精品解析：贵州兴仁市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2029届高一年级秋季学期第一次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列命题中，含有存在量词的是（ ） A. 存在一个平行四边形是矩形 B. 所有正方形都是平行四边形 C. 一切三角形的内角和都等于 D. 任意两个等边三角形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词的定义即可得解. 【详解】A选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词； BCD选项，含有全称量词，不含存在量词. 故选：A. 2. 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦恩图的定义直接表示. 【详解】由图可知阴影部分属于A，不属于B， 故阴影部分为， 故选：A. 3. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出集合、，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】，， 所以， 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A项，取，满足，但是，故A错误； 对于B项，由不等式两边同乘正数，不等号方向不变，若，则，故B错误； 对于C项，由立方差公式， 因为，所以，，所以，故C正确； 对于D项，取，满足，但是，故D错误； 5. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6. 已知集合中的元素均为整数，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以或， 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时不是整数，故不合题意. 综上，的值为2. 7. 下列不等式中，错误的是（ ） A. 若，， B. 若， C. 若， D. 若， 【答案】D 【解析】 【分析】先利用完全平方公式判断A；对B、C构造正数形式，运用基本不等式求解并验证等号可取；对D换元后分析变量取值范围，检验基本不等式等号能否成立，即可. 【详解】选项A：，对 恒成立， ，A 正确； 选项B：，∴， 当且仅当即时取等号，B 正确； 选项C：，∴， ∴， 当且仅当 ，即 时取等号，C 正确； 选项D：令 ，则 ， ∴，等号成立条件：， 而 ，等号无法取到，D错误. 8. 定义可分比集合：若对于集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．例如：集合是可分比集合．若集合，均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用反证法证明不成立，同理可证均不成立，所以，最后再验证可行可得. 【详解】对任意， 若，都有，即， 即，即较大的数不能大于或等于较小的数的倍且小于或等于较小的数的倍. 若，此时，显然，自动满足条件. 因此只需考虑即可. 下证不成立： 假设存在两个可分比集合和，满足. 对于，必定或，不妨设； 因为，即，所以和不能同组，所以； 因为，即，所以和不能同组，所以； 因为，所以和不能同组，且，所以； 因为，所以和不能同组，且，所以； 如果，因为，且，则集合不符合可分比集合的定义； 如果，因为，且，则集合不符合可分比集合的定义； 因此数字既不能在集合中，也不能在集合中，即，与矛盾. 如果，对称推导，同样可得数字既不能在集合中，也不能在集合中， 即，与矛盾. 因此假设不成立，即时无法分成两个可分比集合. 因为不成立，那么更不成立，因为， 同理数字既不能在集合中，也不能在集合中，因此不成立. 因此. 下面验证可行. 将集合作如下分组：，. 验证集合： ①含元素的配对：，均大于，不在内； ②在子集内部，集合中较大数除以较小数的最大值为，比值都小于，不在内； 因此集合中任意两个数的比值不属于，所以集合是可分比集合. 再验证集合：因为，，所以集合是可分比集合. 因此满足题意. 综上所述，正整数的最大值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 以内质数集合： B. 集合与集合是相同的集合 C. 由，，，，这些数组成的集合有个元素 D. 与表示不同的两个集合 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据质数的概念知，以内质数集合为，故A正确； 集合中的元素为实数， 集合中的元素为抛物线上的点，是数对，故B错误； 根据集合中元素的互异性，和是相同的元素，故集合中有4个元素，故C正确； 中无元素，表示集合中有一个元素，所以与表示不同的两个集合，故D正确. 10. 设，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，所以集合表示所有除以3余1的整数； 因为，所以集合表示所有除以3余2的整数； 对于A选项，，，设，， 则，是除以3余2的整数， 所以，故A错误； 对于B选项，，，设，， 则，又因为，， 所以，是除以3余1的整数，则，故B正确； 对于C、D选项，，，设，， 则， 又因为，，所以， 是除以3余1的整数，，故C正确，D错误. 11. 已知集合，若满足，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】因为满足，所以2一定是集合A中的元素， 当时，或， 若，此时集合元素重复，舍去； 若，此时集合满足，符合条件； 当时，或， 若，此时集合满足，符合条件； 若，此时集合元素重复，舍去； 综上：或. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题“”的否定是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全称命题的否定解答. 【详解】因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题， 所以命题“”的否定是“”. 故答案为： 13. 已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出的范围，根据基本不等式即可求出的最小值. 【详解】，， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 14. 设，，，，若，则的值为__________． 【答案】0 【解析】 【详解】，，，， ，则，解得，则. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设，，． （1）求，； （2）求，． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】根据交、并集的概念解析运算即可. 【小问1详解】 ，，， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， ， 又因， 所以． 16. （1）求证：（）； （2）求证：当，． 【答案】（1）因为， 所以． （2）因为，所以． 又因时，由基本不等式可知：， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以． 【解析】 【分析】 (1) 采用作差比较法，展开两个多项式后相减，消去含项，得到正数，直接证明大小关系； (2) 对正变量用基本不等式求出的最小值，再利用 “同乘负数，不等号反向”，得到原式的最大值不等式. 【详解】略 17. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集运算直接求解即可； （2）根据题意得到集合的关系，分类讨论和即可求解. 【小问1详解】 当时，集合， 且或，所以或. 【小问2详解】 因为，则，可得， 当时，，此时，则； 当时，，又因为或，则，解得； 所以的取值范围是． 18. 设全集，集合，集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）若，分和两种情况讨论，进而求得时实数的取值范围； （2）由题意可得，分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 若， 当时，有，即； 当时，有或， 解得或， 综上所述，若，则实数的取值范围为， 所以当时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件， 所以， 当时，显然成立，即； 当时，有或，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 19. 已知，． （1）若，求的最小值； （2）定义 令，． ①求的表达式（用字母，表示）； ②求的最小值． 【答案】（1）49 （2）①②3 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式“1”的妙用求解即可. （2）①根据题意求解即可； ②设，根据的定义得到，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，，且， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为49． 【小问2详解】 ①据题意可知； ②设，由的定义，得且（，）． 因为，，所以， 即：， 由基本不等式，（当且仅当时取等）， （当且仅当时取等）， 因此，故，即， 当，时，，，等号成立，此时的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2029届高一年级秋季学期第一次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列命题中，含有存在量词的是（ ） A. 存在一个平行四边形是矩形 B. 所有正方形都是平行四边形 C. 一切三角形的内角和都等于 D. 任意两个等边三角形都相似 2. 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知集合中的元素均为整数，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列不等式中，错误的是（ ） A. 若，， B. 若， C. 若， D. 若， 8. 定义可分比集合：若对于集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．例如：集合是可分比集合．若集合，均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 以内质数集合： B. 集合与集合是相同的集合 C. 由，，，，这些数组成的集合有个元素 D. 与表示不同的两个集合 10. 设，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知集合，若满足，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 命题“”的否定是_________． 13. 已知，则的最小值为______. 14. 设，，，，若，则的值为__________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设，，． （1）求，； （2）求，． 16. （1）求证：（）； （2）求证：当，． 17. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 设全集，集合，集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围 19. 已知，． （1）若，求的最小值； （2）定义 令，． ①求的表达式（用字母，表示）； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $