第二章一元二次函数方程和不等式单元过关试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 覆盖一元二次函数、方程和不等式核心知识，通过基础题（如单选1解不等式）与综合题（如解答16矩形面积最值）梯度设计，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式解集（1）、函数值域（5）|融入新高考真题形式（1题标注新高考Ⅱ卷）| |多选|3/18|不等式恒成立（9）、方程根的分布（11）|多选项分层考查逻辑推理（如11题结合判别式与根的条件）| |填空|3/15|最值求解（12）、恒成立参数范围（13）|简洁考查数学抽象（14题实际问题转化为函数模型）| |解答|5/77|不等式解法（15）、二次函数解析式（18）、不等式证明（19）|综合题递进设计，如17题从恒成立到存在性问题，体现数学思维；16题实际应用培养数学语言表达|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元过关卷　细目表 考试范围：人教 A 版必修第一册 第二章　满分 150 分　时间 120 分钟 一、试卷结构 题型 题量 每题分值 总分 说明 单项选择题 8 5 40 只有一个选项正确 多项选择题 3 6 18 全对 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分 填空题 3 5 15 直接写出结果 解答题 5 13/15/15/17/17 77 写出必要文字说明、证明过程或演算步骤 合计 19 — 150 难度系数约 0.61 二、试题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 核心素养 难度 预估得分率 题目来源 1 单选 5 分式不等式求解 数学运算 中 0.78 2025 新高考Ⅱ卷 T4 2 单选 5 基本不等式求最小值 数学运算 易 0.92 教材改编 3 单选 5 一元二次不等式求解 数学运算 易 0.92 教材改编 4 单选 5 基本不等式"1 的代换" 数学运算 中 0.75 教材改编 5 单选 5 二次函数在闭区间上的值域 数学运算 易 0.85 教材改编 6 单选 5 一元二次不等式恒成立 数学运算 中 0.78 教材改编 7 单选 5 基本不等式条件变形 数学运算 中 0.72 教材改编 8 单选 5 三个"二次"关系的应用 逻辑推理、数学运算 中难 0.60 教材改编 9 多选 6 基本不等式的多种变形 数学运算 中 0.75 教材改编 10 多选 6 三个"二次"关系与含参不等式 逻辑推理 中难 0.60 教材改编 11 多选 6 一元二次方程根的分布条件 逻辑推理 中 0.70 教材改编 12 填空 5 配凑法求最值 数学运算 中 0.80 教材改编 13 填空 5 含参二次不等式恒成立（分类讨论） 数学运算、分类讨论 中难 0.62 教材改编 14 填空 5 基本不等式的实际应用（最值） 数学建模 易 0.85 教材改编 15 解答 13 分式不等式、一元二次不等式与交集 数学运算 中 0.75 教材改编 16 解答 15 基本不等式实际应用（面积最值） 数学建模、数学运算 中 0.72 教材改编 17 解答 15 恒成立与存在性问题的转化 逻辑推理、化归转化 中难 0.58 教材改编 18 解答 17 二次函数不等式恒成立与解析式 逻辑推理、数学运算 难 0.45 经典改编 19 解答 17 基本不等式链与不等式证明 逻辑推理 中难 0.55 教材改编 三、难度与章节分布说明 - 难度设计：易、中、难占比约为 4:4:2，全卷预估难度系数 0.61，突出主干、注重通法。 - 章节占比：等式性质与不等式性质、基本不等式（T2、T4、T7、T9、T12、T14、T16、T19，约 75 分）；二次函数与一元二次方程、不等式（T1、T3、T5、T6、T8、T10、T11、T13、T15、T17、T18，约 75 分）。 - 真题选用：T1 为 2025 新高考Ⅱ卷真题，其余为教材例题习题改编，未超纲。 *本表完* 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元过关卷 满分：150 分　　考试时间：120 分钟 班级：________　　姓名：________　　考号：________ 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2025·新高考Ⅱ卷）不等式 的解集是 A. B. C. D. 2. 已知 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 3. 不等式 的解集是 A. B. C. D. 4. 已知 ，且 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 5. 函数 在区间 上的值域为 A. B. C. D. 6. 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 8. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 已知 ，且 ，则下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. 10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 A. B. C. D. 不等式 的解集为 11. 关于 的方程 有两个正实数根，则 A. B. C. 的取值范围是 D. 判别式 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知 ，则 的最小值为______。 13. 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是______。 14. 用长度为 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积的最大值为______ 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分）解下列不等式： （1）； （2）； （3）求（1）（2）中两个不等式解集的交集。 16.（15 分）用长为 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形场地，设垂直于墙的一边长为 m，场地面积为 。 （1）求 关于 的函数关系式并写出定义域； （2）当 取何值时场地面积最大？最大面积为多少？ 17.（15 分）已知函数 。 （1）若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若存在 使得 成立，求实数 的取值范围。 18.（17 分）已知二次函数 （）满足 ，且对一切 恒有 。 （1）求 的值； （2）求函数 的解析式； （3）解不等式 。 19.（17 分）设 。 （1）若 ，求 的最小值； （2）若 ，证明：； （3）若 ，证明：。 *本卷完* 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元过关卷（教师版） 满分：150 分　　考试时间：120 分钟 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1.（2025·新高考Ⅱ卷）不等式 的解集是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，即 ，得 ，等价于 解得 ，选 C。 2. 已知 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由基本不等式 ，当且仅当 ，即 时取等号，选 B。 3. 不等式 的解集是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，解得 ，选 A。 4. 已知 ，且 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，当且仅当 ，即 时取等号，选 C。 5. 函数 在区间 上的值域为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，对称轴 ，最小值为 ；，，最大值为 。值域为 ，选 A。 6. 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】开口向上且恒大于 0，需判别式 ，解得 ，选 A。 7. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 得 ，故 ，当且仅当 ，即 时取等号，选 C。 8. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由解集为 知 ，且 是方程 的两根，由韦达定理：，，得 ，。代入 得 ，即 。因 ，故 ，解得 ，选 A。 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 9. 已知 ，且 ，则下列不等式恒成立的是 A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】A：，正确；B：，正确；C：，正确；D：，故 ，正确。故选 ABCD。 10. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 A. B. C. D. 不等式 的解集为 【答案】ABD 【解析】由解集 知 ，且 为方程 的两根。韦达定理：，，得 ，，故 ，A、B 正确；，C 错误； 即 ，因 得 ，解得 或 ，D 正确。故选 ABD。 11. 关于 的方程 有两个正实数根，则 A. B. C. 的取值范围是 D. 判别式 【答案】ABC 【解析】方程有两个正实根 ，则 ，，。由 得 或 ，结合 得 。故 A、B、C 正确，D 错误。故选 ABC。 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知 ，则 的最小值为______。 【答案】 【解析】，当且仅当 ，即 时取等号。 13. 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是______。 【答案】 【解析】当 时，不等式化为 ，恒成立；当 时，需 即 且 ，解得 。综上，。 14. 用长度为 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积的最大值为______ 。 【答案】 【解析】设矩形长、宽分别为 （），则 ，即 。面积 ，当且仅当 （正方形）时取等号。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。 15.（13 分）解下列不等式： （1）； （2）； （3）求（1）（2）中两个不等式解集的交集。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1），即 ，等价于 解得 ，解集为 。 （2），解得 ，解集为 。 （3）交集为 。 16.（15 分）用长为 m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形场地，设垂直于墙的一边长为 m，场地面积为 。 （1）求 关于 的函数关系式并写出定义域； （2）当 取何值时场地面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1），；（2） m 时，最大面积为 【解析】（1）垂直于墙的一边长为 m，平行于墙的一边长为 m，由 得 。面积 ，定义域为 。 （2）法一（配方法）：，故当 时， 取最大值 。 法二（基本不等式）：，当且仅当 ，即 时取等号。 17.（15 分）已知函数 。 （1）若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （3）若存在 使得 成立，求实数 的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1） 对一切 恒成立，则 ，解得 。 （2） 即 ，分离参数得 对一切 恒成立。而 在 上的最小值为 （ 时取得），故 。 （3）存在 使 ，即存在 使 ，故 不大于 在 上的最大值。 在 上的最大值为 （ 时取得），故 。 18.（17 分）已知二次函数 （）满足 ，且对一切 恒有 。 （1）求 的值； （2）求函数 的解析式； （3）解不等式 。 【答案】（1）；（2）；（3） 或 【解析】（1）取 ，由 ，得 。 （2）由 ， 得 解得 ，。 由 恒成立： 恒成立，故 且 ，即 。 由 恒成立： 恒成立，故 且 。将 代入：，，故 。 由 得 ；又 ，故 ，且 ，解得 。故 。 （3） 即 ，，解得 或 。 19.（17 分）设 。 （1）若 ，求 的最小值； （2）若 ，证明：； （3）若 ，证明：。 【答案】（1）最小值为 ；（2）（3）见解析 【解析】（1），由 ，得 ，当且仅当 时取等号。 （2）由三元基本不等式 ，当且仅当 时取等号。 （3）利用 ： ， 当且仅当 时取等号。 *本卷完* 学科网（北京）股份有限公司 $