 因为投篮5次通过的概率为. 则. . 则在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮次的概率为. 又由，可化为，可化为，又由，解得. 故的取值范围为. 17. 已知数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点，…，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积； （3）若，是的前项和，求证． 【答案】（1）由 ， 两边同除以 ，， 又∵首项：， 是以首项为 ，公差 的等差数列. （2）; （3），代入 ， ， 当 ，： 当 时等号成立，， 当 ：，即：， ，得证. 【解析】 【分析】（1）先对递推式两边同除以，变形得到，得到相邻两项的差为常数；再计算新数列首项，依据等差数列定义完成证明即可； （2）利用第(1)问证得的等差数列结论求出通项，算出横坐标，确定折线上各点坐标；将围成区域拆分为个直角梯形，写出单个梯形面积并累加，得到等差乘等比型求和式，采用错位相减法，结合等比数列求和公式化简，求得总面积； （3）先将第(2)问求出的代入表达式化简，化简后的通项不能直接求和；然后对通项进行放缩，放大为可求和的等比数列通项，再用等比数列前项和公式运算，最后证明不等式即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由 (1) 得：，， 由，得，即， 折线与坐标轴围成图形由 个直角梯形组成， 则第 个梯形：左右横坐标 ；上下底：， ∴， ∴ ① ② 得：， ， . 【小问3详解】 略. 18. 根据欧拉公式，我们知道，（其中是虚数单位，），例如：，则，． （1）求；（结果用只含有的式子来表示） （2）求函数在区间的最大值； （3）给定和，证明：存在使得． 【答案】（1） ； （2） ； （3）见详解. 【解析】 【分析】（1）先将5次方拆成平方再平方再乘一次，逐步把转化为；再利用复数乘法实部对应两角和的余弦公式，先用二倍角公式把、全部化成的表达式，代入展开，再借助同角关系消去正弦项，整理化简后得到仅含的五次多项式； （2）先将第(1)问得到的的表达式代入函数，化简消去同类项；观察式子结构，选择换元，令，根据的范围确定的取值区间，转化为闭区间上一元函数最值问题；对新函数求导，找到临界点，划分单调区间，判断函数先增后减；计算临界点处函数值，再对比区间端点函数值，最大的数值即为原函数的最大值； （3）选用反证法证明：先利用余弦函数图像性质，将转化为解集，该组开区间两两不交，区间长度均为，然后假设区间内所有点都满足，则该闭区间必须全部包含于某一个开区间，再列出不等式化简后推出，产生矛盾，最后从而否定假设，证得原命题. 【小问1详解】 其中， ，代入得： . 【小问2详解】 将 (1) 结论代入函数得： 令，当时，单调递减，， 则，， ∴ ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ， 验证端点：，均小于， 故在区间上的最大值为 . 【小问3详解】 假设结论不成立，即对任意，均有， 则对任意，都存在整数，使得， ， 区间 两两不相交， ∴ 整体包含在某一个开区间 内， 即，化简得，， 得到 ，矛盾， ∴假设不成立，原命题得证. 19. 已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：存在唯一的极大值点且； （3）设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）由上知，则， 设，则，令，即， 即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， ，且，且在单调递减， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， ，，且在单调递增， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， 综上，当时，，单调递增， 当时，， 单调递减， 所以是唯一的极大值点，且， 所以有，即， 将其代入到中得， 因为，所以，且， 两式相乘得， 两边同时加上得，即证. （3）不妨设，由上知的极大值点， 因为在单调递增，在单调递减，所以. 要证，即证，即， 因为，所以， 又因为，且在上单调递增，故可证， 由于，问题等价于证明， 设，其中， 则， ，则， 其中，则， 因此， 因为，则， 当且仅当时等号成立， 由于，故等号不成立，所以，所以恒成立， 则在上单调递减， 因为，所以当时，， 代入，可得， 即， 即，整理得， 代入，即证. 【解析】 【分析】（1） 利用切点在曲线上与切点处导数值等于切线斜率这两个条件建立方程组，并结合参数为整数的条件解出未知数. （2） 通过二次求导分析一阶导数的单调性与零点，从而确认唯一极大值点的位置，接着利用极值点处导数为零的条件进行不等式的放缩与证明. （3）构造辅助函数，利用求导证明其单调性，从而将函数值的大小关系转化为两根之和的不等关系. 【小问1详解】 ，由题意得， 且，代入得， 因为，所以，显然时等式成立， 设，当时， 即在上单调递增，故是唯一正整数解，解得， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $