精品解析：贵州贵阳市清华中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

贵阳市清华中学2028届月考试题 高二数学 2026.10 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号用黑色签字笔填写在答题卡相应位置上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将答题卡收回． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，即可求得. 【详解】因为，所以，所以的虚部为. 2. 已知向量、，，，与夹角等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，所以. 3. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设及图知. 4. 直三棱柱中，，，、分别为、的中点，则异面直线、所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值，得解. 【详解】 如图，以点为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线所成角的余弦值为. 5. 若直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线的斜率，所以， 即，且倾斜角为锐角； 又因为，所以，则， 所以. 6. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由两直线垂直求出的取值，再根据充分必要条件定义进行判断即可. 【详解】因为直线和直线垂直， 所以，即，解得：或. 则由可以推出两直线垂直，故充分性成立； 由两直线垂直，不一定推出，故必要性不成立， 所以是两直线垂直的充分不必要条件. 7. 已知在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，分别求得，从而得到为三棱锥外接球的球心，由此求得三棱锥外接球的体积. 【详解】取的中点，连接， 由，，得， 所以. 由，得， 所以. 所以为三棱锥外接球的球心，为半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 8. 若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”，已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性知是的唯一零点，根据“亲近函数”的定义可知在内存在零点，利用换元法，分离参数后结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数在上为增函数，所以在上为增函数， 又，故是的唯一零点， 要使和互为“亲近函数”， 则存在，使得，即在内存在零点， 所以方程在内有解， 令，则，方程化为，即，故， 当时，利用对勾函数的性质可得， 故的取值范围是． 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的一个方向向量为 D. 过点，且纵截距是横截距的2倍的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得， 当时，， 所以直线必过定点. 所以A正确. 由，得， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角不为， 所以B不正确. 由，得， 所以直线的斜率为， 所以其一个方向向量为，与平行， 所以C正确. 若纵截距与横截距均为零，设直线方程为， 由直线过点，得， 所以直线方程为； 若纵截距与横截距均不为零，设直线方程为， 由直线过点，得， 所以直线方程为. 所以过点，且纵截距是横截距的2倍的直线方程为和. 所以D不正确. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是1 B. 的最小值是 C. 的最小值18 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对AB，利用基本不等式求解判断；对C，利用“1”的代换结合基本不等式求解判断；对D，由题可得，，代入消元，利用二次函数求出最值判断. 【详解】对于A，，， ， 当且仅当，即时取等号，这与已知矛盾， 故等号取不到，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由，，得，， ， 当时，上式取得最小值，最小值为，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面BMN C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为 D. 点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，即四点共面，当与重合时满足要求，但Q不能与重合，故A错误；B选项，作出辅助线，得到，平面，B正确；C选项，作出辅助线，得到平面QKT截正方体截面为平行四边形，当T与点C重合时，面积最大，此时面积为，当Q与点无限接近时，面积接近于0，C正确；D选项，作出辅助线，得到点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧，求出点H的轨迹长度为. 【详解】选项A，连接，，，正方体中易知， P，N分别是，中点，则，所以，即四点共面， 当与重合时满足B，N，P，Q四点共面， 但Q是线段上的动点（不包含端点），故A错误； 选项B，如图，取中点为，连接，，， 因为M，N分别是，中点，则与平行且相等， 故四边形是平行四边形， 所以，又是中点，所以，所以， 平面，平面，所以平面，B正确； 选项C，如图，在平面上作⊥于K， 过K作⊥交BC或者于T， 因为平面⊥平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面QKT， 平面QKT截正方体截面为平行四边形， 当T与点C重合时，面积最大，此时，，面积为， 当Q与点无限接近时，面积接近于0， 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C正确； 选项D，取的中点，连接，则， 则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆， 交，于X，Y， 则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧， 此时满足直线PH与直线AD夹角为， 如图，，故， 所以点H的轨迹长度为，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 第II卷（非选择题 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线间的距离为_______． 【答案】## 【解析】 【详解】直线可化为， 所以直线与直线间的距离. 13. 三个臭皮匠破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】遇到 “至少一人成功” 的独立概率问题，优先算对立事件（所有人都失败），再用 1 减去该概率，简化计算. 【详解】“该填空题被破解” 的对立事件：三个人全都没破解. 因为三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，， 所以三人都没有破解的概率为, “则该填空题被破解的概率为. 14. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】，表示点到点和的距离之和，找出关于轴对称的点，作图数形结合即可求出答案. 【详解】， 表示点到点和的距离之和， 如图所示， 点是关于轴的对称点，所以， ， 故最小值为， 此时的方程为，令，解得， 所以当时，取得最小值为. 四、解答题：共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求边的垂直平分线方程． 【答案】（1）． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）三角形中线：先求对边中点，再连接中点与对角顶点，用两点式求直线方程；（2）三角形边上的高：高线过对角顶点，斜率和该边斜率乘积为−1，利用点斜式写方程；（3）线段垂直平分线：经过线段中点，斜率与线段斜率互为负倒数，中点 + 斜率即可求出直线. 【小问1详解】 设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，， 边上的中线所在直线的方程为． 【小问2详解】 设边上的高所在直线的方程为，， 过点，直线在轴上的截距为，直线的方程为． 【小问3详解】 设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为， 设边的垂直平分线的方程为，， 用点斜式求出直线的方程为，整理为一般式得． 16. 从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数； （2）对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率． 【答案】（1），84 （2），． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程求解，利用总体百分位数的估计求解第百分位数即可. （2）利用分层抽样的性质求解抽取的人数，再求出整体样本空间和符合条件的事件，最后利用古典概型概率公式求解概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得．又由频率分布直方图可得， ，，的频率依次为， 所以前4组的频率为， 前5组的频率为， 故第80百分位数在区间上，因此第80百分位数为． 【小问2详解】 采用比例分配的分层抽样从和抽取5份测试卷， 由于，故成绩在的测试卷中抽取数为，记作； 成绩在的测试卷中抽取份数为，记作， 则从抽取的5份测试卷中随机抽取2份测试卷的所有可能构成的样本空间为： ，共有10个样本点， 设事件“这2份测试卷成绩都在”， 则，故，从而． 因此，这2份测试卷成绩都在的概率是． 17. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为线段，的中点，为线段上离近的四等分点． （1）求证：； （2）求点到直线的距离； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示已知正方体棱长为4，则，，，， 所以，， 因，所以． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两直线方向向量，通过向量点积为0证明两向量垂直，从而证线线垂直； （2）建立坐标系得到相关向量，利用点到空间直线的距离公式代入向量运算求解距离； （3）求出两个平面的法向量，利用二面角与法向量夹角的关系，代入向量夹角公式算出二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可得，，，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点Ｆ到直线的距离为． 【小问3详解】 根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 因, 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为． 18. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）若，求的面积； （2）求的值； （3）已知分别为边上一点，点在线段上，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，及，求出角，由正弦定理求出边，利用面积公式可求出面积. （2）由（1）知，,由余弦定理得即可求解. （3）设，由，得.由基本不等式得到，从而求出的最小值，四边形面积的最大值. 【小问1详解】 又，所以. 由正弦定理得，又，所以， 所以. 【小问2详解】 依题意，， 由余弦定理得， 【小问3详解】 由（2）知，又，又 ，， 设， 由，得，化简得. 因为，即， 当且仅当时，即取等号，所以， 即的最小值为，而， 所以当的面积最小时，四边形面积的最大，最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）设点是线段上的一点，且满足面．求； （3）记为点在平面上的投影，求线段的取值范围． 【答案】（1）因为平面且平面，所以， 因为为正方形，所以，且，平面，， 所以平面，平面，所以． 因为且为中点，所以且， 所以平面且平面，即平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证垂直平面得到，再结合等腰三角形中线性质得，推出平面，进而证面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用线面平行条件得到直线方向向量与平面法向量垂直，列方程求出参数，得到线段比值； （3）参数化表示F点坐标，根据投影性质写出M坐标，构造长度关于参数的二次函数，结合定义域求值域． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点，、、所在直线为、、建系， 则，，，，，． 设，设为平面的一个法向量，则， 又，且， 所以，即． 【小问3详解】 设，，所以， 平面的法向量为，因为， 所以设，即， 又平面，所以，且， 所以，，，， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市清华中学2028届月考试题 高二数学 2026.10 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号用黑色签字笔填写在答题卡相应位置上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将答题卡收回． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量、，，，与夹角等于，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 直三棱柱中，，，、分别为、的中点，则异面直线、所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”，已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的一个方向向量为 D. 过点，且纵截距是横截距的2倍的直线方程为 10. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是1 B. 的最小值是 C. 的最小值18 D. 的最小值是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B. 存在点Q，使平面BMN C. 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为 D. 点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为 第II卷（非选择题 92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线间的距离为_______． 13. 三个臭皮匠破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为__________． 14. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 四、解答题：共5个小题，满分77分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求边的垂直平分线方程． 16. 从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数； （2）对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率． 17. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为线段，的中点，为线段上离近的四等分点． （1）求证：； （2）求点到直线的距离； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）若，求的面积； （2）求的值； （3）已知分别为边上一点，点在线段上，若，求四边形面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）设点是线段上的一点，且满足面．求； （3）记为点在平面上的投影，求线段的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $