江苏省姜堰中学2026-2027学年高二第一学期阶段测试一数学试题

2026~2027学年度第一学期阶段测试一 高二数学试题 2026.9 注意事项 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2.答题前，请务必将姓名、班级、学号、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上。 3.请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其它位置作答一律无效。 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知直线经过点A(2,-8),B(5,1),则直线的斜率为() A.-3 B C.3 D. 3 2.若直线l:mx+3y-1=0与直线l:2x+(m-5)y+1=0垂直，则m=() A.-3 B.-1 C.3 D.6 3.直线x+y+m=0(m>0)与圆x2+y2=3相交所得的弦长为m,则m=() A.2 B.√2 C.1 D.3 4.已知点A1,4),B(-2,2),过点C(-1,0)的直线与线段AB有交点，则直线斜率的取值 范围为() A.[-2,2] B.（0,-2]U[2,+∞) c. o.（3olu+m) 5.直线xcos0+y-1=0(0∈R)倾斜角的范围是() A.[0,π) [ c. D.a 6.若直线：2x-y+1=0与l2:ax+y+a=0平行，则l与l2的距离为() A.5 B.2 C.3 D.4 第1页共4页 7.过点P(3,0)作一条直线1，它夹在两条直线：2x-y-2=0和12：x+y+3=0之间的 线段恰被点P平分，则直线1的方程为() A.8x+y-24=0 B.8x-y-24=0 C.8x+y+24=0 D.x+8y+24=0 8.已知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my+2m-1=0和过定点B的动直线 l2:y-4=-m(x+3)交于点P(P与A,B不重合)，则PA+2PB的最大值为() A.210 B.2V5 C.10 D.5 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列结论正确的有() A.倾斜角为30°的直线的一个方向向量是ā=(3， B.直线(m+1)x+y-1=0恒过定点(0,1) C.不论m为何实数，直线l:mx+y-3=0与直线l2:x-my+2=0互相垂直 D.在x,轴上的截距为a,b的直线可表示为+上=1 a b 10.已知斜率k的直线I过定点(-1,0)，圆C:x2+y2-6x+5=0,P(x,)为圆C上的任 意一点，则下列说法正确的是() A.x+y的最大值为5 B.的最大值为25 Xo C.直线I与圆C相切时，k=士固 D.圆心C到直线I的距离最大为4 11.设动直线l与圆x2+y2=1相切，且与圆x2+y2=10相交于两点A、B,点P为直线 12:3x+4y-25=0上动点，则() A.若M为线段AB中点，则PM≥4 B.存在以AB为直径的圆与I,相切 C.AP.PB≤-7 D.IPA2+IPB2≥50 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.过原点且圆心在x轴上的圆C与圆(x-1)+(y-2)=1外切，则圆C的标准方程为 第2页共4页 13.已知直线1：3x+4y-20=0,圆0：x2+y2=9,P,Q分别为直线1与圆0上的动点，则 PQ的最小值为 14.已知点P为圆C1:(x-10)2+y2=9上位于第一象限内的点，过点P作圆C2:x2+y2 2ax+a2-a+3=0(3<a<10)的两条切线PM、PN,切点分别为M、N,直线PM 、PN分别交x轴于A(1,0)、B(9,0)两点，则 AC2 MN= BC, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知点A(-2,1),B(1,3),C(-1,-3): (1)求过点A且与BC平行的直线方程： (2)求过点B,且在x轴上的截距是在y轴上的截距的两倍的直线方程， 16.(15分)已知直线l:2x+y+4=0与直线l2:x-3y-5=0的交点为M. (1)求点M关于直线2x-3y+1=0的对称点N; (2)求点A(4,O)到经过点M的直线I距离的最大值，并求距离最大时的直线I的方程. 17.(15分)己知直线1：x-y+1=0和圆C:(x-1)2+(y+2)2=9. (1)判断直线I与圆C的位置关系：若相交，求直线1被圆C截得的弦长： (2)求过点(4,7)且与圆C相切的直线方程. 第3页共4页 18.(17分)已知动点P与两个定点00,0)，4(3,0)的距离的比为) (1)求动点P的轨迹C的方程： (2)过点B(-2,I)的直线I与曲线C交于M、N两点，求线段MN长度的最小值： (3)己知圆Q的圆心为Qt,t)t>0),且圆Q与x轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实 数t的取值范围. 19.(17分)已知圆O方程为x2+y2=16,点M(6,0),点N是圆O上的动点，点P为线 段MN的中点， (1)求点P的轨迹方程： (2)记点P的轨迹为曲线C,过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A点和B点，求直 线AB的方程及弦长AB: (3)过点K(4,O)作直线与曲线C交于E,F两点，在x轴上是否存在一点Q,使得x轴总 是平分∠EQF?若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 第4页共4页高二数学阶段测试一参考答案 题号 1 2 4 5 6 7 名 9 10 11 答案 C A B D A B C ABC BC ACD 12.(x-1)2+y2=113.1 14.3,46 15.(1)3x-y+7=0 (2)3x-y=0或x+2y-7=0 3-(3)-3, 【详解】(I)直线BC的斜率：kc=1-( …2分 故过点A且与BC平行的直线方程斜率k=kc=3,且A(-2,1), 故直线方程为y-1=3(x+2),即3x-y+7=0.…。 …6分 (2)当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是k=3-0=3, 1-0 所以直线方程为y=3x,即3x-y=0;…9分 当截距不为0时，可设直线方程为：元+名=1， 代入B(3),得+=1，b=子 故直线方程为x+2y-7=0. ……12分 综上得：直线方程为3x-y=0或x+2y-7=0.… …3分 (2)V29,5x+2y+9=0 【详解】(1)当2x+y+4=0,x-3y-5=0时，有 x-3(2x+y+4到+(x-3y-5)-1=-1,y=2x+y+4)-x-3y-列-2=2 所以两直线，2的交点为M(-1,-2)… …2分 由于M,N关于直线2x-3y+1=0对称，故直线MN和直线2x-3y+1=0垂直. 而直线2x-y+1=0印y号+写的斜率为号，从万直线N的斜车为-号 再由M1,-2)知直线MN的方程为y三x+打-2，即3x+2y+7=0.…4 将5x+2+7-0与2x-341-0联a,得-0x-3++23+7列谷得 y=x-++x+2y+7)吕日 从面直线w和古线2x+1=0的交点为（台-瑞） 由于M,N关于直线2x-3y+1=0对称，故 23,是MN的中点 13’13 答案第1页（共4页） 最后由M(1-2引.即蜘N个帮) …7分 (2)若1是一条经过M(-1,-2)的直线，则由于AM=(4+}+22=V29, 知点A(4,0)到经过点M的直线I距离的最大值为√29…11分 若有一条经过M(-1,-2)的直线1，满足A到1的距离为√29，则由AM=√29，知AM和1垂直. 西古线仙的斜率一号数氨率为- 再由1经过M-1-2引.即知1的方程为y=(x+)-2,即5x+2y+9=0 综上，点A(4,0)到经过点M的直线1距离的最大值为√29，此时直线1的方程为5x+2y+9=0.15分 17.(1)直线与圆相交，所截得的弦长为2 (2)4x-3y+5=0或x=4 【详解】(1)由题意得圆C的圆心C(1,-2),半径r=3, 心到直线的距离d三L-（一2列）+22<3，故直线与圆相交，3 V1+(-1)2 所截得的弦长为2r2-d2=2√32-(2√2)2=2， 故直线与圆相交，所截得的弦长为2.… …6分 (2)因为圆心C1,-2)到(4,7)的距离为V(4-1)2+(7+2)2=310>3, 所以点(4，)在圆外，此时有两条切线， ①当直线斜率存在时，由题意设直线y-7=k(x-4),即c-y+7-4k=0, 由直线c-y+7-4k=0与圆相切得圆心C(L,-2)到直线的距离等于半径， 即d=k1-(-2+7--3,解得k= Vk2+1 3 此时切线方程为4x-3y+5=0;… …10分 ②当直线斜率不存在时，直线为x=4,易得圆心C(1,-2)到x=4的距离为3， 故尤=4也满足条件，此时切线方程为x=4,…14分 综上，过点(4,7)且与圆C相切的直线方程为4x-3y+5=0或x=4.…15分 18.(1)(x+1)2+y2=4. (2)2√2.(3)[-3+23,3]. 【详解】(1)由题意知：设P(x,y)则AP=2OP,即AP=4OPP, 所以(x-3)2+y2=4(x2+y2）,整理得(x+)}+y2=4 所以动点P的轨迹C的方程为(x+)+y2=4.… …5分 答案第2页（共4页） (2)由(1)知轨迹C是以C(-1,0)为圆心，以2为半径的圆. 又因为(-2+1)2+12<4，所以点B在圆内， 所以当线段MN的长度最小时，BC⊥MN, 所以圆心C到直线MW的距离为BC=V(-2+)+(1-0=V2,…7分 此时，线段MN的长为MW=2VCM2-BC2=24-2=2√2， 所以，线段MN长度的最小值为2√2.…10分 (3)因为点Q的坐标为(t,)(t>0),且圆9与x轴相切，所以圆2的半径为t, 所以，圆的方程为(x-)2+(y-)=2.因为，圆Q与圆C有公共点， 又圆2与圆C的两圆心距离为Cg=√t+1)2+(-0)2=V2+21+1, 所以|2-≤Cg≤2+1，即(2-}≤22+21+1≤(2+，…15分 解得：-3+25≤t≤3 所以，实数1的取值范围是-3+25,3…17分 19.(1)(x-3)}+y2=4 3 (3)存在，（7,0) 【详解】(1)设P点坐标为(x,y), 因为M点坐标为(6,0)，点P为线段MN的中点，所以N(2x-6,2y),…2分 又因为N点在圆0上，代入圆的方程得(2x-6)}+(2y)2=16 化简得(x-3)+y2=4,故点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=4,…4分 (2)当过点M的直线斜率不存在时，不可能与圆C有交点，故舍去；…6分 如图，作出符合题意的图形， 当过点M的直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x-6), 当直线与圆C相切时，圆心C到直线距离等于半径2， 可得d= 3k=2,解得k= 2W5 Vk2+1 5 比时直线方程为y=士25（女-6），联立可符 答案第3页（共4页） 25 y= (r-6) (x-3)+y2=4 3,y=±2 解得x= 所以A点和B点坐标为 132W5 1325 3’3 33 …8分 3 故直线AB的方程为x= aB=4 13 …10分 (3)存在，点Q坐标为(7,0)，证明如下， 不妨设点坐标为(a,0),交点E,F点坐标为(x,y),(:2,2), 当过点K的直线斜率不存在时，直线方程为x=4, x=4 联立方程组 (x-3+=4'解得r=4,y=±5， 则与圆C的交点为E(4,V5)和F(4,-V5),可得x轴上任意一点均满足题意，…12分 当过点K的直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x-4), 如图，作出符合题意的图形， y=k(x-4) 联立方程组 (x-3+y=4化简得(+r-(82+6x+16k+5=0, 由韦达定理可知x+x2= 2+1,5=16k2+5 8k2+6 k2+1 又因为x轴平分∠EQF,所以直线EQ和直线FQ的斜率互为相反数： 可得k0+k0=0,即片+占=0， x-a x-a 将直线方程y=k(x-4)代入，化简得到k(x-4)(x-a)+k(x2-4)(x-a)=0 代入韦达定理结果得32水0-4+a8十68a0,…-14分 化简得32k2+10-(4+a)8k2+6)+8a(k2+1=0,即2a-14=0,解得a=7,…16分 综上所述，点坐标为(7,0)，得证.…17分 答案第4页（共4页）