第二章 一元二次函数、方程和不等式章末优化试题 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末优化试题 2026-2027学年上学期高中数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 2．“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 4．在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 6．函数在上有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，则 10．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（    ） A． B． C． D．5 11．已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值是 D．的最小值为 三、填空题 12．不等式的解集是___________． 13．写出满足条件，恒成立的一个实数a的值为________． 14．已知实数，满足，则的最小值为______. 四、解答题 15．（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 16．已知. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 17．已知关于x的不等式的解集为或（）. (1)求a，b的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围. 18．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 19．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C B B C D BCD ABD 题号 11 答案 AC 1．A 利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 2．A 利用不等式的性质验证推出关系，不满足的可以举反例. 取，满足，但不满足“，” 故且； 反过来，若且，则， 即且. 故“”是“且”的必要不充分条件. 3．D 对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 4．C 可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可． 若方程和都没有实数根. 则 ，解得：. 则方程和中，已知至少有一个方程有实数根. 所以或 故选：C 【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题． 5．B 根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 6．B 参变分离可得在上有解，利用基本不等式求出，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 由在上有解， 即在上有解， 又，当且仅当，即时取等号， 所以； 因为真包含于， 结合选项可知函数在上有解的一个充分不必要条件是. 故选：B 7．C 将问题转化为，结合二次函数的单调性即可得解. 依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 8．D 由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 解：恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 恰有2个整数解， 即恰有2个整数解， 即的图象开口向上， 所以， 解得或， 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为1和2， 则，即， 解得：； 当时，不等式解集为， 因为，故2个整数解为，， 则， 即， 解得：， 综上所述，实数的取值范围为：或. 故选：D. 9．BCD 对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立. 对于A，令，，则，故A错误. 对于B，因为，所以，故B正确. 对于C，由于 ，同乘以， 得，又，所以，故C正确. 对于D，若，则，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．ABD 根据一元二次不等式可求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，即可确定第二个不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解. 解不等式，得或 解方程，得 （1）当，即时，不等式的解为： 此时不等式组的解集为，依题意，则，即； （2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数， 则需满足：，即； 所以k的取值范围为. 故选：ABD. 11．AC 利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断A,B；利用多变量变单变量即可判断CD. 对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号 由， 即，解得， 即，A正确； 对于，由，当且仅当时取等号， 得， 所以， 又 所以，即，故B错误； 对C选项，因为，则， 得，结合，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D选项知:， 当且仅当时，即， 但由于，因此等号不成立，故D不正确. 故选：AC. 12． 对不等式两边平方后求解，结合被开方数大于等于零，即可求得结果. 当时，不等式不成立， 当时，首先保证有意义， 则，即，解得， 再对原不等式两边平方可得：， 即，解得， 综上所述，不等式解集为. 故答案为：. 13．（答案不唯一） 根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 对于恒成立，即在上恒成立， 设，可得函数在为单调递减函数， 所以，所以，即实数的取值范围为，可取. 故答案为：（答案不唯一）. 14．8 由，得即为，变形后两次运用基本不等式即可求解 因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 15． （1）由，且， 所以，且 所以，所以， 即；所以，即． （2）要证， 只需证， 即证； 即证， 即证；即证，显然成立； 所以． (1)利用不等式的性质证明即可； (2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明. （1）略 （2）略 16．(1)16 (2) （1）由，得到，进而解不等式即可求解； （2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解. （1）当时，， 即， 即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为16. （2）当时，，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 17．(1)， (2) （1）方法一：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解. （2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解. （1）解：方法一：因为不等式的解集为或， 所以1和b是方程的两个实数根且， 所以，解得 方法二：因为不等式的解集为或， 所以1和b是方程的两个实数根且， 由1是的根，有， 将代入， 得或， ∴； （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当时，等号成立， 依题意有，即， 得， 所以k的取值范围为. 18．(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元 (2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大 （1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． （1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元， 所以 两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意． 所以甲种灯笼元，乙种灯笼元； （2）①由题意， 故与的函数解析式为 ②由①知，函数开口向下 函数在对称轴处有最大值． 因为销售部门规定其销售单价不高于每对元 所以， 所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大． 19．(1)，. (2)证明：若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. (3)实数的取值范围.若取到最大值，则，. （1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. （1）由题意可得：， . （2）略； （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $