精品解析：江苏省连云港高级中学2026-2027学年高二上学期第一次学情检测数学试题

2026-2027学年第一学期第一次学情检测 高二数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的斜率为（ ） A. B. 4 C. D. 2. 已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （ ） A. 4 B. 2 C. -2 D. 2或-2 3. 已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 4. 若数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是正项等比数列，若，，数列的前项和为，则>0时的最大值为 A. 5 B. 6 C. 10 D. 11 7. 等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（ ） A. 54 B. 162 C. 156 D. 180 二. 选择题: 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式为 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 10. 已知正项等比数列 的公比为 ， 是其前 项和，若 ，且 ，则（ ） A. B. 是数列中的项 C. D. ，，成等差数列 11. 数列 满足 ， ，，则下列说法正确的有 （ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前项和 D. 数列的前项和为 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知等差数列的前项和为，且，则 _____. 13. 已知为等比数列的前项和，若，则_____. 14. 已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 过点 和点 ，分别求出满足下列条件的 的取值或取值范围. （1）直线 的倾斜角为直角; （2）直线 的倾斜角为锐角; （3）直线 的倾斜角为钝角. 16. 已知数列的前项和为． （1）若是等差数列，且，求； （2）若是等比数列，且，，成等差数列，求． 17. 已知数列 的前 项和为 . （1）写出数列的前项: ； （2）求前 项和 的最小值； （3）求出 的通项公式. 18. 已知数列 的前 项和是 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，证明 . 19. 已知数列 满足 ，且 . （1）求证:数列 是等差数列； （2）求数列 的通项公式； （3）求数列 的前 项和 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情检测 高二数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的斜率为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知直线过点和点. 根据过两点的直线的斜率公式可得： 该直线的斜率为. 2. 已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （ ） A. 4 B. 2 C. -2 D. 2或-2 【答案】B 【解析】 【详解】，因为是正项等比数列，所以. 3. 已知是公差不为零的等差数列，，若、、成等比数列，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列的基本量运算求出公差，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 已知，且、、成等比数列， 由等比中项的性质可得：， 根据等差数列通项公式，可得，， 代入上式得：，展开整理得，解得或（舍）， 因此. 4. 若数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 5. 已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用等差数列求和公式及通项公式计算得出通项公式及求和，最后应用二次函数最值计算求解. 【详解】由题意，可求得，， ，故时取的最小值为． 6. 已知数列是正项等比数列，若，，数列的前项和为，则>0时的最大值为 A. 5 B. 6 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【详解】 ，故选C. 7. 等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列的通项公式与前项和公式求解首项和公差，得到的表达式后对裂项，通过裂项相消法计算前10项和 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，结合可得：，即， 由等差数列前项和公式，结合可得：，即. 将代入上式，解得，， 因此，故. 设的前10项和为，则：  8. 已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（ ） A. 54 B. 162 C. 156 D. 180 【答案】B 【解析】 【详解】因为，当时，； 当时，，则，即， 得，所以，，. 二. 选择题: 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分， 选对但不全的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式为 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等差数列通项公式直接计算公差判断A；结合等差数列的通项公式，前项和公式计算判断BC；根据等比数列定义判断D. 【详解】对于A，已知等差数列，，，设公差为， 所以，，即，解得 所以，数列的公差，故正确； 对于B，数列的通项公式为：，故正确； 对于C，数列的前项和为：，故错误； 对于D，对于数列，因为，所以为公比等于的等比数列，故正确. 10. 已知正项等比数列 的公比为 ， 是其前 项和，若 ，且 ，则（ ） A. B. 是数列中的项 C. D. ，，成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以. 由， 所以（舍去）或.故A正确； 又，所以， 由.所以是数列的第项.故B正确； 因为，所以，故C错误； 因为，， 即，所以，，成等差数列，故D正确. 11. 数列 满足 ， ，，则下列说法正确的有 （ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前项和 D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列.故A正确； 由A选项的解答可得，.故B正确； 因为，故C错误； 因为，所以数列的前项和为：，故D正确. 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知等差数列的前项和为，且，则 _____. 【答案】 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，则，得， 化简得，所以. 13. 已知为等比数列的前项和，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，结合已知求得，再根据前项和公式，通项公式代入计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 即 因，可化简得：，即 又，所以. 则， 于是， 14. 已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【解析】 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线 过点 和点 ，分别求出满足下列条件的 的取值或取值范围. （1）直线 的倾斜角为直角; （2）直线 的倾斜角为锐角; （3）直线 的倾斜角为钝角. 【答案】（1） （2）的取值范围为， （3）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）由条件可得两点横坐标相等，纵坐标不相等，列方程求解； （2）利用两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率关系列不等式即得解； （3）结合倾斜角与斜率关系列不等式即得解. 【小问1详解】 ∵直线的倾斜角为直角，所以. 【小问2详解】 因为直线的倾斜角为锐角， 所以 ， 解得 ， 即的取值范围为， 【小问3详解】 因为直线的倾斜角为钝角， 所以， 解得或， 即的取值范围为. 16. 已知数列的前项和为． （1）若是等差数列，且，求； （2）若是等比数列，且，，成等差数列，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为d，利用等差数列前n项和的基本量运算求出，然后代入等差数列通项公式求解即可； （2）设数列的公比为q，利用等差中项性质求得，然后利用等比数列前n项和公式求解即可． 【小问1详解】 设数列的公差为d，由，得 ，解得， 所以． 【小问2详解】 设数列的公比为q，则 ，因为，，成等差数列， 所以，即，解得，所以 ． 17. 已知数列 的前 项和为 . （1）写出数列的前项: ； （2）求前 项和 的最小值； （3）求出 的通项公式. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，再结合退位相减法可求； （2）根据对称轴可求取最小值时的值，再代入即可求解； （3）根据可求通项. 【小问1详解】 已知数列 的前 项和为 ， 所以， ， . 【小问2详解】 已知数列 的前 项和为 ， 所以的对称轴为，又因为，所以当或 时，取最小值， 由于，， 所以的最小值为， 【小问3详解】 当时， ， 当时，， 所以. 18. 已知数列 的前 项和是 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，证明 . 【答案】（1） （2）由（1）得，又 ， 所以， 所以， 即， 所以． 因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）由与的关系，可得，并求得，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，求得数列的通项公式； （2）先求得，再求得，根据裂项相消求和法求得，由此即可证明结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，即． 又当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 略 【点睛】 19. 已知数列 满足 ，且 . （1）求证:数列 是等差数列； （2）求数列 的通项公式； （3）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） 因为，即，又因为， 所以是以首项为，公差为的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）分别利用错位相减法和裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）得， ，所以. 【小问3详解】 已知 ， 令 ，则， 两式相减，得，所以， 又因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $