精品解析：贵州遵义市第五中学等校2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”是存在量词命题，故其否定为“，”. 2. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】时，一定有，充分性成立； 时，解得或，不能得到，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得， 所以. 4. 已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，， 所以ACD错误，B正确. 5. 已知命题：若，则，：所有的素数都不能被2整除，下列结论正确的是（ ） A. ，都是真命题 B. ，都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的真假判断即可. 【详解】命题：因为， 所以要使，只能， 故命题正确. 命题：因为是素数且能被整除，故命题错误. 所以C项正确. 6. 已知全集和集合，，用集合语言表示图中的阴影部分，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由韦恩图知，阴影部分是全集中除外的区域， 所以阴影部分的集合表示 为. 7. 已知方程的两根为，，则（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】方程中，，由它的两根为， 得，所以. 8. 已知集合，，若命题“，”为假命题，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“，” 为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题，所以其否定“，”为真命题。 对任意，，故集合恒为非空集合，且的左端点满足， 即（当且仅当时取等号）. 分两种情况讨论集合：①当时，，空集与任意集合的交集均为空集，满足题意； ②当时，，此时，要使对任意，，需满足， 即.故的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A：当时，，但，所以A错误； 对于选项B：任何有理数的绝对值仍为有理数，所以B正确； 对于选项C：实数的立方仍是实数，所以C正确； 对于选项D：对于任意，，所以恒成立，所以D正确. 10. 下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（ ） A. 所有的菱形都是平行四边形 B. ， C. ， D. 至少有一个实数，使得 【答案】BC 【解析】 【详解】对于选项A，是全称命题，则否定为存在量词命题，所以选项A错误； 对于选项B，命题的否定为：，，是全称量词命题，可知命题为真命题，所以选项B正确； 对于选项C，命题的否定为：，，是全称量词命题，可知命题为真命题，所以选项C正确； 对于选项D，命题的否定为：，，是全称量词命题，当时，所以命题为假命题，所以选项D错误. 11. 设是非空实数集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集，下列结论正确的是（ ） A. 整数集是封闭集 B. 集合是封闭集 C. 若是封闭集，则中一定含有元素0 D. 若集合，都是封闭集，则是封闭集 【答案】AC 【解析】 【详解】任意两个整数作加法、减法、乘法运算结果仍然为整数，故整数集是封闭集， 故A正确； 集合是由所有奇数构成的集合， 由于任意两个奇数的和为偶数，所以集合不是封闭集，故B错误； 若是封闭集，则取集合中任意一个元素使其与自身作减法即得， 故中一定含有元素0，故C正确； 取，， 由于集合，都是封闭集，但是对加法、减法、乘法均不封闭，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 13. 已知是关于的方程的解，则_____． 【答案】94 【解析】 【详解】因为是关于的方程的解，所以，即， 所以. 14. 现用一根铁丝恰好可围成一个长为，宽为，高为的长方体框架，其中且该长方体的体积为，表面积为，则铁丝的长度为______cm，______cm． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由题意可得，即， 可知，即，代入得， 则铁丝长度为， 可得，因为，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）若集合，求． 【答案】（1） ，. （2） . 【解析】 【小问1详解】 已知，， 交集， . 【小问2详解】 集合， 为自然数集，，依次代入计算： ， ， ， ， ， 所以，因为， 找同时满足且属于的元素， . 16. 用符号语言表示下列含有量词的命题，判断这些命题的真假并简单说明理由． （1）任意实数的绝对值都大于； （2）有些实数的倒数等于它本身； （3）任意两个无理数的差仍是无理数． 【答案】（1），，假命题 （2），，真命题 （3），，，假命题 【解析】 【小问1详解】 命题“任意实数的绝对值都大于”用符号语言表示为：，， 当时，，不合题意，所以命题为假命题. 【小问2详解】 命题“有些实数的倒数等于它本身”用符号语言表示为：，， 当时，满足，所以命题为真命题. 【小问3详解】 命题“任意两个无理数的差仍是无理数”用符号语言表示为：，，， 当时，是有理数，所以命题为假命题. 17. （1）求方程组的解集； （2）求方程的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用消元法求解即可； （2）令，换元后解一元二次方程即可得解. 【详解】（1）代入，整理可得， 解得或， 当时，；当时，， 所以方程组的解集为. （2）， 令， 则，解得或， 由可得，，方程无解； 由可得，解得或. 综上，方程的解集为. 18. 已知命题，． （1）写出命题的否定． （2）若，，试问是的什么条件？说明你的理由 （3）当为任意整数时，判断命题的真假，并说明你的理由． 【答案】（1）， （2）必要不充分条件，理由如下： 当时，， 因为， 令， 解得，此时，因此充分性不成立. 当时，，因此必要性成立. 综上所述，是的必要不充分条件； （3）命题为真命题，理由如下： 对于任意整数b，取有理数，显然， 代入根号内计算， ， 此时，这个结果为有理数， 因此总能找到这样的有理数a使命题p成立， 因此命题为真命题. 【解析】 【小问1详解】 命题，的否定为：，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知非空数集，定义集合的“差值集”为． （1）若集合，求，并求出的所有子集的个数． （2）若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． （3）若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 【答案】（1），128 （2）证明：对于集合， 枚举所有的差值：．共7个差值， 将它们从小到大排列，可知最小，最大，0在正中间，，夹在和0之间，夹在0和之间， 因为有且仅有5个元素，所以上述7个差值必有2个差值与另外5个差值中的2个相同，按照上面从小到大的排列规律，所以且，故． （3），． 【解析】 【分析】（1）先列举集合中所有元素两两作差，再利用集合元素的互异性剔除重复差值，得到差值集，最后根据集合元素个数，利用子集个数公式求出结果； （2）先写出三元集合所有两两差值，结合大小关系判断差值原本最多有7个；题目仅有5个元素，说明存在差值重复，通过分析相反数结构，唯一能产生重复的条件是相邻差值相等，由此推出三个元素成等差数列，证得结论； （3）先有序排列集合整数元素，求最大值时，让所有差值尽可能互不重复，统计最多不同差值个数；求最小值时，利用等差数列差值种类最少的规律，统计最少不同差值个数，最终得到差值集元素个数的最值范围. 【小问1详解】 ∵ ∴， ∴该集合共有7个元素，子集个数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设． 当集合中的元素从小到大排列后，从第二项开始，后一项与它的前一项之差为非0的定值时， 根据“差值集”的定义，此时不同的差值最少， 所有差值分别为， 此时中元素的个数最小，即． 当集合中的元素从小到大排列后，任意两个不同元素的差值均不相等时，不同差值的个数最多， 总共有组，其中的差值恒为0（只能算一个元素）， 剩余个非零差值两两成对且互为相反数，它们无重复时元素最多， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 2. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 5. 已知命题：若，则，：所有的素数都不能被2整除，下列结论正确的是（ ） A. ，都是真命题 B. ，都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 6. 已知全集和集合，，用集合语言表示图中的阴影部分，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程的两根为，，则（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 8. 已知集合，，若命题“，”为假命题，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（ ） A. 所有的菱形都是平行四边形 B. ， C. ， D. 至少有一个实数，使得 11. 设是非空实数集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集，下列结论正确的是（ ） A. 整数集是封闭集 B. 集合是封闭集 C. 若是封闭集，则中一定含有元素0 D. 若集合，都是封闭集，则是封闭集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，，则____． 13. 已知是关于的方程的解，则_____． 14. 现用一根铁丝恰好可围成一个长为，宽为，高为的长方体框架，其中且该长方体的体积为，表面积为，则铁丝的长度为______cm，______cm． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）若集合，求． 16. 用符号语言表示下列含有量词的命题，判断这些命题的真假并简单说明理由． （1）任意实数的绝对值都大于； （2）有些实数的倒数等于它本身； （3）任意两个无理数的差仍是无理数． 17. （1）求方程组的解集； （2）求方程的解集． 18. 已知命题，． （1）写出命题的否定． （2）若，，试问是的什么条件？说明你的理由 （3）当为任意整数时，判断命题的真假，并说明你的理由． 19. 已知非空数集，定义集合的“差值集”为． （1）若集合，求，并求出的所有子集的个数． （2）若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． （3）若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $